Pētot pilnīgi jebkuru telpisku figūru, ir svarīgi zināt, kā aprēķināt tās apjomu. Šajā rakstā ir sniegta formula regulāras četrstūra piramīdas tilpumam, kā arī parādīts, kā šī formula jāizmanto, izmantojot uzdevumu risināšanas piemēru.
Par kuru piramīdu mēs runājam?
Katrs vidusskolnieks zina, ka piramīda ir daudzskaldnis, kas sastāv no trijstūriem un daudzstūra. Pēdējais ir figūras pamats. Trijstūriem ir viena kopīga mala ar pamatni, un tie krustojas vienā punktā, kas ir piramīdas virsotne.
Katrai piramīdai ir raksturīgs pamatnes malu garums, sānu malu garums un augstums. Pēdējais ir perpendikulārs segments, kas ir nolaists līdz pamatnei no attēla augšdaļas.
Parastā četrstūra piramīda ir figūra ar kvadrātveida pamatni, kuras augstums krusto šo kvadrātu tā centrā. Iespējams, ka slavenākais šāda veida piramīdu piemērs ir senās Ēģiptes akmens konstrukcijas. Zemāk ir fotogrāfijaHeopsa piramīdas.
Pētītajai figūrai ir piecas skaldnes, no kurām četras ir identiski vienādsānu trīsstūri. To raksturo arī piecas virsotnes, no kurām četras pieder pie pamatnes, un astoņas malas (4 pamatnes malas un 4 sānu virsmu malas).
Četrstūra piramīdas tilpuma formula ir pareiza
Attiecīgās figūras apjoms ir telpas daļa, kuru ierobežo piecas malas. Lai aprēķinātu šo tilpumu, mēs izmantojam šādu šķēles laukuma atkarību, kas ir paralēla piramīdas pamatnei Sz no vertikālās koordinātas z:
Sz=So (h - z/h)2
Šeit So ir kvadrātveida pamatnes laukums. Ja rakstītajā izteiksmē aizvietosim z=h, tad Sz iegūsim nulles vērtību. Šī z vērtība atbilst šķēlei, kurā būs tikai piramīdas augšdaļa. Ja z=0, tad iegūstam pamatlaukuma vērtību So.
Piramīdas tilpumu ir viegli atrast, ja zināt funkciju Sz(z), lai to izdarītu, pietiek ar figūras izgriešanu bezgalīgā skaitā. slāņus paralēli pamatnei, un pēc tam veiciet integrācijas darbību. Es sekoju šai tehnikai, mēs iegūstam:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Jo S0 irkvadrāta pamatnes laukumu, tad, apzīmējot kvadrāta malu ar burtu a, iegūstam regulāras četrstūra piramīdas tilpuma formulu:
V=1/3a2h.
Tagad izmantosim problēmu risināšanas piemērus, lai parādītu, kā šī izteiksme ir jāpiemēro.
Piramīdas tilpuma noteikšanas problēma caur tās apotēmu un sānu malu
Piramīdas apotēma ir tās sānu trīsstūra augstums, kas ir nolaists uz pamatnes sāniem. Tā kā regulārā piramīdā visi trīsstūri ir vienādi, arī to apotēmi būs vienādi. Apzīmēsim tā garumu ar simbolu hb. Apzīmējiet sānu malu kā b.
Zinot, ka piramīdas apotēma ir 12 cm, bet sānu mala ir 15 cm, atrodiet regulāras četrstūra piramīdas tilpumu.
Iepriekšējā rindkopā uzrakstītā figūras tilpuma formula satur divus parametrus: malas garums a un augstums h. Šobrīd mēs nevienu no viņiem nezinām, tāpēc apskatīsim viņu aprēķinus.
Kvadrāta a malas garumu ir viegli aprēķināt, ja taisnleņķa trijstūrim izmantojat Pitagora teorēmu, kurā hipotenūza ir mala b, bet kājas ir apotēma h b un puse no pamatnes malas a/2. Mēs iegūstam:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Aizvietojot zināmās vērtības no nosacījuma, iegūstam vērtību a=18 cm.
Lai aprēķinātu piramīdas augstumu h, varat veikt divas lietas: apsvērt taisnstūrveida formutrīsstūris ar hipotenūzu-sānu malu vai ar hipotenūzu-apotēmu. Abas metodes ir vienādas un ietver vienādu matemātisko darbību skaitu. Pakavēsimies pie trijstūra apsvēruma, kur hipotenūza ir apotēma hb. Tajā esošās kājas būs h un a / 2. Tad mēs iegūstam:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Tagad varat izmantot formulu V sējumam:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Tādējādi regulāras četrstūra piramīdas tilpums ir aptuveni 0,86 litri.
Heopsa piramīdas tilpums
Tagad atrisināsim interesantu un praktiski svarīgu problēmu: atradīsim Gizas lielākās piramīdas tilpumu. No literatūras zināms, ka ēkas sākotnējais augstums bija 146,5 metri, bet tās pamatnes garums ir 230,363 metri. Šie skaitļi ļauj izmantot formulu, lai aprēķinātu V. Mēs iegūstam:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Rezultātā iegūtā vērtība ir gandrīz 2,6 miljoni m3. Šis tilpums atbilst kuba tilpumam, kura mala ir 137,4 metri.
