Goldbaha problēma ir viena no vecākajām un visvairāk uzrunātajām problēmām visas matemātikas vēsturē.
Šis minējums ir pierādīts kā patiess attiecībā uz visiem veseliem skaitļiem, kas ir mazāki par 4 × 1018, taču tas joprojām nav pierādīts, neskatoties uz ievērojamajām matemātiķu pūlēm.
Numurs
Goldbaha skaitlis ir pozitīvs pāra vesels skaitlis, kas ir nepāra pirmskaitļu pāra summa. Vēl viens Goldbaha pieņēmuma veids ir tāds, ka visi pat veseli skaitļi, kas ir lielāki par četriem, ir Goldbaha skaitļi.
Šādu skaitļu atdalīšanu sauc par Goldbaha nodalījumu (vai nodalījumu). Tālāk ir sniegti dažu pāra skaitļu līdzīgu sadaļu piemēri:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Hipotēzes atklāšana
Goldbaham bija kolēģis Eilers, kuram patika skaitīt, rakstīt sarežģītas formulas un izvirzīt neatrisināmas teorijas. Šajā ziņā viņi bija līdzīgi Goldbaham. Eilers uzdeva līdzīgu matemātisko mīklu jau pirms Goldbaha, ar kuru viņšpastāvīga sarakste. Pēc tam viņš piedāvāja otru ieteikumu sava manuskripta malā, saskaņā ar kuru veselu skaitli, kas ir lielāks par 2, var uzrakstīt kā trīs pirmskaitļu summu. Viņš uzskatīja, ka 1 ir pirmskaitlis.
Pašlaik zināms, ka abas hipotēzes ir līdzīgas, taču tajā laikā tā nešķita problēma. Mūsdienu Goldbaha problēmas versija nosaka, ka katru veselu skaitli, kas ir lielāks par 5, var uzrakstīt kā trīs pirmskaitļu summu. Eilers atbildēja vēstulē, kas datēta ar 1742. gada 30. jūniju, un atgādināja Goldbaham par agrāku viņu sarunu ("…tātad mēs runājam par sākotnējo (un ne marginālo) hipotēzi, kas izriet no sekojošā paziņojuma").
Eulera-Goldbaha problēma
2 un tā pāra skaitļus var uzrakstīt kā divu pirmskaitļu summu, kas arī ir Goldbaha minējums. 1742. gada 30. jūnija vēstulē Eilers paziņoja, ka katrs pāra skaitlis ir divu pirmskaitļu saskaitīšanas rezultāts, ko viņš uzskata par precīzi definētu teorēmu, lai gan viņš to nevar pierādīt.
Trešā versija
Trešā Goldbaha problēmas versija (ekvivalents pārējām divām versijām) ir forma, kādā mūsdienās parasti tiek sniegts minējums. To sauc arī par "spēcīgo", "viendabīgo" vai "bināro" Goldbaha minējumu, lai atšķirtu to no vājākās hipotēzes, kas mūsdienās pazīstama kā "vājais", "nepāra" vai "trīskāršais" Goldbaha minējums. Vājš minējums apgalvo, ka visi nepāra skaitļi, kas ir lielāki par 7, ir trīs nepāra pirmskaitļu summa. Vājais minējums tika pierādīts 2013. gadā. Vāja hipotēze irspēcīgas hipotēzes sekas. Apgrieztais rezultāts un spēcīgais Goldbaha minējums joprojām nav pierādīts.
Pārbaudīt
Mazām n vērtībām Goldbaha problēmu (un līdz ar to arī Goldbaha minējumu) var pārbaudīt. Piemēram, Nils Pipings 1938. gadā rūpīgi pārbaudīja hipotēzi līdz n ≦ 105. Līdz ar pirmo datoru parādīšanos tika aprēķināts daudz vairāk n vērtību.
Oliveira Silva veica izplatītu datora meklēšanu, kas apstiprināja hipotēzi par n ≦ 4 × 1018 (un divreiz pārbaudīta līdz pat 4 × 1017) 2013. gadā. Viens ieraksts no šīs meklēšanas ir tāds, ka 3 325 581 707 333 960 528 ir mazākais skaitlis, kuram nav Goldbaha dalījuma ar pirmskaitli, kas ir mazāks par 9781.
