Spēja aprēķināt telpisko figūru apjomu ir svarīga, risinot vairākas praktiskas problēmas ģeometrijā. Viena no visizplatītākajām formām ir piramīda. Šajā rakstā mēs aplūkosim formulas piramīdas tilpumam gan pilnai, gan saīsinātai.
Piramīda kā trīsdimensiju figūra
Ikviens zina par Ēģiptes piramīdām, tāpēc viņiem ir labs priekšstats par to, kāda figūra tiks apspriesta. Tomēr Ēģiptes akmens konstrukcijas ir tikai īpašs gadījums milzīgai piramīdu klasei.
Aplūkotais ģeometriskais objekts vispārīgā gadījumā ir daudzstūra bāze, kuras katra virsotne ir savienota ar kādu telpas punktu, kas nepieder pie pamatplaknes. Šī definīcija noved pie figūras, kas sastāv no viena n stūra un n trijstūriem.
Jebkura piramīda sastāv no n+1 skaldnēm, 2n malām un n+1 virsotnēm. Tā kā aplūkotais skaitlis ir ideāls daudzskaldnis, iezīmēto elementu skaitļi atbilst Eilera vienādībai:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Daudzstūris pie pamatnes dod piramīdas nosaukumu,piemēram, trīsstūrveida, piecstūrveida un tā tālāk. Piramīdu komplekts ar dažādām pamatnēm ir parādīts zemāk esošajā fotoattēlā.
Punktu, kurā ir savienoti n figūras trijstūri, sauc par piramīdas virsotni. Ja no tā uz pamatni ir nolaists perpendikuls un tas šķērso to ģeometriskajā centrā, tad šādu figūru sauks par taisni. Ja šis nosacījums nav izpildīts, tad pastāv slīpa piramīda.
Taisnu figūru, kuras pamatu veido vienādmalu (vienstūrveida) n-stūris, sauc par regulāru.
Piramīdas tilpuma formula
Lai aprēķinātu piramīdas tilpumu, mēs izmantojam integrālrēķinu. Lai to izdarītu, mēs sadalām figūru ar atdalošām plaknēm, kas ir paralēlas pamatnei, bezgalīgi daudzos plānos slāņos. Zemāk redzamajā attēlā ir parādīta četrstūra piramīda ar augstumu h un malas garumu L, kurā plāns griezuma slānis ir atzīmēts ar četrstūri.
Katra šāda slāņa laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Šeit A0 ir pamatnes laukums, z ir vertikālās koordinātas vērtība. Redzams, ka, ja z=0, tad formula dod vērtību A0.
Lai iegūtu formulu piramīdas tilpumam, jāaprēķina integrālis visā figūras augstumā, tas ir:
V=∫h0(A(z)dz).
Aizvietojot atkarību A(z) un aprēķinot antiatvasinājumu, mēs nonākam pie izteiksmes:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Mēs saņēmām piramīdas tilpuma formulu. Lai atrastu V vērtību, pietiek ar skaitļa augstumu reizināt ar pamatnes laukumu un pēc tam dalīt rezultātu ar trīs.
Ņemiet vērā, ka iegūtā izteiksme ir derīga patvaļīga tipa piramīdas tilpuma aprēķināšanai. Tas ir, tas var būt slīps, un tā bāze var būt patvaļīgs n stūris.
Pareizā piramīda un tās apjoms
Iepriekšējā rindkopā iegūto vispārīgo tilpuma formulu var precizēt piramīdas gadījumā ar pareizo pamatni. Šādas bāzes laukumu aprēķina, izmantojot šādu formulu:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Šeit L ir regulāra daudzstūra malas garums ar n virsotnēm. Simbols pi ir skaitlis pi.
Aizvietojot izteiksmi A0 vispārējā formulā, iegūstam regulāras piramīdas tilpumu:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Piemēram, trīsstūrveida piramīdai šī formula noved pie šādas izteiksmes:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Parastā četrstūra piramīdas tilpuma formula ir šāda:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Lai noteiktu parasto piramīdu tilpumu, ir jāzina to pamatnes mala un figūras augstums.
Nošķelta piramīda
Pieņemsim, ka mēs paņēmāmpatvaļīgu piramīdu un nogriež daļu no tās sānu virsmas, kas satur virsotni. Atlikušo figūru sauc par nošķeltu piramīdu. Tas jau sastāv no divām n-stūra pamatnēm un n trapecveida formām, kas tos savieno. Ja griešanas plakne bija paralēla figūras pamatnei, tad tiek veidota nošķelta piramīda ar paralēlām līdzīgām pamatnēm. Tas ir, vienas malas garumus var iegūt, reizinot otras malu garumus ar kādu koeficientu k.
Augšējā attēlā redzama nošķelta regulāra sešstūra piramīda. Var redzēt, ka tā augšējo pamatni, tāpat kā apakšējo, veido regulārs sešstūris.
Nocirstas piramīdas tilpuma formula, ko var iegūt, izmantojot integrāļa aprēķinu, kas ir līdzīgs dotajam, ir:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kur A0 un A1 ir attiecīgi apakšējās (lielās) un augšējās (mazās) bāzes apgabali. Mainīgais lielums h ir nošķeltas piramīdas augstums.
Heopsa piramīdas tilpums
Interesanti atrisināt lielāko Ēģiptes piramīdas tilpuma noteikšanu.
1984. gadā britu ēģiptologi Marks Lēners un Džons Gudmens noteica precīzus Heopsa piramīdas izmērus. Tā sākotnējais augstums bija 146,50 metri (šobrīd aptuveni 137 metri). Katras no četrām konstrukcijas malām vidējais garums bija 230,363 metri. Piramīdas pamatne ir kvadrātveida ar augstu precizitāti.
Izmantosim dotos skaitļus, lai noteiktu šī akmens milža apjomu. Tā kā piramīda ir regulārs četrstūris, tad tai ir derīga formula:
V4=1/3L2h.
Aizvietojiet skaitļus, mēs iegūstam:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Heopsa piramīdas tilpums ir gandrīz 2,6 miljoni m3. Salīdzinājumam atzīmējam, ka olimpiskā baseina tilpums ir 2,5 tūkstoši m3. Tas ir, lai aizpildītu visu Heopsa piramīdu, būs nepieciešami vairāk nekā 1000 šādu baseinu!
