Prizma ir daudzskaldnis jeb daudzskaldnis, ko apgūst cietās ģeometrijas skolas kursā. Viena no šī daudzskaldņa svarīgajām īpašībām ir tā tilpums. Rakstā apsvērsim, kā var aprēķināt šo vērtību, kā arī iedosim prizmu tilpuma formulas - regulāra četrstūra un sešstūra.
Prizma stereometrijā
Šo figūru saprot kā daudzskaldni, kas sastāv no diviem identiskiem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, un no vairākiem paralelogramiem. Dažiem prizmu veidiem paralelogrami var attēlot taisnstūrveida četrstūrus vai kvadrātus. Tālāk ir parādīts tā sauktās piecstūra prizmas piemērs.
Lai izveidotu figūru, kā parādīts attēlā, jums ir jāņem piecstūris un jāveic tā paralēla pārvietošana uz noteiktu attālumu telpā. Savienojot divu piecstūru malas, izmantojot paralelogramus, iegūstam vēlamo prizmu.
Katra prizma sastāv no skaldnēm, virsotnēm un malām. Prizmas virsotnesatšķirībā no piramīdas, ir vienādi, katrs no tiem attiecas uz vienu no divām bāzēm. Fasādes un malas ir divu veidu: tās, kas pieder pie pamatnēm, un tās, kas pieder pie sāniem.
Prizmas ir vairāku veidu (pareizas, slīpas, izliektas, taisnas, ieliektas). Tālāk rakstā apskatīsim, pēc kādas formulas tiek aprēķināts prizmas tilpums, ņemot vērā figūras formu.
Vispārīga izteiksme prizmas tilpuma noteikšanai
Neatkarīgi no tā, kādam tipam pieder pētāmā figūra, vai tā ir taisna vai slīpa, regulāra vai neregulāra, ir universāla izteiksme, kas ļauj noteikt tās apjomu. Telpiskās figūras apjoms ir telpas laukums, kas atrodas starp tās sejām. Vispārīgā prizmas tilpuma formula ir:
V=So × h.
Šeit So apzīmē pamatnes laukumu. Jāatceras, ka mēs runājam par vienu pamatu, nevis par diviem. H vērtība ir augstums. Ar pētāmās figūras augstumu saprot attālumu starp tās identiskiem pamatiem. Ja šis attālums sakrīt ar sānu ribu garumiem, tad runā par taisnu prizmu. Taisnā attēlā visas malas ir taisnstūri.
Tādējādi, ja prizma ir slīpa un tai ir neregulārs pamatnes daudzstūris, tad tās tilpuma aprēķināšana kļūst sarežģītāka. Ja skaitlis ir taisns, tad tilpuma aprēķins tiek samazināts tikai līdz pamatnes laukuma noteikšanai So.
Regulāras figūras skaļuma noteikšana
Parastā ir jebkura prizma, kas ir taisna un kurai ir daudzstūra pamatne ar vienādām malām un leņķiem. Piemēram, šādi regulāri daudzstūri ir kvadrāts un vienādmalu trīsstūris. Tajā pašā laikā rombs nav regulāra figūra, jo ne visi tā leņķi ir vienādi.
Regulāras prizmas tilpuma formula viennozīmīgi izriet no V vispārīgās izteiksmes, kas tika rakstīta raksta iepriekšējā rindkopā. Pirms turpināt rakstīt atbilstošo formulu, ir jānosaka pareizās bāzes laukums. Neiedziļinoties matemātiskās detaļās, mēs piedāvājam formulu norādītā laukuma noteikšanai. Tas ir universāls jebkuram parastam n-gonam, un tam ir šāda forma:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kā redzams izteiksmē, laukums Sn ir divu parametru funkcija. Veselam skaitlim n var būt vērtības no 3 līdz bezgalībai. Vērtība a ir n-stūra malas garums.
Lai aprēķinātu figūras tilpumu, laukums S jāreizina tikai ar augstumu h vai sānu malas garumu b (h=b). Rezultātā mēs iegūstam šādu darba formulu:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu patvaļīga tipa prizmas tilpumu, ir jāzina vairāki lielumi (pamatnes malu garumi, augstums, figūras divvirsmas leņķi), bet, lai aprēķinātu vērtību V regulāra prizma, mums jāzina tikai divi lineāri parametri, piemēram, a un h.
Četrstūrveida regulāras prizmas tilpums
Četrstūrveida prizmu sauc par paralēlskaldni. Ja visas tā sejas ir vienādas un ir kvadrāti, tad šāda figūra būs kubs. Katrs skolēns zina, ka taisnstūra paralēlskaldņa vai kuba tilpumu nosaka, reizinot tā trīs dažādās malas (garumu, augstumu un platumu). Šis fakts izriet no rakstītās vispārīgās tilpuma izteiksmes parastam skaitlim:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Šeit 45° kotangenss ir vienāds ar 1. Ņemiet vērā, ka augstuma h vienādība ar pamatnes malas garumu a automātiski noved pie kuba tilpuma formulas.
Sešstūrainas regulāras prizmas tilpums
Tagad izmantojiet iepriekš minēto teoriju, lai noteiktu figūras tilpumu ar sešstūra pamatni. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāaizstāj vērtība n=6 formulā:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Rakstīto izteiksmi var iegūt neatkarīgi, neizmantojot universālo formulu S. Lai to izdarītu, jums ir jāsadala regulārais sešstūris sešos vienādmalu trīsstūros. Katra no tām mala būs vienāda ar a. Viena trīsstūra laukums atbilst:
S3=√3/4 × a2.
Reizinot šo vērtību ar trīsstūru skaitu (6) un augstumu, iegūstam iepriekš minēto tilpuma formulu.
