Konusa laukuma formulas atvasinājums. Problēmas risinājuma piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Telpisko figūru īpašību izpētei ir liela nozīme praktisku problēmu risināšanā. Zinātni, kas nodarbojas ar figūrām telpā, sauc par stereometriju. Šajā rakstā no cietās ģeometrijas viedokļa aplūkosim konusu un parādīsim, kā atrast konusa laukumu.

Konuss ar apaļu pamatni

Vispārīgā gadījumā konuss ir virsma, kas veidota uz kādas plaknes līknes, kuras visus punktus savieno segmenti ar vienu telpas punktu. Pēdējo sauc par konusa virsotni.

No iepriekš minētās definīcijas ir skaidrs, ka līknei var būt patvaļīga forma, piemēram, paraboliska, hiperboliska, eliptiska utt. Tomēr praksē un ģeometrijas problēmās bieži vien ir sastopams apaļš konuss. Tas ir parādīts zemāk esošajā attēlā.

Šeit simbols r apzīmē apļa rādiusu, kas atrodas figūras pamatnē, h ir perpendikulārs riņķa plaknei, kas zīmēta no figūras augšdaļas. To sauc par augstumu. Vērtība s ir konusa ģenerators vai tā ģenerātors.

Var redzēt, ka segmenti r, h un sveido taisnleņķa trīsstūri. Ja to pagriež ap kāju h, tad hipotenūza s aprakstīs konisko virsmu, un kāja r veido figūras apaļo pamatni. Šī iemesla dēļ konuss tiek uzskatīts par revolūcijas figūru. Trīs nosauktie lineārie parametri ir savstarpēji saistīti ar vienādību:

s²=r²+ h²

Ņemiet vērā, ka dotā vienādība ir derīga tikai apaļam taisnam konusam. Taisna figūra ir tikai tad, ja tās augstums precīzi nokrīt pamata apļa centrā. Ja šis nosacījums nav izpildīts, tad skaitli sauc par slīpi. Atšķirība starp taisniem un slīpiem konusiem ir parādīta attēlā zemāk.

Formas attīstība

Konusa virsmas laukuma izpēti ir ērti veikt, ņemot vērā to plaknē. Šo figūru virsmas attēlošanas veidu telpā sauc par to attīstību. Konusam šo attīstību var iegūt šādi: jums jāņem figūra, kas izgatavota, piemēram, no papīra. Pēc tam ar šķērēm nogriež apaļo pamatni pa apkārtmēru. Pēc tam gar ģenerātoru veiciet koniskās virsmas griezumu un pagrieziet to plaknē. Šo vienkāršo darbību rezultāts būs konusa attīstība, kas parādīta attēlā zemāk.

Kā redzat, konusa virsmu patiešām var attēlot plaknē. Tas sastāv no šādām divām daļām:

• aplis ar rādiusu r, kas apzīmē figūras pamatu;
• apļveida sektors ar rādiusu g, kas ir koniska virsma.

Konusa laukuma formula ietver abu nesalocītu virsmu laukumu atrašanu.

Aprēķiniet figūras virsmas laukumu

Sadalīsim uzdevumu divos posmos. Vispirms atrodam konusa pamatnes laukumu, tad konusveida virsmas laukumu.

Problēmas pirmo daļu ir viegli atrisināt. Tā kā ir norādīts rādiuss r, pietiek atcerēties atbilstošo apļa laukuma izteiksmi, lai aprēķinātu pamatnes laukumu. Pierakstīsim:

S_o=pi × r²

Ja rādiuss nav zināms, vispirms tas jāatrod, izmantojot attiecību formulu starp to, augstumu un ģeneratoru.

Konusa laukuma atrašanas problēmas otrā daļa ir nedaudz sarežģītāka. Ņemiet vērā, ka apļveida sektors ir veidots uz ģenerātora rādiusa g un to ierobežo loks, kura garums ir vienāds ar apļa apkārtmēru. Šis fakts ļauj pierakstīt proporciju un atrast aplūkojamās nozares leņķi. Apzīmēsim to ar grieķu burtu φ. Šis leņķis būs vienāds ar:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Zinot apļveida sektora centrālo leņķi φ, varat izmantot atbilstošo proporciju, lai atrastu tā laukumu. Apzīmēsim to ar simbolu S_b. Tas būs vienāds ar:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Tas ir, koniskās virsmas laukums atbilst ģenerātes g reizinājumam, bāzes r rādiusam un skaitļam Pi.

Zinot, kādas ir abu jomasaplūkotām virsmām, mēs varam uzrakstīt galīgo formulu konusa laukumam:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Rakstītajā izteiksmē tiek pieņemts, ka ir jāzina divi konusa lineāri parametri, lai aprēķinātu S. Ja g vai r nav zināms, tad tos var atrast pēc augstuma h.

Konusa laukuma aprēķināšanas problēma

Ir zināms, ka apaļa taisna konusa augstums ir vienāds ar tā diametru. Ir nepieciešams aprēķināt figūras laukumu, zinot, ka bitu pamatnes laukums ir 50 cm².

Zinot apļa laukumu, varat atrast figūras rādiusu. Mums ir:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Tagad atradīsim ģeneratoru g h un r izteiksmē. Saskaņā ar nosacījumu, figūras augstums h ir vienāds ar diviem rādiusiem r, tad:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Atrastās formulas g un r ir jāaizvieto izteiksmē visam konusa laukumam. Mēs iegūstam:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Iegūtajā izteiksmē aizvietojam pamatnes laukumu S_o un pierakstām atbildi: S ≈ 161,8 cm².