Studējot stereometriju, viena no galvenajām tēmām ir "Cilindrs". Sānu virsmas laukums tiek uzskatīts ja ne par galveno, tad par svarīgu formulu ģeometrisko uzdevumu risināšanā. Tomēr ir svarīgi atcerēties definīcijas, kas palīdzēs orientēties piemēros un pierādot dažādas teorēmas.
Cilindra koncepcija
Vispirms mums ir jāapsver dažas definīcijas. Tikai pēc to izpētes var sākt apsvērt jautājumu par cilindra sānu virsmas laukuma formulu. Pamatojoties uz šo ierakstu, var aprēķināt citas izteiksmes.
- Cilindriska virsma tiek saprasta kā plakne, ko apraksta ģenerātors, kas kustas un paliek paralēli noteiktam virzienam, slīdot pa esošu līkni.
- Ir arī otra definīcija: cilindrisku virsmu veido paralēlu līniju kopa, kas krustojas ar noteiktu līkni.
- Ģeneratīvo parasti sauc par cilindra augstumu. Kad tas pārvietojas ap asi, kas iet caur pamatnes centru,tiek iegūts norādītais ģeometriskais ķermenis.
- Zem ass ir domāta taisna līnija, kas iet cauri abām figūras pamatnēm.
- Cilindrs ir stereometrisks korpuss, ko ierobežo krustojoša sānu virsma un 2 paralēlas plaknes.
Šai trīsdimensiju figūrai ir dažādas šķirnes:
- Circular ir cilindrs, kura vadotne ir aplis. Tās galvenās sastāvdaļas ir pamatnes rādiuss un ģenerators. Pēdējais ir vienāds ar figūras augstumu.
- Ir taisns cilindrs. Tā ieguva savu nosaukumu, pateicoties ģenerātora perpendikularitātei pret figūras pamatiem.
- Trešais veids ir slīps cilindrs. Mācību grāmatās tam var atrast arī citu nosaukumu - "apļveida cilindrs ar slīpu pamatni". Šis skaitlis nosaka pamatnes rādiusu, minimālo un maksimālo augstumu.
- Ar vienādmalu cilindru saprot ķermeni, kuram ir vienāds apļveida plaknes augstums un diametrs.
Simboli
Tradicionāli galvenās cilindra "sastāvdaļas" sauc šādi:
- Pamatnes rādiuss ir R (tas arī aizstāj to pašu stereometriskas figūras vērtību).
- Ģeneratīvs - L.
- Augums - H.
- Bāzes laukums - Sbāze (citiem vārdiem sakot, jāatrod norādītais apļa parametrs).
- Slīpā cilindra augstums – h1, h2 (minimālais un maksimālais).
- Sānu virsmas laukums - Sside (ja to izvērsiet, jūs iegūsitsava veida taisnstūris).
- Stereometriskas figūras apjoms - V.
- Kopējā platība - S.
Stereometriskas figūras “komponenti”
Pētot cilindru, liela nozīme ir sānu virsmas laukumam. Tas ir saistīts ar faktu, ka šī formula ir iekļauta vairākās citās, sarežģītākās. Tāpēc ir labi jāpārzina teorija.
Figūras galvenās sastāvdaļas ir:
- Sānu virsma. Kā zināms, tas tiek iegūts, pateicoties ģenerātora kustībai pa doto līkni.
- Pilna virsma ietver esošās pamatnes un sānu plakni.
- Cilindra sekcija, kā likums, ir taisnstūris, kas atrodas paralēli figūras asij. Citādi to sauc par lidmašīnu. Izrādās, ka garums un platums ir citu figūru nepilna laika komponenti. Tātad, nosacīti, sekcijas garumi ir ģeneratori. Platums - stereometriskas figūras paralēlie akordi.
- Aksiālā daļa nozīmē plaknes atrašanās vietu caur ķermeņa centru.
- Un visbeidzot galīgā definīcija. Pieskares ir plakne, kas iet caur cilindra ģenerātoru un ir taisnā leņķī pret aksiālo sekciju. Šajā gadījumā ir jāievēro viens nosacījums. Norādītais ģenerātors ir jāiekļauj aksiālās sekcijas plaknē.
Pamatformulas darbam ar cilindru
Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast cilindra virsmas laukumu, ir jāizpēta stereometriskās figūras galvenās "sastāvdaļas" un to atrašanas formulas.
Šīs formulas atšķiras ar to, ka vispirms ir dotas izteiksmes slīpajam cilindram un pēc tam taisnajam.
