Ģeometriskās figūras telpā ir stereometrijas izpētes objekts, kuras kursu vidusskolā apgūst skolēni. Šis raksts ir veltīts tik perfektam daudzskaldnim kā prizma. Apskatīsim sīkāk prizmas īpašības un dosim formulas, kas kalpo to kvantitatīvā aprakstīšanai.
Kas ir prizma?
Ikviens iedomājas, kā izskatās kaste vai kubs. Abas figūras ir prizmas. Tomēr prizmu klase ir daudz daudzveidīgāka. Ģeometrijā šim skaitlim ir dota šāda definīcija: prizma ir jebkurš daudzskaldnis telpā, kuru veido divas paralēlas un identiskas daudzstūra malas un vairāki paralelogrami. Identiskas figūras paralēlās sejas tiek sauktas par tās pamatnēm (augšējo un apakšējo). Paralēlogrammas ir figūras sānu virsmas, kas savieno pamatnes malas viena ar otru.
Ja bāzi attēlo n-stūris, kur n ir vesels skaitlis, tad figūra sastāvēs no 2+n skaldnēm, 2n virsotnēm un 3n malām. Sejas un malas attiecas uzviens no diviem veidiem: vai nu tie pieder sānu virsmai, vai pamatnēm. Kas attiecas uz virsotnēm, tad tās visas ir vienādas un pieder prizmas bāzēm.
Pētāmās klases figūru veidi
Pētot prizmas īpašības, jāuzskaita iespējamie šīs figūras veidi:
- Izliekta un ieliekta. Atšķirība starp tām ir daudzstūra pamatnes formā. Ja tā ir ieliekta, tad tā būs arī trīsdimensiju figūra un otrādi.
- Taisni un slīpi. Taisnai prizmai sānu malas ir taisnstūri vai kvadrāti. Slīpā attēlā sānu malas ir vispārīga tipa paralelogrami vai rombi.
- Nepareizi un pareizi. Lai pētāmā figūra būtu pareiza, tai jābūt taisnai un ar pareizu pamatni. Pēdējais piemērs ir plakanas figūras, piemēram, vienādmalu trīsstūris vai kvadrāts.
Prizmas nosaukums veidots, ņemot vērā uzskaitīto klasifikāciju. Piemēram, iepriekš minēto taisnleņķa paralēlskaldni jeb kubu sauc par regulāru četrstūra prizmu. Parastās prizmas to augstās simetrijas dēļ ir ērti pētīt. To īpašības ir izteiktas konkrētu matemātisku formulu veidā.
Prizmas zona
Aplūkojot šādu prizmas īpašību par tās laukumu, ar to saprot visu tās virsmu kopējo laukumu. Šo vērtību ir visvieglāk iedomāties, ja izvērsit figūru, tas ir, izvērsiet visas sejas vienā plaknē. Tālāk tālākAttēlā parādīts divu prizmu slaucīšanas piemērs.
Patvaļīgai prizmai tās slaucīšanas laukuma formulu vispārīgā formā var uzrakstīt šādi:
S=2So+ bPsr.
Paskaidrosim apzīmējumu. Vērtība So ir vienas bāzes laukums, b ir sānu malas garums, Psr ir griezuma perimetrs, kas ir perpendikulāra figūras sānu paralelogramiem.
Rakstīto formulu bieži izmanto, lai noteiktu slīpo prizmu laukumus. Parastas prizmas gadījumā S izteiksmei būs noteikta forma:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Pirmais termins izteiksmē apzīmē regulāras prizmas divu pamatu laukumu, otrais ir sānu taisnstūru laukums. Šeit a ir regulāra n stūra malas garums. Ņemiet vērā, ka sānu malas b garums regulārai prizmai ir arī tās augstums h, tāpēc formulā b var aizstāt ar h.
Kā aprēķināt figūras tilpumu?
Prizma ir salīdzinoši vienkāršs daudzskaldnis ar augstu simetriju. Tāpēc, lai noteiktu tā apjomu, ir ļoti vienkārša formula. Tas izskatās šādi:
V=Soh.
Aprēķinot pamatnes laukumu un augstumu, var būt sarežģīti, ja skatāties uz neregulāru slīpu formu. Šī problēma tiek atrisināta, izmantojot secīgu ģeometrisko analīzi, kas ietver informāciju par divskaldņu leņķiem starp sānu paralelogramiem un pamatni.
Ja prizma ir pareiza, tadformula V kļūst diezgan konkrēta:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Kā redzat, apgabals S un tilpums V regulārai prizmai ir unikāli noteikti, ja ir zināmi divi tās lineārie parametri.
Trīsstūrveida regulāra prizma
Pabeigsim rakstu, apsverot regulāras trīsstūra prizmas īpašības. To veido piecas skaldnes, no kurām trīs ir taisnstūri (kvadrāti), bet divas ir vienādmalu trīsstūri. Prizmai ir sešas virsotnes un deviņas malas. Šai prizmai tilpuma un virsmas laukuma formulas ir uzrakstītas zemāk:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Papildus šīm īpašībām ir lietderīgi arī dot formulu figūras pamatnes apotēmai, kas ir vienādmalu trīsstūra augstums ha:
ha=√3/2a.
Prizmas malas ir identiski taisnstūri. To diagonāļu d garumi ir:
d=√(a2+ h2).
Zināšanas par trijstūra prizmas ģeometriskajām īpašībām interesē ne tikai teorētiski, bet arī praktiski. Fakts ir tāds, ka šis skaitlis, kas izgatavots no optiskā stikla, tiek izmantots, lai pētītu ķermeņu starojuma spektru.
Izejot cauri stikla prizmai, gaisma dispersijas fenomena rezultātā sadalās vairākās komponentkrāsās, kas rada apstākļus elektromagnētiskās plūsmas spektrālā sastāva izpētei.
