Trijstūris ir viena no visizplatītākajām ģeometriskajām formām, kas mums ir pazīstama jau pamatskolā. Katrs skolēns ģeometrijas stundās saskaras ar jautājumu, kā atrast trijstūra laukumu. Tātad, kādas ir dotās figūras laukuma atrašanas pazīmes? Šajā rakstā mēs apskatīsim pamatformulas, kas nepieciešamas šāda uzdevuma veikšanai, kā arī analizēsim trijstūra veidus.
Trīsstūru veidi
Trijstūra laukumu var atrast pilnīgi dažādos veidos, jo ģeometrijā ir vairāk nekā viena veida figūras, kas satur trīs leņķus. Šīs sugas ietver:
- Akūts trīsstūris.
- Neliels leņķis.
- Vienādmalu (pareizi).
- Taisnstūris.
- Viensānu.
Sīkāk apskatīsim katru no esošajiem trijstūra veidiem.
Akūtstrīsstūris
Šāda ģeometriskā figūra tiek uzskatīta par visizplatītāko ģeometrisko uzdevumu risināšanā. Kad rodas nepieciešamība uzzīmēt patvaļīgu trīsstūri, šī opcija nāk palīgā.
Akūtā trijstūrī, kā norāda nosaukums, visi leņķi ir asi un summējas līdz 180°.
Neliela leņķa trīsstūris
Šis trīsstūris ir arī ļoti izplatīts, taču tas ir nedaudz retāk nekā akūtā leņķa trijstūris. Piemēram, risinot trijstūrus (tas ir, jūs zināt vairākas tā malas un leņķus un jums ir jāatrod atlikušie elementi), dažreiz jums ir jānosaka, vai leņķis ir neass vai nē. Strupā leņķa kosinuss ir negatīvs skaitlis.
Neasā trijstūrī viena leņķa vērtība pārsniedz 90°, tāpēc pārējiem diviem leņķiem var būt nelielas vērtības (piemēram, 15° vai pat 3°).
Lai atrastu šāda veida trīsstūra laukumu, jāzina dažas nianses, par kurām mēs runāsim vēlāk.
Regulāri un vienādsānu trīsstūri
Parasts daudzstūris ir skaitlis, kas ietver n leņķus un visas malas un leņķi ir vienādi. Šis ir taisnleņķa trīsstūris. Tā kā trijstūra visu leņķu summa ir 180°, katrs no trim leņķiem ir 60°.
Regulāru trīsstūri tā īpašības dēļ sauc arī par vienādmalu figūru.
Ir arī vērts atzīmēt, ka iekšregulāru trīsstūri var ierakstīt tikai ar vienu apli un tikai vienu apli tam apkārt, un to centri atrodas vienā punktā.
Bez vienādmalu tipa var izvēlēties arī vienādsānu trīsstūri, kas no tā nedaudz atšķiras. Šādā trīsstūrī divas malas un divi leņķi ir vienādi viens ar otru, un trešā mala (kurai piekļaujas vienādi leņķi) ir pamatne.
Attēlā parādīts vienādsānu trīsstūris DEF, kura leņķi D un F ir vienādi, un DF ir bāze.
Taisns trīsstūris
Taisnleņķa trīsstūris ir nosaukts tā, jo viens no tā leņķiem ir taisnleņķis, tas ir, vienāds ar 90°. Pārējie divi leņķi kopā veido 90°.
Šāda trīsstūra lielākā mala, kas atrodas pretī 90° leņķim, ir hipotenūza, bet pārējās divas tā malas ir kājas. Šāda veida trijstūriem ir piemērojama Pitagora teorēma:
Kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas garuma kvadrātu.
Attēlā parādīts taisnleņķa trīsstūris BAC ar hipotenūzu AC un kājiņām AB un BC.
Lai atrastu trijstūra laukumu ar taisnu leņķi, jums jāzina tā kāju skaitliskās vērtības.
Pāriesim pie formulām šī attēla laukuma atrašanai.
