Gatavojoties eksāmenam matemātikā, skolēniem ir jāsistematizē savas zināšanas algebrā un ģeometrijā. Es vēlētos apvienot visu zināmo informāciju, piemēram, kā aprēķināt piramīdas laukumu. Turklāt, sākot no pamatnes un sānu virsmām līdz visai virsmas laukumam. Ja situācija ir skaidra ar sānu malām, jo tās ir trīsstūri, tad pamatne vienmēr ir atšķirīga.
Kā atrast piramīdas pamatnes laukumu?
Tā var būt pilnīgi jebkura forma: no patvaļīga trīsstūra līdz n stūrim. Un šī bāze papildus leņķu skaita atšķirībai var būt parasta figūra vai nepareiza. Skolēnus interesējošajos USE uzdevumos ir tikai uzdevumi ar pareizajām figūrām pamatnē. Tāpēc mēs runāsim tikai par tiem.
Parastais trīsstūris
Tas ir vienādmalu. Tāds, kurā visas malas ir vienādas un apzīmētas ar burtu "a". Šajā gadījumā piramīdas pamatnes laukumu aprēķina pēc formulas:
S=(a2√3) / 4.
Kvadrāts
Tā laukuma aprēķināšanas formula ir visvienkāršākā,šeit "a" atkal ir puse:
S=a2.
Patvaļīga regulāra n-gon
Daudzstūra malai ir tāds pats apzīmējums. Stūru skaitam tiek izmantots latīņu burts n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Kā aprēķināt sānu un kopējo virsmas laukumu?
Tā kā pamatne ir regulāra figūra, visas piramīdas malas ir vienādas. Turklāt katrs no tiem ir vienādsānu trīsstūris, jo sānu malas ir vienādas. Tad, lai aprēķinātu piramīdas sānu laukumu, jums ir nepieciešama formula, kas sastāv no identisku monomu summas. Terminu skaitu nosaka pamatnes malu skaits.
Vienādsānu trīsstūra laukumu aprēķina pēc formulas, kurā puse no pamatnes reizinājuma tiek reizināta ar augstumu. Šo piramīdas augstumu sauc par apotēmu. Tās apzīmējums ir "A". Vispārīgā formula sānu virsmas laukumam ir:
S=½ PA, kur P ir piramīdas pamatnes perimetrs.
Ir situācijas, kad nav zināmas pamatnes malas, bet ir dotas sānu malas (c) un plakanais leņķis tās virsotnē (α). Tad ir paredzēts izmantot šo formulu, lai aprēķinātu piramīdas sānu laukumu:
S=n/2in2 sin α.
Problēma 1
Stāvoklis. Atrodiet piramīdas kopējo laukumu, ja tās pamats ir vienādmalu trīsstūris ar malu 4 cm un apotēma ir √3 cm.
Lēmums. ViņaJums jāsāk, aprēķinot pamatnes perimetru. Tā kā šis ir regulārs trīsstūris, tad P \u003d 34 \u003d 12 cm. Tā kā apotēms ir zināms, varat nekavējoties aprēķināt visas sānu virsmas laukumu: ½12√3=6 √3 cm 2.
Trijstūrim pie pamatnes tiek iegūta šāda laukuma vērtība: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Lai noteiktu kopējo laukumu, jums jāpievieno divas iegūtās vērtības: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Atbilde. 10√3cm2.
Problēma 2
Stāvoklis. Ir regulāra četrstūra piramīda. Pamatnes sānu garums 7 mm, sānu mala 16 mm. Jums jāzina tā virsmas laukums.
Lēmums. Tā kā daudzskaldnis ir četrstūrveida un regulārs, tad tā pamats ir kvadrāts. Apgūstot pamatnes un sānu virsmu laukumus, būs iespējams aprēķināt piramīdas laukumu. Kvadrāta formula ir dota iepriekš. Un sānu virsmās ir zināmas visas trīsstūra malas. Tāpēc varat izmantot Herona formulu, lai aprēķinātu viņu apgabalus.
Pirmie aprēķini ir vienkārši un noved pie šāda skaitļa: 49 mm2. Otrajai vērtībai jums būs jāaprēķina pusperimetrs: (7 + 162): 2=19,5 mm. Tagad varat aprēķināt vienādsānu trīsstūra laukumu: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Šādi trīsstūri ir tikai četri, tāpēc, aprēķinot galīgo skaitli, tas būs jāreizina ar 4.
Izrādās: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Atbilde. Vēlamā vērtība 267, 576mm2.
Problēma 3
Stāvoklis. Parastai četrstūra piramīdai ir jāaprēķina laukums. Tā zina kvadrāta malu - 6 cm un augstumu - 4 cm.
Lēmums. Vienkāršākais veids ir izmantot formulu ar perimetra un apotēmas reizinājumu. Pirmo vērtību ir viegli atrast. Otrais ir nedaudz grūtāks.
Mums būs jāatceras Pitagora teorēma un jāapsver taisnleņķa trīsstūris. To veido piramīdas augstums un apotēma, kas ir hipotenūza. Otrais posms ir vienāds ar pusi no kvadrāta malas, jo daudzskaldņa augstums iekrīt tā vidū.
Vēlamā apotēma (taisnstūra trīsstūra hipotenūza) ir √(32 + 42)=5 (cm).
Tagad varat aprēķināt nepieciešamo vērtību: ½(46)5+62=96 (sk.2).
Atbilde. 96 cm2.
Problēma 4
Stāvoklis. Dota regulāra sešstūra piramīda. Tās pamatnes malas ir 22 mm, sānu ribas ir 61 mm. Kāds ir šī daudzskaldņa sānu virsmas laukums?
Lēmums. Pamatojums tajā ir tāds pats kā aprakstīts uzdevumā Nr.2. Tikai tur tika dota piramīda ar kvadrātu pie pamatnes, un tagad tā ir sešstūris.
Pirmkārt, pamatnes laukumu aprēķina, izmantojot iepriekš minēto formulu: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Tagad jums ir jānoskaidro vienādsānu trijstūra, kas ir sānu skaldne, pusperimetrs. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Atliek aprēķināt katras pludmales laukumutrijstūri un pēc tam reiziniet to ar sešiem un pievienojiet tam, kas izrādījās bāzei.
Aprēķins pēc Herona formulas: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Aprēķini, kas dos sānu virsmas laukumu: 6606=3960 cm2. Atliek tos saskaitīt, lai uzzinātu visu virsmu: 5217, 47≈5217 cm2.
Atbilde. Pamatne - 726√3cm2, sānu virsma - 3960cm2, kopējā platība - 5217cm2.
