Viena no figūrām, kas rodas, risinot ģeometriskos uzdevumus telpā, ir konuss. Tas, atšķirībā no daudzskaldņiem, pieder pie rotācijas figūru klases. Apskatīsim rakstā, ko tas nozīmē ģeometrijā, un izpētīsim dažādu konusa posmu raksturlielumus.
Konuss ģeometrijā
Pieņemsim, ka plaknē ir kāda līkne. Tā var būt parabola, aplis, elipse utt. Paņemiet punktu, kas nepieder norādītajai plaknei, un savienojiet ar to visus līknes punktus. Iegūto virsmu sauc par konusu vai vienkārši par konusu.
Ja sākotnējā līkne ir aizvērta, tad konisko virsmu var piepildīt ar vielu. Šādā veidā iegūtā figūra ir trīsdimensiju ķermenis. To sauc arī par konusu. Tālāk ir parādīti vairāki papīra konusi.
Koniskā virsma ir sastopama ikdienā. Piemēram, saldējuma konusam vai svītrainajam satiksmes konusam ir šāda forma, kas paredzēta, lai piesaistītu autovadītāju uzmanību ungājēji.
Konusu veidi
Kā jūs varētu nojaust, aplūkotie skaitļi atšķiras viens no otra atkarībā no līknes veida, uz kuras tie ir veidoti. Piemēram, ir apaļš konuss vai eliptisks. Šo līkni sauc par figūras pamatni. Tomēr pamatnes forma nav vienīgā iezīme, kas ļauj klasificēt konusus.
Otrs svarīgais raksturlielums ir augstuma novietojums attiecībā pret pamatni. Konusa augstums ir taisnas līnijas segments, kas ir nolaists no figūras augšdaļas līdz pamatnes plaknei un ir perpendikulārs šai plaknei. Ja augstums krustojas ar pamatni ģeometriskajā centrā (piemēram, apļa centrā), tad konuss būs taisns, ja perpendikulārais segments nokrīt uz jebkuru citu pamatnes punktu vai aiz tā, tad figūra būs slīpi.
Turpmāk rakstā par spožu aplūkojamās figūru klases pārstāvi aplūkosim tikai apaļu taisnu konusu.
Konusa elementu ģeometriskie nosaukumi
Iepriekš bija teikts, ka konusam ir pamatne. To ierobežo aplis, ko sauc par konusa vadotni. Segmentus, kas savieno vadotni ar punktu, kas neatrodas pamatnes plaknē, sauc par ģeneratoriem. Visu ģeneratoru punktu kopu sauc par figūras konisko vai sānu virsmu. Apaļajam labajam konusam visiem ģeneratoriem ir vienāds garums.
Punktu, kurā ģeneratori krustojas, sauc par attēla augšdaļu. Atšķirībā no daudzskaldņiem, konusam ir viena virsotne un Nrmala.
Taisnu līniju, kas iet caur figūras augšdaļu un apļa centru, sauc par asi. Ass satur taisna konusa augstumu, tāpēc tā veido taisnu leņķi ar pamatnes plakni. Šī informācija ir svarīga, aprēķinot konusa aksiālās sekcijas laukumu.
Apaļš taisns konuss - rotācijas skaitlis
Aplūkotais konuss ir diezgan simetriska figūra, ko var iegūt trijstūra rotācijas rezultātā. Pieņemsim, ka mums ir trīsstūris ar taisnu leņķi. Lai iegūtu konusu, pietiek pagriezt šo trīsstūri ap vienu no kājām, kā parādīts attēlā zemāk.
Var redzēt, ka rotācijas ass ir konusa ass. Viena no kājām būs vienāda ar figūras augstumu, bet otrā kāja kļūs par pamatnes rādiusu. Trijstūra hipotenūza rotācijas rezultātā aprakstīs konisku virsmu. Tas būs konusa ģenerators.
Šo apaļa taisna konusa iegūšanas metodi ir ērti izmantot, lai pētītu matemātisko sakarību starp figūras lineārajiem parametriem: augstumu h, apaļās pamatnes rādiusu r un vadotni g. Atbilstošā formula izriet no taisnleņķa trijstūra īpašībām. Tas ir norādīts zemāk:
g2=h2+ r2.
Tā kā mums ir viens vienādojums un trīs mainīgie, tas nozīmē, ka, lai unikāli iestatītu apaļa konusa parametrus, ir jāzina jebkuri divi lielumi.
Konusa griezumi pa plakni, kas nesatur figūras virsotni
Jautājums par figūras sadaļu konstruēšanu navtriviāls. Fakts ir tāds, ka konusa griezuma forma pēc virsmas ir atkarīga no figūras un atdalīšanas relatīvā stāvokļa.
Pieņemsim, ka mēs krustojam konusu ar plakni. Kāds būs šīs ģeometriskās darbības rezultāts? Sadaļas formas opcijas ir parādītas zemāk esošajā attēlā.
Rozā sadaļa ir aplis. Tas veidojas figūras krustošanās rezultātā ar plakni, kas ir paralēla konusa pamatnei. Tie ir griezumi, kas ir perpendikulāri attēla asij. Virs griešanas plaknes izveidotā figūra ir konuss, kas līdzīgs oriģinālajam, bet ar mazāku apli pie pamatnes.
