Sešstūra piramīdas tilpuma formula: problēmas risināšanas piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Telpisko figūru apjomu aprēķināšana ir viens no svarīgiem stereometrijas uzdevumiem. Šajā rakstā mēs apskatīsim jautājumu par šāda daudzskaldņa kā piramīdas tilpuma noteikšanu, kā arī sniegsim regulāras sešstūra piramīdas tilpuma formulu.

sešstūra piramīda

Vispirms apskatīsim, kāds ir skaitlis, kas tiks apspriests rakstā.

Izveidosim patvaļīgu sešstūri, kura malas ne vienmēr ir vienādas viena ar otru. Pieņemsim arī, ka esam izvēlējušies telpas punktu, kas neatrodas sešstūra plaknē. Savienojot visus pēdējā stūrus ar izvēlēto punktu, mēs iegūstam piramīdu. Zemāk esošajā attēlā ir parādītas divas dažādas piramīdas ar sešstūra pamatni.

Ir redzams, ka bez sešstūra figūra sastāv no sešiem trijstūriem, kuru savienojuma punktu sauc par virsotni. Atšķirība starp attēlotajām piramīdām ir tāda, ka no tām labās puses augstums h nešķērso sešstūra pamatni tās ģeometriskajā centrā, un kreisās figūras augstums krīt.tieši tajā centrā. Pateicoties šim kritērijam, kreiso piramīdu sauca par taisnu, bet labo - par slīpu.

Tā kā attēlā kreisās figūras pamatni veido sešstūris ar vienādām malām un leņķiem, to sauc par pareizu. Tālāk rakstā runāsim tikai par šo piramīdu.

Sešstūra piramīdas tilpums

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, ir derīga šāda formula:

V=1/3hS_o

Šeit h ir figūras augstuma garums, S_{o ir tās pamatnes laukums. Izmantosim šo izteiksmi, lai noteiktu regulāras sešstūra piramīdas tilpumu.}

Tā kā apskatāmā figūra ir balstīta uz vienādmalu sešstūri, lai aprēķinātu tā laukumu, n-stūrim varat izmantot šādu vispārīgu izteiksmi:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Šeit n ir vesels skaitlis, kas vienāds ar daudzstūra malu (stūru) skaitu, a ir tā malas garums, kotangentes funkciju aprēķina, izmantojot atbilstošās tabulas.

Pielietojot izteiksmi n=6, mēs iegūstam:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Tagad atliek aizstāt šo izteiksmi V apjoma vispārīgajā formulā:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Tātad, lai aprēķinātu aplūkojamās piramīdas tilpumu, ir jāzina divi tās lineārie parametri: pamatnes malas garums un figūras augstums.

Problēmu risināšanas piemērs

Parādīsim, kā iegūto izteiksmi V_{6 var izmantot, lai atrisinātu šādu uzdevumu.}

Ir zināms, ka regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir 100 cm3. Ir jānosaka pamatnes mala un figūras augstums, ja ir zināms, ka tie ir saistīti viens ar otru ar šādu vienādību:

a=2h

Tā kā tilpuma formulā ir iekļauti tikai a un h, ar to var aizstāt jebkuru no šiem parametriem, kas izteikti ar otru. Piemēram, aizstājot a, mēs iegūstam:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Lai atrastu figūras augstuma vērtību, no tilpuma jāņem trešās pakāpes sakne, kas atbilst garuma izmēram. Piramīdas tilpuma vērtību V_{6 aizstājam no uzdevuma priekšraksta, iegūstam augstumu:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Tā kā pamatnes mala atbilstoši problēmas stāvoklim ir divreiz lielāka par atrasto vērtību, mēs iegūstam tai vērtību:

a=2h=23, 0676=6, 1352 cm

Sešstūra piramīdas tilpumu var atrast ne tikai pēc figūras augstuma un tās pamatnes malas vērtības. Lai to aprēķinātu, pietiek zināt divus dažādus piramīdas lineāros parametrus, piemēram, apotēmu un sānu malas garumu.