Formula konusa tilpuma noteikšanai. Problēmas risinājuma piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Katrs skolēns, kurš mācījās stereometriju vidusskolā, saskārās ar konusu. Divas svarīgas šīs telpiskās figūras īpašības ir virsmas laukums un tilpums. Šajā rakstā mēs parādīsim, kā atrast apaļa konusa tilpumu.

Apaļš konuss kā taisnleņķa trijstūra rotācijas skaitlis

Pirms pāriet tieši pie raksta tēmas, ir jāapraksta konuss no ģeometriskā viedokļa.

Lai ir kāds taisnleņķa trīsstūris. Ja pagriežat to ap kādu no kājām, šīs darbības rezultāts būs vēlamais skaitlis, kas parādīts zemāk esošajā attēlā.

Šeit kāja AB ir daļa no konusa ass, un tās garums atbilst figūras augstumam. Otrā kāja (segments CA) būs konusa rādiuss. Rotācijas laikā tas aprakstīs apli, kas ierobežo figūras pamatni. Hipotenūzu BC sauc par figūras ģenerātri vai tās ģenerātoru. Punkts B ir vienīgā konusa virsotne.

Ņemot vērā trīsstūra ABC īpašības, mēs varam uzrakstīt attiecības starp ģenerātoru g, rādiusu r un augstumu h šādivienlīdzība:

g²=h²+ r²

Šī formula ir noderīga, risinot daudzas ģeometriskas problēmas ar attiecīgo figūru.

Konusa tilpuma formula

Jebkuras telpiskas figūras apjoms ir telpas laukums, kuru ierobežo šīs figūras virsmas. Konusam ir divas šādas virsmas:

1. Sānu vai konusveida. To veido visi ģenerātri.
2. Fonds. Šajā gadījumā tas ir aplis.

Iegūstiet formulu konusa tilpuma noteikšanai. Lai to izdarītu, mēs to garīgi sagriežam daudzos slāņos paralēli pamatnei. Katram no slāņiem ir biezums dx, kas mēdz būt līdz nullei. Slāņa laukums S_x attālumā x no attēla augšdaļas ir vienāds ar šādu izteiksmi:

S_x=pir²x²/h ²

Šīs izteiksmes derīgumu var pārbaudīt intuitīvi, aizstājot vērtības x=0 un x=h. Pirmajā gadījumā mēs iegūsim laukumu, kas vienāds ar nulli, otrajā gadījumā tas būs vienāds ar apaļās pamatnes laukumu.

Lai noteiktu konusa tilpumu, jāsaskaita nelieli katra slāņa "apjomi", tas ir, jāizmanto integrālrēķins:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Aprēķinot šo integrāli, mēs nonākam pie galīgās formulas apaļam konusam:

V=1/3pir²h

Interesanti atzīmēt, ka šī formula ir pilnīgi līdzīga tai, ko izmanto patvaļīgas piramīdas tilpuma aprēķināšanai. Šī sakritība nav nejauša, jo jebkura piramīda kļūst par konusu, kad tās malu skaits palielinās līdz bezgalībai.

Skaļuma aprēķināšanas problēma

Ir lietderīgi sniegt problēmas risināšanas piemēru, kas demonstrēs atvasinātās formulas izmantošanu sējumam V.

Dots apaļš konuss, kura pamatnes laukums ir 37 cm², un figūras ģenerators ir trīs reizes lielāks par rādiusu. Kāds ir konusa tilpums?

Mums ir tiesības izmantot tilpuma formulu, ja zinām divus lielumus: augstumu h un rādiusu r. Atradīsim formulas, kas tās nosaka atbilstoši uzdevuma nosacījumam.

Rādiusu r var aprēķināt, zinot apļa laukumu S_o, mums ir:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Izmantojot uzdevuma nosacījumu, mēs rakstām vienādību ģeneratoram g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Zinot r un g formulas, aprēķiniet augstumu h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Atradām visus nepieciešamos parametrus. Tagad ir pienācis laiks pievienot tos formulai V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Atliek aizstātbāzes laukums S_o un aprēķiniet tilpuma vērtību: V=119,75 cm³.