Trīsstūris ir vienkāršākā plaknē noslēgtā figūra, kas sastāv tikai no trim savstarpēji savienotiem segmentiem. Ģeometrijas problēmās bieži ir nepieciešams noteikt šī attēla laukumu. Kas jums par to jāzina? Rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu, kā atrast trīsstūra laukumu no trim malām.
Vispārīgā formula
Katrs skolēns zina, ka trijstūra laukumu aprēķina kā jebkuras tā malas garuma reizinājumu - a uz pusi no augstuma - h, nolaižot uz izvēlēto pusi. Zemāk ir atbilstošā formula: S=ah/2.
Šo izteiksmi var izmantot, ja ir zināmas vismaz divas malas un leņķa vērtība starp tām. Šajā gadījumā augstumu h ir viegli aprēķināt, izmantojot trigonometriskās funkcijas, piemēram, sinusu. Taču ne visi zina, kā atrast laukumu trīsstūra trīs malās.
Herona formula
Šī formula ir atbilde uz jautājumu, kātrīs malas atrod trīsstūra laukumu. Pirms tā pierakstīšanas apzīmēsim patvaļīgas figūras segmentu garumus kā a, b un c. Herona formulu raksta šādi: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kur p ir figūras pusperimetrs, t.i.: p=(a+b+c)/2.
Neskatoties uz šķietamo apgrūtinājumu, iepriekš minēto apgabala S izteiksmi ir viegli atcerēties. Lai to izdarītu, vispirms jāaprēķina trijstūra pusperimetrs, pēc tam no tā jāatņem ar vienu figūras malas garumu, jāreizina visas iegūtās atšķirības un pats pusperimetrs. Visbeidzot paņemiet reizinājuma kvadrātsakni.
Šī formula ir nosaukta Aleksandrijas Herona vārdā, kurš dzīvoja mūsu ēras sākumā. Mūsdienu vēsture uzskata, ka tieši šis filozofs pirmo reizi izmantoja šo izteiksmi, lai veiktu atbilstošos aprēķinus. Šī formula ir publicēta viņa Metrica, kas datēta ar mūsu ēras 60. gadu. Ņemiet vērā, ka daži no Arhimēda darbiem, kas dzīvoja divus gadsimtus agrāk nekā Herons, satur pazīmes, ka grieķu filozofs jau zināja formulu. Turklāt senie ķīnieši prata arī atrast trīsstūra laukumu, zinot trīs malas.
Ir svarīgi atzīmēt, ka problēmu var atrisināt, nezinot par Herona formulas esamību. Lai to izdarītu, trīsstūrī uzzīmējiet pāris augstumus un izmantojiet vispārīgo formulu no iepriekšējās rindkopas, sastādot atbilstošo vienādojumu sistēmu.
Gērona izteiksmi var izmantot, lai aprēķinātu patvaļīgu daudzstūru laukumus pēc to sadalīšanastrijstūri un iegūto diagonāļu garumu aprēķināšana.
Problēmu risināšanas piemērs
Zinot, kā atrast trīsstūra laukumu no trim malām, nostiprināsim savas zināšanas, atrisinot šādu uzdevumu. Lai figūras malas ir 5 cm, 4 cm un 3 cm. Atrodiet laukumu.
Trīsstūra trīs malas ir zināmas, tāpēc varat izmantot Herona formulu. Mēs aprēķinām pusperimetru un nepieciešamās atšķirības, mums ir:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Tad mēs iegūstam laukumu: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Uzdevuma nosacījumā norādītais trijstūris ir taisnleņķa leņķis, ko ir viegli pārbaudīt, ja izmantojat Pitagora teorēmu. Tā kā šāda trīsstūra laukums ir puse no kāju reizinājuma, mēs iegūstam: S=43/2=6 cm2.
Iegūtā vērtība ir tāda pati kā Herona formulai, kas apstiprina pēdējās derīgumu.
