Nevienādības un nevienlīdzību sistēmas ir viena no tēmām, ko māca vidusskolas algebrā. Grūtības ziņā tas nav pats grūtākais, jo tam ir vienkārši noteikumi (par tiem nedaudz vēlāk). Parasti skolēni diezgan viegli apgūst nevienlīdzību sistēmu risinājumu. Tas ir saistīts arī ar to, ka skolotāji vienkārši "apmāca" savus skolēnus par šo tēmu. Un viņi to nevar nedarīt, jo tas tiek pētīts nākotnē, izmantojot citus matemātiskos lielumus, kā arī tiek pārbaudīts OGE un vienotajā valsts eksāmenā. Skolu mācību grāmatās tēma par nevienlīdzību un nevienlīdzību sistēmām ir apskatīta ļoti detalizēti, tāpēc, ja grasāties to pētīt, vislabāk ir ķerties pie tām. Šis raksts ir tikai daudzu materiālu pārfrāze, un tajā var būt daži izlaidumi.
Nevienlīdzību sistēmas jēdziens
Ja mēs pievēršamies zinātniskajai valodai, mēs varam definēt jēdzienu "sistēmanevienādības". Šis ir tāds matemātisks modelis, kas attēlo vairākas nevienādības. Protams, šim modelim ir nepieciešams risinājums, un tā būs vispārīga atbilde uz visām uzdevumā piedāvātajām sistēmas nevienādībām (parasti tas tiek rakstīts šādi, jo piemērs: "Atrisiniet nevienādību sistēmu 4 x + 1 > 2 un 30 - x > 6… ").
Nevienādību sistēmas un vienādojumu sistēmas
Jaunas tēmas apguves procesā bieži rodas pārpratumi. No vienas puses, viss ir skaidrs un es labprātāk sāktu risināt uzdevumus, bet no otras puses, daži momenti paliek "ēnā", tie nav labi saprotami. Tāpat daži jau iegūto zināšanu elementi var tikt sapīti ar jauniem. Šīs pārklāšanās rezultātā bieži rodas kļūdas.
Tāpēc, pirms turpināt mūsu tēmas analīzi, jāatgādina atšķirības starp vienādībām un nevienādībām, to sistēmām. Lai to izdarītu, ir vēlreiz jāprecizē, kas ir šie matemātiskie jēdzieni. Vienādojums vienmēr ir vienāds, un tas vienmēr ir vienāds ar kaut ko (matemātikā šo vārdu apzīmē ar zīmi "="). Nevienlīdzība ir modelis, kurā viena vērtība ir lielāka vai mazāka par citu, vai arī ietver apgalvojumu, ka tās nav vienādas. Tādējādi pirmajā gadījumā ir pareizi runāt par vienlīdzību, bet otrajā, lai cik acīmredzami tas neizklausītos nopats nosaukums, par sākotnējo datu nevienlīdzību. Vienādojumu un nevienādību sistēmas praktiski neatšķiras viena no otras un to atrisināšanas metodes ir vienādas. Vienīgā atšķirība ir tā, ka pirmā izmanto vienādības, bet otrā izmanto nevienlīdzības.
Nevienlīdzību veidi
Ir divu veidu nevienādības: skaitliskā un ar nezināmu mainīgo. Pirmais veids ir norādītas vērtības (skaitļi), kas nav vienādas viena ar otru, piemēram, 8 > 10. Otrais veids ir nevienādības, kas satur nezināmu mainīgo (norāda kāds latīņu alfabēta burts, visbiežāk X). Šis mainīgais ir jāatrod. Atkarībā no tā, cik to ir, matemātiskais modelis izšķir nevienādības ar vienu (tie veido nevienādību sistēmu ar vienu mainīgo) vai vairākus mainīgos (tie veido nevienādību sistēmu ar vairākiem mainīgajiem).