Heiristika
Goldbaha minējuma stiprās formas versija ir šāda: tā kā, palielinoties n, daudzumam ir tendence līdz bezgalībai, mēs sagaidām, ka katram lielam pāra skaitlim ir vairāk nekā viens attēlojums kā divu pirmskaitļu summa. Bet patiesībā šādu priekšstatu ir ļoti daudz. Kas atrisināja Goldbaha problēmu? Diemžēl joprojām neviens.
Šis heiristiskais arguments patiesībā ir nedaudz neprecīzs, jo tiek pieņemts, ka m ir statistiski neatkarīgs no n. Piemēram, ja m ir nepāra, tad n - m arī ir nepāra, un, ja m ir pāra, tad n - m ir pāra, un šī ir netriviāla (sarežģīta) sakarība, jo bez skaitļa 2 tikai nepāra. skaitļi var būt pirmskaitļi. Līdzīgi, ja n dalās ar 3 un m jau bija pirmskaitlis, kas nav 3, tad arī n - m ir savstarpējipirmskaitlis ar 3, tāpēc tas, visticamāk, ir pirmskaitlis, nevis kopējais skaitlis. Rūpīgāk veicot šāda veida analīzi, Hārdijs un Litlvuds 1923. gadā kā daļa no sava slavenā Hārdija-Litlvuda vienkāršā pieņēmuma veica iepriekš minēto visas teorijas precizējumu. Taču tas līdz šim nav palīdzējis atrisināt problēmu.
Spēcīga hipotēze
Spēcīgais Goldbaha minējums ir daudz sarežģītāks nekā vājais Goldbaha minējums. Vēlāk Šnirelmans pierādīja, ka jebkuru naturālu skaitli, kas ir lielāks par 1, var uzrakstīt kā ne vairāk kā C pirmskaitļu summu, kur C ir efektīvi aprēķināma konstante. Daudzi matemātiķi mēģināja to atrisināt, skaitot un reizinot skaitļus, piedāvājot sarežģītas formulas utt. Bet viņiem tas nekad nav izdevies, jo hipotēze ir pārāk sarežģīta. Neviena formula nepalīdzēja.
Bet ir vērts nedaudz attālināties no jautājuma par Goldbaha problēmas pierādīšanu. Šnirelmana konstante ir mazākais C skaitlis ar šo īpašību. Pats Šnirelmans ieguva C <800 000. Šo rezultātu vēlāk papildināja daudzi autori, piemēram, Olivjē Ramarets, kurš 1995. gadā parādīja, ka katrs pāra skaitlis n ≧ 4 patiesībā ir ne vairāk kā sešu pirmskaitļu summa. Slavenākais rezultāts, kas šobrīd saistīts ar Haralda Helfgota Goldbaha teoriju.
Turpmākā attīstība
1924. gadā Hārdijs un Litlvuds pieņēma G. R. H. parādīja, ka pāra skaitļu skaits līdz X, pārkāpjot bināro Goldbaha problēmu, ir daudz mazāks nekā mazajiem c.
1973. gadā Chen JingyunEs mēģināju atrisināt šo problēmu, bet tas nedarbojās. Viņš bija arī matemātiķis, tāpēc viņam ļoti patika risināt mīklas un pierādīt teorēmas.
1975. gadā divi amerikāņu matemātiķi parādīja, ka ir pozitīvas konstantes c un C - tās, kurām N ir pietiekami liela. Jo īpaši pāra veselu skaitļu kopai ir nulles blīvums. Tas viss noderēja darbam pie trīskāršās Goldbaha problēmas risinājuma, kas notiks nākotnē.
1951. gadā Linniks pierādīja konstantes K esamību tā, ka katrs pietiekami liels pāra skaitlis tiek iegūts, pievienojot vienam pirmskaitli un citu pirmskaitļu. Rodžers Hīts-Brauns un Jans Kristofs Šlāge-Puhta 2002. gadā atklāja, ka K=13 darbojas. Tas ir ļoti interesanti visiem cilvēkiem, kuriem patīk pievienot vienam otru, saskaitīt dažādus skaitļus un redzēt, kas notiek.