Zaļā sadaļa ir elipse. To iegūst, ja griešanas plakne nav paralēla pamatnei, bet tā tikai šķērso konusa sānu virsmu. Virs plaknes nogrieztu figūru sauc par eliptisku, slīpu konusu.
Zilās un oranžās sadaļas ir attiecīgi paraboliskas un hiperboliskas. Kā redzams attēlā, tie tiek iegūti, ja griešanas plakne vienlaikus krustojas ar figūras sānu virsmu un pamatni.
Lai noteiktu konusa sekciju laukumus, kas tika izskatīti, ir jāizmanto formulas atbilstošajai figūrai plaknē. Piemēram, aplim šis ir skaitlis Pi, kas reizināts ar rādiusa kvadrātu, un elipsei tas ir Pi un mazās un lielākās pusass garuma reizinājums:
aplis: S=pir2;
elipse: S=piab.
Sadaļas, kurās ir konusa augšdaļa
Tagad apsveriet iespējas sekcijām, kas rodas, ja griešanas plakne iriziet cauri konusa augšdaļai. Ir iespējami trīs gadījumi:
- Sadaļa ir viens punkts. Piemēram, plakne, kas iet caur virsotni un ir paralēla pamatnei, dod tieši šādu griezumu.
- Sadaļa ir taisna līnija. Šī situācija rodas, ja plakne pieskaras koniskai virsmai. Iecirkņa taisne šajā gadījumā būs konusa ģenerātors.
- Aksiālā sadaļa. Tas veidojas, kad plakne satur ne tikai figūras augšdaļu, bet arī visu tās asi. Šajā gadījumā plakne būs perpendikulāra apaļajai pamatnei un sadalīs konusu divās vienādās daļās.
Acīmredzot, pirmo divu veidu sadaļu laukumi ir vienādi ar nulli. Kas attiecas uz konusa šķērsgriezuma laukumu 3. tipam, šis jautājums ir sīkāk apspriests nākamajā rindkopā.
Aksiālā daļa
Iepriekš tika atzīmēts, ka konusa aksiālais griezums ir figūra, kas veidojas, kad konusu krusto plakne, kas iet caur tā asi. Ir viegli uzminēt, ka šī sadaļa attēlos attēlā redzamo skaitli.
Šis ir vienādsānu trīsstūris. Konusa aksiālās sekcijas virsotne ir šī trijstūra virsotne, ko veido identisku malu krustpunkts. Pēdējie ir vienādi ar konusa ģenerātora garumu. Trijstūra pamatne ir konusa pamatnes diametrs.
Konusa aksiālās daļas laukuma aprēķins tiek samazināts līdz iegūtā trīsstūra laukuma atrašanai. Ja sākotnēji ir zināms pamatnes rādiuss r un konusa augstums h, tad aplūkojamā posma laukums S būs:
S=hr.
Šisizteiksme ir rezultāts, pielietojot standarta formulu trijstūra laukumam (puse no augstuma reizinājuma ar pamatni).
Ņemiet vērā: ja konusa ģenerātors ir vienāds ar tā apaļās pamatnes diametru, tad konusa aksiālā daļa ir vienādmalu trīsstūris.
Trīsstūrveida griezums veidojas, kad griešanas plakne ir perpendikulāra konusa pamatnei un iet cauri tā asij. Jebkura cita plakne, kas ir paralēla nosauktajai plaknei, sniegs griezumā hiperbolu. Tomēr, ja plakne satur konusa virsotni un šķērso tās pamatni, nevis caur diametru, tad iegūtais posms būs arī vienādsānu trīsstūris.
Konusa lineāro parametru noteikšanas problēma
Parādīsim, kā izmantot formulu, kas uzrakstīta aksiālās sekcijas laukumam, lai atrisinātu ģeometrisku uzdevumu.
Ir zināms, ka konusa aksiālās daļas laukums ir 100 cm2. Iegūtais trīsstūris ir vienādmalu. Kāds ir konusa augstums un tā pamatnes rādiuss?
Tā kā trīsstūris ir vienādmalu, tā augstums h ir saistīts ar malas a garumu šādi:
h=√3/2a.
Ņemot vērā, ka trijstūra mala ir divreiz lielāka par konusa pamatnes rādiusu, un aizstājot šo izteiksmi šķērsgriezuma laukuma formulā, mēs iegūstam:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Tad konusa augstums ir:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Atliek aizstāt laukuma vērtību ar problēmas stāvokliun saņemiet atbildi:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Kādās jomās ir svarīgi zināt aplūkojamo sadaļu parametrus?
Dažādu veidu konusa griezumu izpēte ir ne tikai teorētiska interese, bet arī praktiski pielietojama.
Pirmkārt, jāatzīmē aerodinamikas joma, kur ar konisku griezumu palīdzību iespējams izveidot ideālas gludas cieto ķermeņu formas.
Otrkārt, konusveida posmi ir trajektorijas, pa kurām kosmosa objekti pārvietojas gravitācijas laukos. Kāda veida griezums attēlo sistēmas kosmisko ķermeņu kustības trajektoriju, nosaka to masu, absolūto ātrumu un attālumu attiecība starp tiem.
