Parastas četrstūra piramīdas sānu virsmas laukums: formulas un uzdevumu piemēri

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Tipiskās ģeometriskās problēmas plaknē un trīsdimensiju telpā ir dažādu formu virsmas laukumu noteikšanas problēmas. Šajā rakstā mēs piedāvājam regulāras četrstūra piramīdas sānu virsmas laukuma formulu.

Kas ir piramīda?

Sniegsim stingru piramīdas ģeometrisko definīciju. Pieņemsim, ka ir kāds daudzstūris ar n malām un n stūriem. Izvēlamies patvaļīgu telpas punktu, kas neatradīsies norādītā n-stūra plaknē, un savienojam to ar katru daudzstūra virsotni. Mēs iegūsim figūru, kurai ir kāds tilpums, ko sauc par n-stūra piramīdu. Piemēram, tālāk esošajā attēlā parādīsim, kā izskatās piecstūra piramīda.

Divi svarīgi jebkuras piramīdas elementi ir tās pamatne (n-gon) un augšdaļa. Šie elementi ir savienoti viens ar otru ar n trijstūriem, kas kopumā nav vienādi viens ar otru. Perpendikulāri nokrita nono augšas uz leju sauc figūras augstumu. Ja tā krustojas ar pamatni ģeometriskajā centrā (sakrīt ar daudzstūra masas centru), tad šādu piramīdu sauc par taisni. Ja papildus šim nosacījumam pamatne ir regulārs daudzstūris, tad visu piramīdu sauc par regulāru. Tālāk esošajā attēlā parādīts, kā izskatās parastas piramīdas ar trīsstūrveida, četrstūra, piecstūra un sešstūra pamatnēm.

Piramīdas virsma

Pirms pievērsties jautājumam par regulāras četrstūra piramīdas sānu virsmas laukumu, jāpakavējas pie pašas virsmas jēdziena.

Kā minēts iepriekš un parādīts attēlos, jebkuru piramīdu veido seju vai sānu kopa. Viena mala ir pamatne un n malas ir trijstūri. Visas figūras virsma ir katras tās malas laukumu summa.

Ir ērti pētīt virsmu pēc figūras izvēršanās piemēra. Parastas četrstūra piramīdas skenēšana ir parādīta zemāk esošajos attēlos.

Mēs redzam, ka tā virsmas laukums ir vienāds ar četru vienādu vienādsānu trīsstūru laukumu un kvadrāta laukuma summu.

Visu trijstūri, kas veido figūras malas, kopējo laukumu sauc par sānu virsmas laukumu. Tālāk mēs parādīsim, kā to aprēķināt parastai četrstūra piramīdai.

Četrstūrveida regulāras piramīdas sānu virsmas laukums

Lai aprēķinātu sānu laukumunorādītā attēla virsmu, mēs atkal pievēršamies iepriekš minētajai skenēšanai. Pieņemsim, ka mēs zinām kvadrātveida pamatnes malu. Apzīmēsim to ar simbolu a. Var redzēt, ka katram no četriem identiskiem trīsstūriem ir a garuma bāze. Lai aprēķinātu to kopējo laukumu, jums jāzina šī viena trīsstūra vērtība. No ģeometrijas kursa ir zināms, ka trijstūra laukums S_{t ir vienāds ar pamatnes un augstuma reizinājumu, kas jādala uz pusēm. Tas ir:}

S_t=1/2h_ba.

Kur h_b ir vienādsānu trijstūra augstums, kas novilkts uz pamatni a. Piramīdai šis augstums ir apotēma. Tagad atliek iegūto izteiksmi reizināt ar 4, lai iegūtu attiecīgās piramīdas sānu virsmas laukumu S_b:

S_b=4S_t=2h_ba.

Šajā formulā ir divi parametri: apotēms un pamatnes sāns. Ja pēdējais ir zināms lielākajā daļā problēmu, tad pirmais ir jāaprēķina, zinot citus lielumus. Šeit ir formulas apotēmas h_{b aprēķināšanai diviem gadījumiem:}

• kad ir zināms sānu ribas garums;
• kad ir zināms piramīdas augstums.

Ja apzīmējam sānu malas (vienādsānu trijstūra malas) garumu ar simbolu L, tad apotēmu h_{b nosaka pēc formulas:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Šī izteiksme ir Pitagora teorēmas pielietošanas rezultāts sānu virsmas trīsstūrim.

Ja zināmspiramīdas augstumu h, tad apotēmu h_{b var aprēķināt šādi:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Šo izteiksmi nav grūti iegūt arī tad, ja piramīdas iekšpusē ņemam vērā taisnleņķa trīsstūri, ko veido kājas h un a/2 un hipotenūza h_b.

Parādīsim, kā pielietot šīs formulas, atrisinot divas interesantas problēmas.

Problēma ar zināmo virsmas laukumu

Ir zināms, ka regulāras četrstūra piramīdas sānu virsmas laukums ir 108 cm². Nepieciešams aprēķināt tās apotēmas garuma vērtību h_{b, ja piramīdas augstums ir 7 cm.}

Uzrakstīsim formulu sānu virsmas laukumam S_{b caur augstumu. Mums ir:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Šeit mēs tikko aizstājām atbilstošo apotemas formulu izteiksmē S_{b. Izlīdzināsim abas vienādojuma puses kvadrātā:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Lai atrastu a vērtību, mainīsim mainīgos:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Tagad mēs aizstājam zināmās vērtības un atrisinām kvadrātvienādojumu:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Mēs izrakstījām tikai šī vienādojuma pozitīvo sakni. Tad piramīdas pamatnes malas būs:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Lai iegūtu apotēmas garumu,vienkārši izmantojiet formulu:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 sk.}

Heopsa piramīdas sānu virsma

Nosakiet lielākās Ēģiptes piramīdas sānu virsmas laukuma vērtību. Ir zināms, ka tā pamatnē atrodas kvadrāts, kura malas garums ir 230,363 metri. Struktūras augstums sākotnēji bija 146,5 metri. Aizstājiet šos skaitļus atbilstošajā formulā S_{b, mēs iegūstam:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Atrastā vērtība ir nedaudz lielāka nekā 17 futbola laukumu platība.