Pēdējie divi veidi pēc to uzbūves pakāpes un risinājuma sarežģītības pakāpes tiek iedalīti vienkāršajos un sarežģītajos. Vienkāršās tiek sauktas arī par lineārajām nevienādībām. Tos savukārt iedala stingrajos un nestingrajos. Stingri konkrēti "sakiet", ka vienai vērtībai jābūt mazākai vai lielākai, tāpēc tā ir tīrā nevienlīdzība. Ir vairāki piemēri: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 utt. Nestingri ietver arī vienlīdzību. Tas nozīmē, ka viena vērtība var būt lielāka vai vienāda ar citu vērtību (zīme "≧") vai mazāka vai vienāda ar citu vērtību (zīme "≦"). Joprojām rindāNevienādībās mainīgais nestāv saknē, kvadrātā, nedalās ar neko, tāpēc tos sauc par "vienkāršiem". Sarežģītajos ietilpst nezināmi mainīgie, kuru atrašanai nepieciešamas vairāk matemātiskas darbības. Tie bieži atrodas kvadrātā, kubā vai zem saknes, tie var būt modulāri, logaritmiski, daļskaitlīši utt. Bet tā kā mūsu uzdevums ir izprast nevienādību sistēmu risinājumu, tad runāsim par lineāro nevienādību sistēmu. Tomēr pirms tam daži vārdi jāpasaka par to īpašībām.
Nevienādību īpašības
Nevienādību īpašības ietver šādus nosacījumus:
- Nevienlīdzības zīme tiek apgriezta, ja tiek piemērota darbība, lai mainītu malu secību (piemēram, ja t1 ≦ t2, tad t 2 ≧ t1).
- Abas nevienādības daļas ļauj pievienot sev vienu un to pašu skaitli (piemēram, ja t1 ≦ t2, tad t 1 + numurs ≦ t2 + numurs).
- Divas vai vairākas nevienādības ar viena virziena zīmi ļauj pievienot to kreiso un labo daļu (piemēram, ja t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, tad t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Abas nevienādības daļas ļauj sevi reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli (piemēram, ja t1 ≦ t2un skaitlis ≦ 0, tad skaitlis t1 ≧ skaitlis t2).
- Divas vai vairākas nevienlīdzības, kurām ir pozitīvi termini un viena virziena zīme, ļaujreiziniet viens otru (piemēram, ja t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0, tad t1 t3 ≦ t2 t4).
- Abas nevienādības daļas ļauj sevi reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, bet nevienlīdzības zīme mainās (piemēram, ja t1 ≦ t2 un skaitlis ≦ 0, tad skaitlis t1 ≧ cipars t2).
- Visas nevienādības ir pārejošas (piemēram, ja t1 ≦ t2 un t2≦ t3, tad t1 ≦ t3).
Tagad, izpētot galvenos teorijas nosacījumus saistībā ar nevienlīdzībām, mēs varam pāriet tieši pie to sistēmu risināšanas noteikumu izskatīšanas.
Nevienādību sistēmu risinājums. Galvenā informācija. Risinājumi
Kā minēts iepriekš, risinājums ir mainīgā lieluma vērtības, kas atbilst visām dotās sistēmas nevienādībām. Nevienādību sistēmu risinājums ir matemātisku darbību īstenošana, kas galu galā noved pie visas sistēmas atrisinājuma vai pierāda, ka tai nav risinājumu. Šajā gadījumā tiek teikts, ka mainīgais attiecas uz tukšu skaitļu kopu (rakstīts šādi: burts, kas apzīmē mainīgo ∈ (zīme "pieder") ø (zīme "tukša kopa"), piemēram, x ∈ ø (to lasa šādi: "Mainīgais "x" pieder tukšajai kopai"). Ir vairāki veidi, kā atrisināt nevienādību sistēmas:grafiskā, algebriskā, aizstāšanas metode. Ir vērts atzīmēt, ka tie attiecas uz tiem matemātiskajiem modeļiem, kuriem ir vairāki nezināmi mainīgie. Gadījumā, ja ir tikai viens, der atstarpes metode.