Pamata laukuma formulas
Ģeometrijā ir divas formulas, kas ir piemērotas, lai atrastu laukumu lielākajai daļai trijstūra veidu, proti, akūtā leņķa, strupleņķa, regulāra unvienādsānu trijstūri. Analizēsim katru no tiem.
Sānos un augstumā
Šī formula ir universāla, lai atrastu aplūkojamās figūras laukumu. Lai to izdarītu, pietiek zināt sānu garumu un tai pievilktā augstuma garumu. Pati formula (puse no pamatnes un augstuma reizinājuma) izskatās šādi:
S=½AH, kur A ir dotā trijstūra mala un H ir trijstūra augstums.
Piemēram, lai atrastu akūtā leņķa trijstūra ACB laukumu, tā mala AB jāreizina ar augstumu CD un iegūtā vērtība jādala ar divi.
Tomēr šādā veidā ne vienmēr ir viegli atrast trīsstūra laukumu. Piemēram, lai izmantotu šo formulu strupleņķa trijstūrim, jāturpina viena no tā malām un tikai pēc tam jāvelk tai augstums.
Praksē šī formula tiek izmantota biežāk nekā citas.
No divām pusēm un stūrī
Šī formula, tāpat kā iepriekšējā, ir piemērota lielākajai daļai trijstūri, un tās nozīme ir formulas sekas, lai atrastu laukumu pēc trijstūra malas un augstuma. Tas ir, aplūkojamo formulu var viegli iegūt no iepriekšējās. Viņas formulējums izskatās šādi:
S=½sinOAB, kur A un B ir trijstūra malas un O ir leņķis starp malām A un B.
Atgādināt, ka leņķa sinusu var apskatīt īpašā tabulā, kas nosaukta izcilā padomju matemātiķa V. M. Bradis vārdā.
Un tagad pāriesim pie citām formulām,piemērots tikai īpašiem trijstūriem.
Taisnstūra trīsstūra laukums
Papildus universālajai formulai, kas ietver nepieciešamību uzzīmēt augstumu trijstūrī, trijstūra laukumu, kurā ir taisns leņķis, var atrast pēc tā kājām.
Tādējādi trijstūra laukums, kurā ir taisnleņķis, ir puse no tā kāju reizinājuma vai:
S=½ab, kur a un b ir taisnleņķa trīsstūra kājas.
Parastais trīsstūris
Šis ģeometrisko figūru veids atšķiras ar to, ka to laukumu var atrast ar norādīto vērtību tikai vienai tā malai (jo regulāra trijstūra visas malas ir vienādas). Tātad, izpildot uzdevumu "atrast trijstūra laukumu, kad malas ir vienādas", jums jāizmanto šāda formula:
S=A2√3/4, kur A ir vienādmalu trīsstūra mala.
Herona formula
Pēdējā iespēja trijstūra laukuma atrašanai ir Herona formula. Lai to izmantotu, jums jāzina figūras trīs malu garumi. Herona formula izskatās šādi:
S=√p (p–a) (p–b) (p–c), kur a, b un c ir šī trīsstūra malas.
Dažreiz dotais uzdevums: "regulāra trīsstūra laukums - atrodiet tā malas garumu." Šajā gadījumā jums ir jāizmanto jau zināmā formula regulāra trīsstūra laukuma atrašanai un no tās jāatvasina malas (vai tās kvadrāta) vērtība:
A2=4S / √3.
Eksāmenu problēmas
GIA uzdevumosMatemātikā ir daudz formulu. Turklāt uz rūtainā papīra bieži ir jāatrod trijstūra laukums.
Šajā gadījumā visērtāk ir uzzīmēt augstumu līdz vienai no figūras malām, noteikt tās garumu pa šūnām un izmantot universālo formulu laukuma atrašanai:
S=½AH.
Tātad, izpētot rakstā sniegtās formulas, jums nebūs problēmu atrast jebkāda veida trīsstūra laukumu.
