Piramīdas apotēma. Regulāras trīsstūrveida piramīdas apotēmas formulas

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Piramīda ir telpisks daudzskaldnis jeb daudzskaldnis, kas rodas ģeometriskos uzdevumos. Šī skaitļa galvenās īpašības ir tā tilpums un virsmas laukums, ko aprēķina, zinot jebkurus divus tā lineāros raksturlielumus. Viena no šīm īpašībām ir piramīdas apotēma. Tas tiks apspriests rakstā.

Piramīdas forma

Pirms sniegt piramīdas apotēmas definīciju, iepazīsimies ar pašu figūru. Piramīda ir daudzskaldnis, ko veido viena n-stūra pamatne un n trīsstūri, kas veido figūras sānu virsmu.

Katrai piramīdai ir virsotne – visu trīsstūru savienojuma punkts. Perpendikulu, kas novilkts no šīs virsotnes uz pamatni, sauc par augstumu. Ja augstums krustojas ar pamatni ģeometriskajā centrā, tad figūru sauc par taisnu līniju. Taisnu piramīdu ar vienādmalu pamatni sauc par regulāru piramīdu. Attēlā ir redzama piramīda ar sešstūra pamatni, kas tiek skatīta no malas un malas.

Labās piramīdas apotēma

Viņu sauc arī par apotēmu. To saprot kā perpendikulu, kas novilkts no piramīdas augšdaļas uz figūras pamatnes pusi. Pēc definīcijas šis perpendikuls atbilst trijstūra augstumam, kas veido piramīdas sānu malu.

Tā kā mēs uzskatām parastu piramīdu ar n-stūra pamatni, tad visas n apotēmas tai būs vienādas, jo tādi ir figūras sānu virsmas vienādsānu trīsstūri. Ņemiet vērā, ka identiski apotēmi ir regulāras piramīdas īpašība. Vispārīga veida figūrai (slīpa ar neregulāru n stūri) visi n apotēmi būs atšķirīgi.

Vēl viena regulāras piramīdas apotēmas īpašība ir tā, ka tā vienlaikus ir atbilstošā trīsstūra augstums, mediāna un bisektrise. Tas nozīmē, ka viņa to sadala divos identiskos taisnleņķa trīsstūros.

Trīsstūra piramīda un formulas tās apotēmas noteikšanai

Jebkurā regulārā piramīdā svarīgie lineārie raksturlielumi ir tās pamatnes malas garums, sānu mala b, augstums h un apotēma h_{b. Šie lielumi ir savstarpēji saistīti ar atbilstošām formulām, kuras var iegūt, zīmējot piramīdu un ņemot vērā nepieciešamos taisnleņķa trīsstūrus.}

Parastā trīsstūrveida piramīda sastāv no 4 trīsstūrveida skaldnēm, un vienai no tām (pamatnei) jābūt vienādmalu. Pārējie vispārīgā gadījumā ir vienādsānu. apotēmstrīsstūrveida piramīdu var noteikt citu lielumu izteiksmē, izmantojot šādas formulas:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Pirmā no šīm izteiksmēm ir derīga piramīdai ar jebkuru pareizu bāzi. Otrā izteiksme ir raksturīga tikai trīsstūrveida piramīdai. Tas parāda, ka apotēma vienmēr ir lielāka par figūras augstumu.

Nejauciet piramīdas apotēmu ar daudzskaldņa apotēmu. Pēdējā gadījumā apotēms ir perpendikulārs segments, kas novilkts uz daudzskaldņa malu no tā centra. Piemēram, vienādmalu trīsstūra apotēma ir √3/6a.

Apotēms uzdevums

Lai tiek dota regulāra piramīda ar trīsstūri pie pamatnes. Ir nepieciešams aprēķināt tās apotēmu, ja ir zināms, ka šī trijstūra laukums ir 34 cm2, un pati piramīda sastāv no 4 identiskām skaldnēm.

Atbilstoši uzdevuma nosacījumam mums ir darīšana ar tetraedru, kas sastāv no vienādmalu trijstūriem. Vienas sejas laukuma formula ir:

S=√3/4a2

Kur mēs iegūstam malas a garumu:

a=2√(S/√3)

Lai noteiktu apotēmu h_{b, mēs izmantojam formulu, kas satur sānu malu b. Izskatāmajā gadījumā tā garums ir vienāds ar pamatnes garumu, mums ir:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Aizstāt vērtību no a līdz S,mēs iegūstam galīgo formulu:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Mēs saņēmām vienkāršu formulu, kurā piramīdas apotēma ir atkarīga tikai no tās pamatnes laukuma. Ja vērtību S aizstājam ar uzdevuma nosacījumu, iegūstam atbildi: h_{b≈ 7, 674 cm.}