Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums un tilpums: formulas un tipiskas problēmas risināšanas piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Pētot figūru īpašības trīsdimensiju telpā stereometrijas ietvaros, nereti nākas risināt tilpuma un virsmas laukuma noteikšanas uzdevumus. Šajā rakstā mēs parādīsim, kā aprēķināt nošķeltas piramīdas tilpumu un sānu virsmas laukumu, izmantojot labi zināmas formulas.

Piramīda ģeometrijā

Ģeometrijā parasta piramīda ir figūra telpā, kas ir uzcelta uz kāda plakana n-stūra. Visas tā virsotnes ir savienotas ar vienu punktu, kas atrodas ārpus daudzstūra plaknes. Piemēram, šeit ir fotoattēls, kurā redzama piecstūra piramīda.

Šo figūru veido skaldnes, virsotnes un malas. Piecstūra seju sauc par pamatni. Atlikušās trīsstūrveida virsmas veido sānu virsmu. Visu trīsstūru krustpunkts ir piramīdas galvenā virsotne. Ja no tā uz pamatni tiek nolaists perpendikuls, tad ir iespējami divi krustojuma punkta pozīcijas varianti:

• ģeometriskajā centrā, tad piramīdu sauc par taisni;
• nav iekšāģeometriskais centrs, tad figūra būs slīpa.

Turpmāk mēs apskatīsim tikai taisnas figūras ar regulāru n-stūra pamatni.

Kas tas par figūru - nošķelta piramīda?

Lai noteiktu nošķeltas piramīdas tilpumu, ir skaidri jāsaprot, par kuru figūru konkrēti ir runa. Noskaidrosim šo problēmu.

Pieņemsim, ka ņemam griešanas plakni, kas ir paralēla parastas piramīdas pamatnei, un ar to nogriežam daļu sānu virsmas. Ja šī darbība tiek veikta ar piecstūra piramīdu, kas parādīta iepriekš, jūs iegūsit tādu figūru kā attēlā zemāk.

Pēc bildes redzams, ka šai piramīdai jau ir divas pamatnes, un augšējā ir līdzīga apakšējai, taču tā ir mazāka izmēra. Sānu virsmu vairs attēlo nevis trijstūri, bet gan trapeces. Tie ir vienādsānu, un to skaits atbilst pamatnes malu skaitam. Nogrieztai figūrai nav galvenās virsotnes, piemēram, parastai piramīdai, un tās augstumu nosaka attālums starp paralēlām pamatnēm.

Vispārīgā gadījumā, ja aplūkojamo figūru veido n-stūra pamatnes, tai ir n+2 skaldnes jeb malas, 2n virsotnes un 3n malas. Tas nozīmē, ka nošķelta piramīda ir daudzskaldnis.

Nošķeltas piramīdas tilpuma formula

Atcerieties, ka parastas piramīdas tilpums ir 1/3 no tās augstuma un pamatlaukuma reizinājuma. Šī formula nav piemērota nošķeltai piramīdai, jo tai ir divas bāzes. Un tā apjomsvienmēr būs mazāka par to pašu vērtību parastajam skaitlim, no kura tas ir iegūts.

Neiedziļinoties izteiksmes iegūšanas matemātiskajās detaļās, mēs piedāvājam galīgo formulu nošķeltas piramīdas tilpumam. Tas ir rakstīts šādi:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Šeit S₁ un S_{2 ir attiecīgi apakšējās un augšējās pamatnes laukumi, h ir figūras augstums. Rakstītā izteiksme ir derīga ne tikai taisnai regulārai nošķeltai piramīdai, bet arī jebkurai šīs klases figūrai. Turklāt neatkarīgi no bāzes daudzstūru veida. Vienīgais nosacījums, kas ierobežo izteiksmes V izmantošanu, ir nepieciešamība piramīdas pamatiem būt paralēli viens otram.}

Izpētot šīs formulas īpašības, var izdarīt vairākus svarīgus secinājumus. Tātad, ja augšējās pamatnes laukums ir nulle, mēs nonākam pie parastās piramīdas formulas V. Ja bāzu laukumi ir vienādi viens ar otru, tad iegūstam prizmas tilpuma formulu.

Kā noteikt sānu virsmas laukumu?

Lai zinātu nošķeltas piramīdas raksturlielumus, ir jāprot ne tikai aprēķināt tās tilpumu, bet arī jāzina, kā noteikt sānu virsmas laukumu.

Nogrieztā piramīda sastāv no divu veidu skaldnēm:

• vienādsānu trapeces;
• daudzstūra pamatnes.

Ja bāzēs ir regulārs daudzstūris, tad tā laukuma aprēķins neatspoguļo lielugrūtības. Lai to izdarītu, jums jāzina tikai malas a garums un to skaits n.

Sānu virsmas gadījumā tās laukuma aprēķināšana ietver šīs vērtības noteikšanu katrai no n trapecveida formām. Ja n-stūris ir pareizs, tad sānu virsmas laukuma formula ir:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Šeit h_b ir trapeces augstums, ko sauc par figūras apotēmu. Lielumi a₁ un a_{2ir regulāru n-stūra pamatņu malu garumi.}

Katrai regulārai n-stūra saīsinātai piramīdai apotēmu h_b var unikāli definēt, izmantojot parametrus a₁ un a _{2un formas augstums h.}

Uzdevums aprēķināt figūras tilpumu un laukumu

Dotā regulāra trīsstūrveida nošķelta piramīda. Ir zināms, ka tās augstums h ir 10 cm, bet pamatņu malu garumi ir 5 cm un 3 cm. Kāds ir nošķeltās piramīdas tilpums un sānu virsmas laukums?

Vispirms aprēķināsim vērtību V. Lai to izdarītu, atrodiet vienādmalu trīsstūru laukumus, kas atrodas attēla pamatnē. Mums ir:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Aizvietojiet datus formulā V, mēs iegūstam vēlamo tilpumu:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Lai noteiktu sānu virsmu, jums jāzinaapotēma garums h_{b. Ņemot vērā atbilstošo taisnleņķa trīsstūri piramīdas iekšpusē, mēs varam uzrakstīt tam vienādību:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Apotēmas vērtība un trīsstūrveida pamatu malas tiek aizstātas izteiksmē S_{b, un mēs saņemam atbildi:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Tādējādi mēs atbildējām uz visiem problēmas jautājumiem: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.