Grafiskā metode
Ļauj atrisināt nevienādību sistēmu ar vairākiem nezināmajiem (no diviem vai vairāk). Pateicoties šai metodei, lineāro nevienādību sistēma tiek atrisināta diezgan vienkārši un ātri, tāpēc tā ir visizplatītākā metode. Tas ir tāpēc, ka diagramma samazina matemātisko darbību rakstīšanas skaitu. Īpaši patīkami kļūst paņemt nelielu pauzi no pildspalvas, paņemt zīmuli ar lineālu un ar viņu palīdzību ķerties pie tālākām darbībām, kad ir paveikts liels darbs un gribas nedaudz dažādības. Tomēr dažiem šī metode nepatīk, jo jums ir jāatsakās no uzdevuma un jāpārslēdz sava garīgā darbība uz zīmēšanu. Tomēr tas ir ļoti efektīvs veids.
Lai atrisinātu nevienādību sistēmu, izmantojot grafisko metodi, ir nepieciešams pārnest visus katras nevienādības locekļus uz to kreiso pusi. Zīmes tiks apgrieztas, labajā pusē jāraksta nulle, tad katra nevienlīdzība jāraksta atsevišķi. Rezultātā funkcijas tiks iegūtas no nevienādībām. Pēc tam jūs varat iegūt zīmuli un lineālu: tagad jums ir jāuzzīmē katras iegūtās funkcijas grafiks. Visa skaitļu kopa, kas atradīsies to krustošanās intervālā, būs risinājums nevienādību sistēmai.
Algebriskais ceļš
Ļauj atrisināt nevienādību sistēmu ar diviem nezināmiem mainīgajiem. Arī nevienlīdzībām ir jābūt ar vienu un to pašu nevienlīdzības zīmi (tas ir, tajās jāsatur vai nu tikai zīme "lielāks par", vai tikai zīme "mazāks par" utt.) Neskatoties uz ierobežojumiem, šī metode ir arī sarežģītāka. Tas tiek piemērots divos posmos.
Pirmais ietver atbrīvošanos no viena no nezināmajiem mainīgajiem. Vispirms tas ir jāatlasa, pēc tam pārbaudiet, vai šī mainīgā priekšā nav skaitļu. Ja tādu nav (tad mainīgais izskatīsies kā viens burts), tad neko nemainām, ja ir (mainīgā veids būs, piemēram, 5y vai 12y), tad ir jāpārliecinās ka katrā nevienādībā skaitlis izvēlētā mainīgā priekšā ir vienāds. Lai to izdarītu, katrs nevienādības loceklis jāreizina ar kopīgu koeficientu, piemēram, ja pirmajā nevienādībā ir ierakstīts 3y, bet otrajā - 5y, tad visi pirmās nevienādības locekļi jāreizina ar 5., bet otro ar 3. Jūs saņemat attiecīgi 15 g. un 15 g.
Lēmuma otrais posms. Katras nevienlīdzības kreiso pusi nepieciešams pārnest uz labajām pusēm, mainot katra vārda zīmi uz pretējo, labajā pusē ierakstiet nulli. Tad nāk jautrā daļa: atbrīvošanās no izvēlētā mainīgā (citādi saukta par "samazināšanu"), vienlaikus saskaitot nevienlīdzības. Jūs iegūsit nevienādību ar vienu mainīgo, kas ir jāatrisina. Pēc tam jums jādara tas pats, tikai ar citu nezināmu mainīgo. Iegūtie rezultāti būs sistēmas risinājums.
Aizvietošanas metode
Ļauj atrisināt nevienlīdzību sistēmu, kad ir iespēja ieviest jaunu mainīgo. Parasti šo metodi izmanto, ja nezināmais mainīgais vienā nevienādības loceklī tiek paaugstināts līdz ceturtajai pakāpei, bet otrā – kvadrātā. Tādējādi šīs metodes mērķis ir samazināt nevienlīdzības pakāpi sistēmā. Izlases nevienādība x4 - x2 - 1 ≦ 0 tiek atrisināta šādā veidā šādi. Tiek ieviests jauns mainīgais, piemēram, t. Viņi raksta: "Ļaujiet t=x2", tad modelis tiek pārrakstīts jaunā formā. Mūsu gadījumā mēs iegūstam t2 - t - 1 ≦0. Šī nevienlīdzība ir jāatrisina ar intervāla metodi (par to nedaudz vēlāk), pēc tam atgriezieties pie mainīgā X, pēc tam dariet to pašu ar citu nevienādību. Saņemtās atbildes būs sistēmas lēmums.
