Regulāra sešstūra piramīda. Formulas tilpumam un virsmas laukumam. Ģeometriskas problēmas risinājums

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Stereometrija kā ģeometrijas nozare telpā pēta prizmu, cilindru, konusu, lodīšu, piramīdu un citu trīsdimensiju figūru īpašības. Šis raksts ir veltīts detalizētam sešstūrainas regulāras piramīdas raksturlielumu un īpašību apskatam.

Kura piramīda tiks pētīta

Parastā sešstūra piramīda ir figūra telpā, kuru ierobežo viens vienādmalu un vienādstūrveida sešstūris un seši vienādi vienādsānu trīsstūri. Šie trīsstūri noteiktos apstākļos var būt arī vienādmalu. Šī piramīda ir parādīta zemāk.

Šeit ir parādīts tas pats skaitlis, tikai vienā gadījumā tas ir pagriezts ar sānu seju pret lasītāju, bet otrā - ar sānu malu.

Parastai sešstūra piramīdai ir 7 skaldnes, kas tika minētas iepriekš. Tam ir arī 7 virsotnes un 12 malas. Atšķirībā no prizmām, visām piramīdām ir viena īpaša virsotne, kuru veido sānu krustošanās.trijstūri. Parastai piramīdai tai ir svarīga loma, jo perpendikuls, kas no tās nolaists līdz figūras pamatnei, ir augstums. Tālāk augstums tiks apzīmēts ar burtu h.

Parādītā piramīda tiek saukta par pareizu divu iemeslu dēļ:

• tā pamatnē ir sešstūris ar vienādu malu garumu a un vienādiem leņķiem 120o;
• Piramīdas h augstums krusto sešstūri tieši tā centrā (krustošanās punkts atrodas vienādā attālumā no visām sešstūra malām un virsotnēm).

Virsmas laukums

Regulāras sešstūra piramīdas īpašības tiks ņemtas vērā no tās laukuma definīcijas. Lai to izdarītu, vispirms ir lietderīgi atlocīt figūru plaknē. Tā shematisks attēlojums ir parādīts zemāk.

Var redzēt, ka slaucīšanas laukums un līdz ar to visa aplūkojamās figūras virsma ir vienāda ar sešu vienādu trīsstūru un viena sešstūra laukumu summu.

Lai noteiktu sešstūra laukumu S_{6, izmantojiet parasto n-stūra universālo formulu:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kur a ir sešstūra malas garums.

Trijstūra sānu malas laukumu S₃ var atrast, ja zināt tā augstuma vērtību h_b:

S₃=1/2h_ba.

Jo visi sešitrijstūri ir vienādi viens ar otru, tad iegūstam darba izteiksmi sešstūra piramīdas laukuma noteikšanai ar pareizo pamatni:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramīdas apjoms

Tāpat kā laukums, arī sešstūrainas regulāras piramīdas tilpums ir tās svarīga īpašība. Šo tilpumu aprēķina pēc vispārīgās formulas visām piramīdām un konusiem. Pierakstīsim:

V=1/3S_oh.

Šeit simbols S_o ir sešstūra pamatnes laukums, t.i., S_o=S _6.

Aizvietojot iepriekš minēto izteiksmi S_{6 formulā V, mēs nonākam pie galīgās vienādības regulāras sešstūra piramīdas tilpuma noteikšanai:}

V=√3/2a2h.

Ģeometriskas problēmas piemērs

Parastā sešstūra piramīdā sānu mala ir divreiz garāka par pamatmalas garumu. Zinot, ka pēdējais ir 7 cm, ir jāaprēķina šī skaitļa virsmas laukums un tilpums.

Kā jūs varētu nojaust, šīs problēmas risinājums ietver iepriekš iegūto izteicienu izmantošanu attiecībā uz S un V. Tomēr tos nevarēs izmantot uzreiz, jo mēs nezinām apotēmu un regulāras sešstūra piramīdas augstums. Aprēķināsim tos.

Apotēmu h_b var noteikt, ņemot vērā taisnleņķa trijstūri, kas veidots uz malām b, a/2 un h_{b. Šeit b ir sānu malas garums. Izmantojot problēmas nosacījumu, mēs iegūstam:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Piramīdas augstumu h var noteikt tieši tāpat kā apotēmu, bet tagad jāņem vērā trijstūris ar malām h, b un a, kas atrodas piramīdas iekšpusē. Augstums būs:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Var redzēt, ka aprēķinātā augstuma vērtība ir mazāka par apotēmu, kas attiecas uz jebkuru piramīdu.

Tagad varat izmantot izteiksmes skaļumam un laukumam:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Tādējādi, lai nepārprotami noteiktu jebkuru regulāras sešstūra piramīdas raksturlielumu, ir jāzina jebkuri divi tās lineārie parametri.