Dekonstruēti piemēri
1. uzdevums.
Ir jāzina cilindra sānu virsmas laukums. Dota griezuma diagonāle AC=8 cm (turklāt tā ir aksiāla). Saskaroties ar ģenerātoru, izrādās <ACD=30°
Lēmums. Tā kā diagonāles un leņķa vērtības ir zināmas, tad šajā gadījumā:
CD=ACcos 30°
Komentēt. Trijstūris ACD šajā konkrētajā piemērā ir taisnleņķa trīsstūris. Tas nozīmē, ka CD un AC dalīšanas koeficients=dotā leņķa kosinuss. Trigonometrisko funkciju vērtību var atrast īpašā tabulā.
Līdzīgi varat atrast AD vērtību:
AD=ACsin 30°
Tagad jums ir jāaprēķina vēlamais rezultāts, izmantojot šādu formulējumu: cilindra sānu virsmas laukums ir vienāds ar divkāršu rezultātu, reizinot "pi", figūras rādiusu un tā augstumu. Jāizmanto arī cita formula: cilindra pamatnes laukums. Tas ir vienāds ar rezultātu, reizinot "pi" ar rādiusa kvadrātu. Un visbeidzot, pēdējā formula: kopējais virsmas laukums. Tas ir vienāds ar iepriekšējo divu laukumu summu.
2. uzdevums.
Cilindri ir doti. To tilpums=128n cm³. Kuram cilindram ir mazākaispilna virsma?
Lēmums. Vispirms ir jāizmanto formulas, lai atrastu figūras tilpumu un augstumu.
Tā kā cilindra kopējais virsmas laukums ir zināms no teorijas, ir jāpiemēro tā formula.
Ja mēs uzskatām iegūto formulu kā cilindra laukuma funkciju, tad minimālais "rādītājs" tiks sasniegts galējā punktā. Lai iegūtu pēdējo vērtību, jums ir jāizmanto diferencēšana.
Formulas var apskatīt speciālā tabulā atvasinājumu atrašanai. Nākotnē atrastais rezultāts tiek pielīdzināts nullei un tiek atrasts vienādojuma atrisinājums.
Atbilde: Smin tiks sasniegts pie h=1/32 cm, R=64 cm.
3. problēma.
Piešķirts stereometrisks skaitlis - cilindrs un sekcija. Pēdējais tiek veikts tā, lai tas atrastos paralēli stereometriskā korpusa asij. Cilindram ir šādi parametri: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Nepieciešams atrast attālumu starp sekciju un asi.
Lēmums.
Tā kā ar cilindra šķērsgriezumu saprot VSCM, t.i., taisnstūri, tā mala VM=h. WMC ir jāņem vērā. Trijstūris ir taisnstūrveida. Pamatojoties uz šo apgalvojumu, mēs varam secināt pareizo pieņēmumu, ka MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17²–15²
MK²=64
MK=8
No šejienes varam secināt, ka MK=BC=8 cm.
Nākamais solis ir zīmēt griezumu caur figūras pamatni. Ir jāņem vērā iegūtā plakne.
AD – stereometriskas figūras diametrs. Tā ir paralēla sadaļai, kas minēta problēmas paziņojumā.
BC ir taisna līnija, kas atrodas esošā taisnstūra plaknē.
ABCD ir trapecveida forma. Konkrētā gadījumā to uzskata par vienādsānu, jo ap to ir aprakstīts aplis.
Ja atrodat iegūtās trapeces augstumu, varat iegūt atbildi, kas sniegta uzdevuma sākumā. Proti: attāluma atrašana starp asi un novilkto griezumu.
Lai to izdarītu, jums ir jāatrod AD un OS vērtības.
Atbilde: posms atrodas 3 cm no ass.
Materiāla konsolidācijas problēmas
1. piemērs.
Cilindrs dots. Sānu virsmas laukums tiek izmantots turpmākajā risinājumā. Citas iespējas ir zināmas. Pamatnes laukums ir Q, aksiālās sekcijas laukums ir M. Ir jāatrod S. Citiem vārdiem sakot, cilindra kopējais laukums.
2. piemērs.
Cilindrs dots. Sānu virsmas laukums ir jāatrod vienā no problēmas risināšanas soļiem. Ir zināms, ka augstums=4 cm, rādiuss=2 cm. Nepieciešams atrast stereometriskas figūras kopējo laukumu.
