Regulāra un nošķelta konusa sānu virsma. Problēmas risināšanas formulas un piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Aplūkojot skaitļus telpā, bieži rodas problēmas, nosakot to virsmas laukumu. Viena no šādām figūrām ir konuss. Apsveriet rakstā, kāda ir sānu virsma konusam ar apaļu pamatni, kā arī nošķeltu konusu.

Konuss ar apaļu pamatni

Pirms ķerties pie konusa sānu virsmas izskatīšanas, parādīsim, kāda veida figūra tā ir un kā to iegūt ar ģeometriskām metodēm.

Paņemiet taisnleņķa trīsstūri ABC, kur AB un AC ir kājas. Uzliksim šo trīsstūri uz kājas AC un pagriezīsim to ap kāju AB. Rezultātā malas AC un BC apraksta divas tālāk redzamā attēla virsmas.

Rotējot iegūto figūru sauc par apaļu taisnu konusu. Tas ir apaļš, jo tā pamats ir aplis, un taisns, jo no figūras augšpuses (punkts B) novilkts perpendikuls krusto apli tās centrā. Šī perpendikula garumu sauc par augstumu. Acīmredzot tas ir vienāds ar kāju AB. Augstumu parasti apzīmē ar burtu h.

Bez augstuma aplūkoto konusu raksturo vēl divi lineāri raksturlielumi:

• ģenerēšana vai ģenerācija (hipotenūza BC);
• bāzes rādiuss (kāja AC).

Rādiuss tiks apzīmēts ar burtu r, bet ģenerators tiks apzīmēts ar g. Pēc tam, ņemot vērā Pitagora teorēmu, varam pierakstīt aplūkojamai figūrai svarīgo vienādību:

g²=h²+ r²

Koniskā virsma

Visu ģenerātru kopums veido konusa konisku vai sānu virsmu. Pēc izskata ir grūti pateikt, kurai plakanajai figūrai tā atbilst. Pēdējais ir svarīgi zināt, nosakot koniskās virsmas laukumu. Lai atrisinātu šo problēmu, tiek izmantota slaucīšanas metode. Tas sastāv no sekojošā: virsma tiek garīgi nogriezta pa patvaļīgu ģenerātoru, un pēc tam tā tiek atlocīta plaknē. Ar šo slaucīšanas iegūšanas metodi tiek veidota šāda plakana figūra.

Kā jau varētu nojaust, aplis atbilst pamatnei, bet apļveida sektors ir koniska virsma, kuras laukums mūs interesē. Sektoru ierobežo divi ģenerātri un loka. Pēdējā garums ir tieši vienāds ar pamatnes apkārtmēra perimetru (garumu). Šīs īpašības unikāli nosaka visas apļveida sektora īpašības. Mēs nesniegsim starpposma matemātiskos aprēķinus, bet nekavējoties pierakstīsim galīgo formulu, pēc kuras jūs varat aprēķināt konusa sānu virsmas laukumu. Formula ir:

S_b=pigr

Koniskās virsmas laukums S_b ir vienāds ar divu parametru un Pi reizinājumu.

Nocirsts konuss un tā virsma

Ja ņemam parastu konusu un ar paralēlu plakni nogriežam tā virsotni, tad atlikušā figūra būs nošķelts konuss. Tās sānu virsmu ierobežo divas apaļas pamatnes. Apzīmēsim to rādiusus kā R un r. Figūras augstumu apzīmējam ar h, ģenerātoru – ar g. Tālāk ir redzams šī attēla izgriezums no papīra.

Var redzēt, ka sānu virsma vairs nav apļveida sektors, tā ir mazāka pēc platības, jo no tās tika nogriezta centrālā daļa. Izstrāde ir ierobežota līdz četrām līnijām, divas no tām ir taisnu līniju segmenti-ģeneratori, pārējās divas ir loki ar nošķeltā konusa pamatu atbilstošo apļu garumiem.

Sānu virsma S_baprēķināts šādi:

S_b=pig(r + R)

Ģenerators, rādiusi un augstums ir saistīti ar šādu vienādību:

g²=h²+ (R - r)²

Problēma ar figūru laukumu vienādību

Dots konuss ar augstumu 20 cm un pamatnes rādiusu 8 cm. Jāatrod augstums nošķelta konusam, kura sānu virsmai būs tāds pats laukums kā šim konusam. Nogrieztā figūra ir veidota uz tā paša pamata, un augšējās pamatnes rādiuss ir 3 cm.

Vispirms pierakstīsim konusa un nocirstas figūras laukumu vienādības nosacījumu. Mums ir:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Tagad uzrakstīsim izteiksmes katras formas ģenerātiem:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Aizstāj g₁ un g₂ vienādu laukumu formulā un kreiso un labo malu kvadrātā, iegūstam:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Kur mēs iegūstam izteiksmi h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Mēs nevienkāršosim šo vienlīdzību, bet vienkārši aizstāsim datus, kas zināmi no nosacījuma:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Tādējādi, lai figūru sānu virsmu laukumi būtu vienādi, nošķeltajam konusam jābūt ar parametriem: R=8 cm, r=3 cm, h₂ ≈ 14, 85 cm.