Skolas ģeometrijas kurss ir sadalīts divās lielās daļās: planimetrija un cietā ģeometrija. Stereometrija pēta telpiskās figūras un to īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim, kas ir taisna prizma, un sniegsim formulas, kas raksturo tās īpašības, piemēram, diagonāles garumus, tilpumu un virsmas laukumu.
Kas ir prizma?
Kad skolēni tiek lūgti nosaukt prizmas definīciju, viņi atbild, ka šis skaitlis ir divi identiski paralēli daudzstūri, kuru malas savieno paralelogrami. Šī definīcija ir pēc iespējas vispārīgāka, jo tā neuzliek nosacījumus daudzstūru formai, to savstarpējam izvietojumam paralēlās plaknēs. Turklāt tas nozīmē savienojošu paralelogramu klātbūtni, kuru klasē ietilpst arī kvadrāts, rombs un taisnstūris. Zemāk varat redzēt, kas ir četrstūra prizma.
Mēs redzam, ka prizma ir daudzskaldnis (daudzskaldnis), kas sastāv no n + 2malas, 2 × n virsotnes un 3 × n malas, kur n ir viena daudzstūra malu (virsotņu) skaits.
Abus daudzstūrus parasti sauc par figūras pamatiem, pārējās skaldnes ir prizmas malas.
Taisnas prizmas jēdziens
Ir dažāda veida prizmas. Tātad viņi runā par regulārām un neregulārām figūrām, par trīsstūrveida, piecstūra un citām prizmām, ir izliektas un ieliektas figūras, un, visbeidzot, tās ir slīpas un taisnas. Parunāsim par pēdējo sīkāk.
Labā prizma ir tāda pētāmās daudzskaldņu klases figūra, kuras visiem sānu četrstūriem ir taisnleņķi. Ir tikai divu veidu šādi četrstūri – taisnstūris un kvadrāts.
Aplūkotajai figūras formai ir svarīga īpašība: taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malas garumu. Ņemiet vērā, ka visas figūras sānu malas ir vienādas viena ar otru. Kas attiecas uz sānu virsmām, parasti tās nav vienādas viena ar otru. To vienlīdzība ir iespējama, ja papildus tam, ka prizma ir taisna, tā būs arī pareiza.
Zemāk redzamajā attēlā ir parādīta taisna figūra ar piecstūrainu pamatni. Var redzēt, ka visas tā sānu malas ir taisnstūri.
Prizmas diagonāles un tās lineārie parametri
Jebkuras prizmas galvenie lineārie raksturlielumi ir tās augstums h un pamatnes malu garumi ai, kur i=1, …, n. Ja pamatne ir regulārs daudzstūris, tad, lai aprakstītu tās īpašības, pietiek zināt vienas malas garumu a. Atzīmēto lineāro parametru zināšana ļauj viennozīmīgidefinējiet tādas figūras īpašības kā tās tilpumu vai virsmu.
Taisnas prizmas diagonāles ir segmenti, kas savieno jebkuras divas neblakusošas virsotnes. Šādas diagonāles var būt trīs veidu:
- guļ pamatplaknēs;
- atrodas sānu taisnstūru plaknēs;
- skaitļi, kas pieder sējumam.
To diagonāļu garumi, kas saistīti ar pamatni, jānosaka atkarībā no n-stūra veida.
Sānu taisnstūru diagonāles tiek aprēķinātas, izmantojot šādu formulu:
d1i=√(ai2+ h2).
Lai noteiktu skaļuma diagonāles, ir jāzina attiecīgās bāzes diagonāles garuma un augstuma vērtība. Ja kādu pamatnes diagonāli apzīmē ar burtu d0i, tad tilpuma diagonāli d2i aprēķina šādi:
d2i=√(d0i2+ h2).
Piemēram, parastas četrstūra prizmas gadījumā skaļuma diagonāles garums būs:
d2=√(2 × a2+ h2).
Ņemiet vērā, ka taisnleņķa trīsstūrveida prizmai ir tikai viens no trim nosauktajiem diagonāļu veidiem: sānu diagonāle.
Pētītās formu klases virsma
Virsmas laukums ir visu figūras seju laukumu summa. Lai vizualizētu visas sejas, jums vajadzētu skenēt prizmu. Piecstūra figūras piemērs ir parādīts zemāk.
Mēs redzam, ka plaknes figūru skaits ir n + 2, un n ir taisnstūri. Lai aprēķinātu visas slaucīšanas laukumu, pievienojiet divu identisku pamatu laukumus un visu taisnstūru laukumus. Tad atbilstošā formula izskatīsies šādi:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Šī vienādība parāda, ka pētītā tipa prizmu sānu virsmas laukums ir vienāds ar figūras augstuma un tās pamatnes perimetra reizinājumu.
So bāzes laukumu var aprēķināt, izmantojot atbilstošu ģeometrisko formulu. Piemēram, ja taisnleņķa prizmas pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, mēs iegūstam:
So=a1 × a2 / 2.
Kur a1 un a2 ir trijstūra kājas.
Ja pamatne ir n-stūris ar vienādiem leņķiem un malām, tad godīga būs šāda formula:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Skaļuma formula
Jebkura veida prizmas tilpuma noteikšana nav grūts uzdevums, ja ir zināms tās pamatlaukums So un augstums h. Reizinot šīs vērtības kopā, mēs iegūstam skaitļa tilpumu V, tas ir:
V=So × h.
Tā kā taisnas prizmas parametrs h ir vienāds ar sānu malas garumu, visa tilpuma aprēķināšanas problēma ir saistīta ar laukuma So aprēķināšanu. Virs mumsjau ir teikuši dažus vārdus un iedevuši pāris formulas, lai noteiktu So. Šeit mēs atzīmējam tikai to, ka patvaļīgas formas pamatnes gadījumā tas ir jāsadala vienkāršos segmentos (trīsstūros, taisnstūros), jāaprēķina katra laukums un pēc tam jāpievieno visi apgabali, lai iegūtu S o.