Intervāla metode
Tas ir vienkāršākais veids, kā atrisināt nevienlīdzību sistēmas, un tajā pašā laikā tas ir universāls un plaši izplatīts. To izmanto vidusskolā un pat vidusskolā. Tās būtība slēpjas apstāklī, ka skolēns meklē nevienādības intervālus uz skaitļu līnijas, kas ir uzzīmēta piezīmju grāmatiņā (tas nav grafiks, bet tikai parasta taisne ar skaitļiem). Tur, kur nevienādību intervāli krustojas, tiek atrasts sistēmas risinājums. Lai izmantotu atstarpes metodi, veiciet šīs darbības:
- Visi katras nevienādības locekļi tiek pārnesti uz kreiso pusi, mainot zīmi uz pretējo (labajā pusē rakstīta nulle).
- Nevienādības tiek izrakstītas atsevišķi, katrai tiek noteikts risinājums.
- Nevienādību krustpunkti uz skaitliskotaisni. Visi skaitļi šajos krustojumos būs risinājums.
Kādu veidu izmantot?
Acīmredzot tas, kas šķiet vienkāršākais un ērtākais, taču ir reizes, kad uzdevumiem ir nepieciešama noteikta metode. Visbiežāk viņi saka, ka jums ir jāatrisina, izmantojot grafiku vai intervāla metodi. Algebriskā metode un aizstāšana tiek izmantota ārkārtīgi reti vai vispār netiek izmantota, jo tie ir diezgan sarežģīti un mulsinoši, turklāt tos vairāk izmanto vienādojumu sistēmu, nevis nevienādību risināšanai, tāpēc jums vajadzētu ķerties pie grafiku un intervālu zīmēšanas. Tie nodrošina redzamību, kas tikai veicina efektīvu un ātru matemātisko darbību veikšanu.
Ja kaut kas nedarbojas
Pēcot konkrētu tēmu algebrā, protams, var rasties problēmas ar tās izpratni. Un tas ir normāli, jo mūsu smadzenes ir veidotas tā, ka tās nespēj saprast sarežģītu materiālu vienā piegājienā. Bieži vien jums ir jāpārlasa rindkopa, jāizmanto skolotāja palīdzība vai jāvingrinās tipisku problēmu risināšanā. Mūsu gadījumā tie izskatās, piemēram, šādi: "Atrisiniet nevienādību sistēmu 3 x + 1 ≧ 0 un 2 x - 1 > 3". Tādējādi personīga tiekšanās, palīdzība no nepiederošām personām un prakse palīdz izprast jebkuru sarežģītu tēmu.
Reshebnik?
Un risinājumu grāmata arī ļoti laba, bet ne jau mājasdarbu krāpšanai, bet pašpalīdzībai. Tajos var atrast nevienādību sistēmas ar risinājumu, paskatiestos (piemēram, veidnes), mēģiniet precīzi saprast, kā risinājuma autors tika galā ar uzdevumu, un pēc tam mēģiniet to izdarīt pats.
Secinājumi
Algebra ir viens no grūtākajiem mācību priekšmetiem skolā. Nu ko tu vari darīt? Matemātika vienmēr ir bijusi tāda: vieniem tas nāk viegli, bet citiem grūti. Taču jebkurā gadījumā jāatceras, ka vispārējās izglītības programma ir veidota tā, lai ikviens skolēns ar to tiktu galā. Turklāt jums jāpatur prātā milzīgs palīgu skaits. Daži no tiem ir minēti iepriekš.
