Prizmas jēdziens. Tilpuma formulas dažāda veida prizmām: regulārām, taisnām un slīpām. Problēmas risinājums

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Apjoms ir raksturīgs jebkurai figūrai, kuras izmēri nav nulle visās trīs telpas dimensijās. Šajā rakstā no stereometrijas (telpisko figūru ģeometrijas) viedokļa aplūkosim prizmu un parādīsim, kā atrast dažāda veida prizmu tilpumus.

Kas ir prizma?

Stereometrijai ir precīza atbilde uz šo jautājumu. Ar prizmu tajā saprot figūru, ko veido divas identiskas daudzstūra skaldnes un vairāki paralelogrami. Zemāk esošajā attēlā redzamas četras dažādas prizmas.

Katru no tiem var iegūt šādi: jāņem daudzstūris (trijstūris, četrstūris un tā tālāk) un noteikta garuma segments. Pēc tam katra daudzstūra virsotne, izmantojot paralēlus segmentus, jāpārnes uz citu plakni. Jaunajā plaknē, kas būs paralēla sākotnējai, tiks iegūts jauns daudzstūris, līdzīgs sākotnēji izvēlētajam.

Prizmas var būt dažāda veida. Tātad, tie var būt taisni, slīpi un pareizi. Ja prizmas sānu mala (segments,savienojot pamatu virsotnes) perpendikulāri figūras pamatiem, tad pēdējā ir taisna līnija. Attiecīgi, ja šis nosacījums nav izpildīts, tad mēs runājam par slīpu prizmu. Regulāra figūra ir taisnleņķa prizma ar vienādstūra un vienādmalu pamatu.

Vēlāk rakstā mēs parādīsim, kā aprēķināt katra šāda veida prizmu tilpumu.

Parasto prizmu tilpums

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu. Mēs sniedzam regulāras prizmas tilpuma formulu ar n-stūra pamatni. Tilpuma formula V jebkuram aplūkojamās klases skaitlim ir šāda:

V=S_oh.

Tas ir, lai noteiktu tilpumu, pietiek ar vienas bāzes laukuma aprēķinu S_o un reizināt to ar attēla augstumu h.

Parastas prizmas gadījumā tās pamatnes malas garumu apzīmēsim ar burtu a, bet augstumu, kas vienāds ar sānu malas garumu, apzīmēsim ar burtu h. Ja n-stūra pamatne ir pareiza, tad vienkāršākais veids, kā aprēķināt tā laukumu, ir izmantot šādu universālo formulu:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Aizvietojot vienādībā malu skaitu n un vienas malas garumu a, varat aprēķināt n-stūra pamatnes laukumu. Ņemiet vērā, ka kotangentes funkcija šeit tiek aprēķināta leņķim pi/n, kas izteikts radiānos.

Ņemot vērā S uzrakstīto vienādību, mēs iegūstam parastās prizmas tilpuma galīgo formulu:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Katram konkrētam gadījumam var uzrakstīt atbilstošās formulas V, bet tās visasunikāli izriet no rakstītā vispārīgā izteiciena. Piemēram, parastai četrstūra prizmai, kas vispārīgā gadījumā ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, mēs iegūstam:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Ja šajā izteiksmē ņemam h=a, tad iegūstam kuba tilpuma formulu.

Tiešo prizmu apjoms

Mēs uzreiz atzīmējam, ka taisnām skaitļiem nav vispārējas tilpuma aprēķināšanas formulas, kas tika dota iepriekš parastajām prizmām. Meklējot attiecīgo vērtību, jāizmanto sākotnējā izteiksme:

V=S_oh.

Šeit h ir sānu malas garums, tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Kas attiecas uz bāzes laukumu S_o, tam var būt dažādas vērtības. Taisnas tilpuma prizmas aprēķināšanas uzdevums tiek samazināts līdz tās pamatnes laukuma atrašanai.

S_ovērtības aprēķins jāveic, pamatojoties uz pašas bāzes īpašībām. Piemēram, ja tas ir trīsstūris, tad laukumu var aprēķināt šādi:

S_o3=1/2ah_a.

Šeit h_a ir trijstūra apotēma, tas ir, tā augstums ir pazemināts līdz pamatnei a.

Ja pamats ir četrstūris, tad tas var būt trapecveida, paralelograms, taisnstūris vai pilnīgi patvaļīgs tips. Visos šajos gadījumos apgabala noteikšanai jāizmanto atbilstoša planimetrijas formula. Piemēram, trapecveida formai šī formula izskatās šādi:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kur h_a ir trapeces augstums, a₁ un a₂ ir garumi. no tā paralēlajām malām.

Lai noteiktu laukumu augstākas kārtas daudzstūriem, tie jāsadala vienkāršās formās (trīsstūros, četrstūros) un jāaprēķina pēdējo laukumu summa.

Tilted Prism Volume

Šis ir visgrūtākais prizmas tilpuma aprēķināšanas gadījums. Piemēro arī vispārīgo formulu šādiem skaitļiem:

V=S_oh.

Tomēr sarežģītībai atrast pamatnes laukumu, kas attēlo patvaļīgu daudzstūra veidu, tiek pievienota figūras augstuma noteikšanas problēma. Tas vienmēr ir mazāks par sānu malas garumu slīpā prizmā.

Vienkāršākais veids, kā atrast šo augstumu, ir zināt jebkuru figūras leņķi (plakanu vai divskaldni). Ja ir dots šāds leņķis, tad ar to prizmas iekšpusē jākonstruē taisnleņķa trijstūris, kurā kā viena no malām būtu augstums h un, izmantojot trigonometriskās funkcijas un Pitagora teorēmu, jāatrod vērtība h.

Ģeometriskā skaļuma problēma

Dotā parastā prizma ar trīsstūrveida pamatni, kuras augstums ir 14 cm un malas garums ir 5 cm. Kāds ir trīsstūrveida prizmas tilpums?

Tā kā mēs runājam par pareizo figūru, mums ir tiesības izmantot labi zināmo formulu. Mums ir:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trīsstūrveida prizma ir diezgan simetriska figūra, kuras formā bieži tiek veidotas dažādas arhitektūras konstrukcijas. Šo stikla prizmu izmanto optikā.