Goldbaha problēmas risinājums
Tāpat kā ar daudziem labi zināmiem pieņēmumiem matemātikā, ir vairāki iespējamie Goldbaha minējumu pierādījumi, no kuriem neviens nav akceptēts matemātikas aprindās.
Lai gan Goldbaha minējums nozīmē, ka katrs pozitīvs vesels skaitlis, kas lielāks par vienu, var tikt uzrakstīts kā ne vairāk kā trīs pirmskaitļu summa, ne vienmēr šādu summu ir iespējams atrast, izmantojot alkatīgu algoritmu, kas izmanto lielāko iespējamo pirmskaitļu. katrā solī. Pillai secība izseko skaitļus, kuru mantkārīgajos attēlojumos ir nepieciešams visvairāk pirmskaitļu. Tāpēc Goldbaha problēmas risinājumsjoprojām ir jautājums. Tomēr agrāk vai vēlāk tas, visticamāk, tiks atrisināts.
Ir Goldbaha problēmai līdzīgas teorijas, kurās pirmskaitļi tiek aizstāti ar citām specifiskām skaitļu kopām, piemēram, kvadrātiem.
Christian Goldbach
Kristians Goldbahs bija vācu matemātiķis, kurš arī studēja jurisprudenci. Viņu šodien atceras ar Goldbaha minējumu.
Visu mūžu viņš strādāja par matemātiķi – viņam ļoti patika pievienot skaitļus, izdomāt jaunas formulas. Viņš zināja arī vairākas valodas, katrā no kurām glabāja savu personīgo dienasgrāmatu. Šīs valodas bija vācu, franču, itāļu un krievu. Turklāt, saskaņā ar dažiem avotiem, viņš runāja angļu un latīņu valodā. Savas dzīves laikā viņš bija pazīstams kā diezgan pazīstams matemātiķis. Goldbahs bija arī diezgan cieši saistīts ar Krieviju, jo viņam bija daudz krievu kolēģu un personīgā karaliskās ģimenes labvēlība.
Viņš turpināja darbu jaunatvērtajā Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijā 1725. gadā kā matemātikas profesors un akadēmijas vēsturnieks. 1728. gadā, kad Pēteris II kļuva par Krievijas caru, Goldbahs kļuva par viņa mentoru. 1742. gadā viņš iestājās Krievijas Ārlietu ministrijā. Tas ir, viņš faktiski strādāja mūsu valstī. Tolaik Krievijā ieradās daudzi zinātnieki, rakstnieki, filozofi un militāristi, jo Krievija tolaik bija tādu iespēju valsts kā Amerika. Daudzi šeit ir izveidojuši karjeru. Un mūsu varonis nav izņēmums.
Kristians Goldbahs runāja daudzās valodās - viņš rakstīja dienasgrāmatu vācu un latīņu valodā, viņa vēstulestika rakstīti vācu, latīņu, franču un itāļu valodā, un oficiālajiem dokumentiem viņš izmantoja krievu, vācu un latīņu valodu.
Viņš nomira 1764. gada 20. novembrī 74 gadu vecumā Maskavā. Diena, kad Goldbaha problēma tiks atrisināta, būs atbilstošs veltījums viņa piemiņai.
Secinājums
Goldbahs bija lielisks matemātiķis, kurš mums sniedza vienu no šīs zinātnes lielākajiem noslēpumiem. Nav zināms, vai tas kādreiz tiks atrisināts vai nē. Mēs zinām tikai to, ka tā šķietamā izšķirtspēja, tāpat kā Fermā teorēmas gadījumā, pavērs matemātikai jaunas perspektīvas. Matemātiķiem ļoti patīk to risināt un analizēt. Tas ir ļoti interesanti un ziņkārīgi no heiristiskā viedokļa. Pat matemātikas studentiem patīk atrisināt Goldbaha uzdevumu. Kā gan citādi? Galu galā jauniešus nemitīgi piesaista viss gaišais, vērienīgais un neatrisinātais, jo, pārvarot grūtības, var sevi apliecināt. Cerēsim, ka drīz šo problēmu atrisinās jauni, ambiciozi, zinātkāri prāti.
