Taisnas prizmas virsmas laukums: formulas un problēmas piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Tilpums un virsmas laukums ir divas svarīgas jebkura ķermeņa īpašības, kurām ir ierobežoti izmēri trīsdimensiju telpā. Šajā rakstā mēs aplūkojam labi zināmu daudzskaldņu klasi - prizmas. Jo īpaši tiks atklāts jautājums par to, kā atrast taisnas prizmas virsmas laukumu.

Kas ir prizma?

Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kuru ierobežo vairāki paralelogrami un divi vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Šie daudzstūri tiek uzskatīti par figūras pamatiem, un tā paralelogrami ir malas. Pamatnes malu (stūru) skaits nosaka figūras nosaukumu. Piemēram, attēlā zemāk ir parādīta piecstūra prizma.

Attālumu starp pamatnēm sauc par figūras augstumu. Ja augstums ir vienāds ar jebkuras sānu malas garumu, tad šāda prizma būs taisna. Otra pietiekama taisnas prizmas īpašība ir tā, ka visas tās malas ir taisnstūri vai kvadrāti. Ja tomērJa viena puse ir vispārējs paralelograms, tad skaitlis būs slīps. Zemāk varat redzēt, kā taisnās un slīpās prizmas vizuāli atšķiras četrstūra figūru piemērā.

Taisnas prizmas virsmas laukums

Ja ģeometriskai figūrai ir n-stūra pamatne, tad tā sastāv no n+2 skaldnēm, no kurām n ir taisnstūri. Apzīmēsim pamatnes malu garumus kā a_i, kur i=1, 2, …, n, un apzīmēsim figūras augstumu, kas ir vienāds ar figūras garumu. sānu mala, kā h. Lai noteiktu visu virsmu virsmas laukumu (S), pievienojiet katras pamatnes laukumu S_{o un visus malu laukumus (taisnstūrus). Tādējādi formulu S vispārīgā formā var uzrakstīt šādi:}

S=2S_o+ S_b

Kur S_{b ir sānu virsmas laukums.}

Tā kā taisnas prizmas pamatne var būt pilnīgi jebkurš plakans daudzstūris, tad nevar dot vienu formulu S_{oaprēķināšanai, un, lai noteiktu šo vērtību, vispārīgi Šajā gadījumā ir jāveic ģeometriskā analīze. Piemēram, ja pamatne ir regulārs n-stūris ar malu a, tad tās laukumu aprēķina pēc formulas:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Attiecībā uz S_{b vērtību var norādīt tās aprēķina izteiksmi. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Tas ir, vērtībaS_{b aprēķina kā figūras augstuma un tās pamatnes perimetra reizinājumu.}

Problēmu risināšanas piemērs

Lietosim iegūtās zināšanas, lai atrisinātu šādu ģeometrisko uzdevumu. Dota prizma, kuras pamatne ir taisnleņķa trīsstūris ar malām 5 cm un 7 cm taisnā leņķī. Figūras augstums ir 10 cm. Jāatrod taisnleņķa trīsstūrveida prizmas virsmas laukums.

Vispirms aprēķināsim trīsstūra hipotenūzu. Tas būs vienāds ar:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Tagad veiksim vēl vienu sagatavošanās matemātisko darbību - aprēķināsim pamatnes perimetru. Tas būs:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Figūras sānu virsmas laukumu aprēķina kā vērtības P un augstuma h=10 cm reizinājumu, tas ir, S_b=206 cm ^2.

Lai atrastu visas virsmas laukumu, atrastajai vērtībai jāpievieno divi pamatlaukumi. Tā kā taisnleņķa trijstūra laukumu nosaka puse no kāju reizinājuma, mēs iegūstam:

2S_o=257/2=35 cm²

Tad mēs iegūstam, ka taisnas trīsstūrveida prizmas virsmas laukums ir 35 + 206=241 cm2.