Praksē bieži rodas uzdevumi, kas prasa spēju veidot dažādu formu ģeometrisko formu sekcijas un atrast sekciju laukumu. Šajā rakstā mēs apskatīsim, kā tiek veidotas svarīgas prizmas, piramīdas, konusa un cilindra daļas un kā aprēķināt to laukumus.
3D figūras
No stereometrijas ir zināms, ka pilnīgi jebkura veida trīsdimensiju figūru ierobežo vairākas virsmas. Piemēram, tādiem daudzskaldņiem kā prizma un piramīda šīs virsmas ir daudzstūra malas. Attiecībā uz cilindru un konusu mēs runājam par cilindrisku un konisku figūru apgriezienu virsmām.
Ja ņemam plakni un patvaļīgi krustojam trīsdimensiju figūras virsmu, iegūsim griezumu. Tās laukums ir vienāds ar tās plaknes daļas laukumu, kas atradīsies figūras tilpuma iekšpusē. Minimālā šī laukuma vērtība ir nulle, kas tiek realizēta, plaknei pieskaroties figūrai. Piemēram, sekciju, ko veido viens punkts, iegūst, ja plakne iet caur piramīdas vai konusa virsotni. Šķērsgriezuma laukuma maksimālā vērtība ir atkarīga nofigūras un plaknes relatīvais novietojums, kā arī figūras forma un izmērs.
Zemāk mēs apsvērsim, kā aprēķināt izveidoto sekciju laukumu divām apgriezienu figūrām (cilindru un konusu) un diviem daudzskaldņiem (piramīdai un prizmai).
Cilindrs
Apļveida cilindrs ir taisnstūra rotācijas skaitlis ap jebkuru tā malu. Cilindram ir raksturīgi divi lineāri parametri: bāzes rādiuss r un augstums h. Tālāk redzamā diagramma parāda, kā izskatās apaļš taisns cilindrs.
Šim skaitlim ir trīs svarīgi sadaļu veidi:
- apaļa;
- taisnstūrveida;
- eliptiska.
Eliptiska veidojas plaknei, kas kādā leņķī pret tās pamatni krusto figūras sānu virsmu. Apaļš ir sānu virsmas griešanas plaknes, kas ir paralēla cilindra pamatnei, krustojuma rezultāts. Visbeidzot, taisnstūrveida formu iegūst, ja griešanas plakne ir paralēla cilindra asij.
Apļveida laukumu aprēķina pēc formulas:
S1=pir2
Aksiālās sekcijas laukums, t.i., taisnstūrveida, kas iet cauri cilindra asij, ir definēts šādi:
S2=2rh
Konusa sekcijas
Konuss ir taisnleņķa trijstūra rotācijas figūra ap vienu no kājām. Konusam ir viena augšdaļa un apaļa pamatne. Tās parametri ir arī rādiuss r un augstums h. Papīra konusa piemērs ir parādīts zemāk.
Ir vairāki konusveida sekciju veidi. Uzskaitīsim tos:
- apaļa;
- eliptisks;
- paraboliska;
- hiperbolisks;
- trīsstūrveida.
Tie nomaina viens otru, ja palielinat sekanta plaknes slīpuma leņķi attiecībā pret apaļo pamatni. Vienkāršākais veids ir pierakstīt formulas apļa un trīsstūra šķērsgriezuma laukumam.
Apļveida griezums veidojas koniskas virsmas krustošanās rezultātā ar plakni, kas ir paralēla pamatnei. Tās apgabalam ir derīga šāda formula:
S1=pir2z2/h 2
Šeit z ir attālums no figūras augšdaļas līdz izveidotajai sadaļai. Redzams, ka, ja z=0, tad plakne iet tikai caur virsotni, tātad laukums S1 būs vienāds ar nulli. Kopš z < h, pētāmās sadaļas laukums vienmēr būs mazāks par tā vērtību pamatnei.
Trīsstūri iegūst, kad plakne krusto figūru pa tās rotācijas asi. Iegūtā sekcijas forma būs vienādsānu trīsstūris, kura malas ir pamatnes diametrs un divi konusa ģeneratori. Kā atrast trīsstūra šķērsgriezuma laukumu? Atbilde uz šo jautājumu būs šāda formula:
S2=rh
Šo vienādību iegūst, piemērojot patvaļīga trīsstūra laukuma formulu tā pamatnes garumā un augstumā.
Prizmas sekcijas
Prizma ir liela figūru klase, ko raksturo divas identiskas daudzstūra pamatnes, kas ir paralēlas viena otrai,savienoti ar paralelogramiem. Jebkura prizmas sadaļa ir daudzstūris. Ņemot vērā aplūkojamo figūru daudzveidību (slīpas, taisnas, n-stūra, regulāras, ieliektas prizmas), arī to griezumu dažādība ir liela. Tālāk ir aplūkoti tikai daži īpaši gadījumi.
Ja griešanas plakne ir paralēla pamatnei, tad prizmas šķērsgriezuma laukums būs vienāds ar šīs pamatnes laukumu.
Ja plakne iet cauri abu pamatu ģeometriskajiem centriem, tas ir, tā ir paralēla figūras sānu malām, tad griezumā veidojas paralelograms. Taisnu un regulāru prizmu gadījumā aplūkotais griezuma skats būs taisnstūris.
Piramīda
Piramīda ir vēl viens daudzskaldnis, kas sastāv no n-stūra un n trīsstūriem. Tālāk ir parādīts trīsstūrveida piramīdas piemērs.
Ja griezumu zīmē plakne, kas ir paralēla n-stūra pamatnei, tad tā forma būs tieši vienāda ar pamatnes formu. Šādas sadaļas laukumu aprēķina pēc formulas:
S1=So(h-z)2/h 2
Kur z ir attālums no pamatnes līdz griezuma plaknei, So ir pamatnes laukums.
Ja griešanas plakne satur piramīdas virsotni un šķērso tās pamatni, tad iegūstam trīsstūrveida griezumu. Lai aprēķinātu tā laukumu, jums ir jāizmanto atbilstošā trijstūra formula.
