Grieķi sāka visu. Ne jau tagadējie, bet tie, kas dzīvoja pirms tam. Kalkulatoru vēl nebija, un nepieciešamība pēc aprēķiniem jau bija. Un gandrīz katrs aprēķins beidzās ar taisnleņķa trijstūriem. Viņi deva risinājumu daudzām problēmām, no kurām viena izklausījās šādi: "Kā atrast hipotenūzu, zinot leņķi un kāju?".
Taisnā leņķa trīsstūri
Neskatoties uz definīcijas vienkāršību, šis skaitlis lidmašīnā var uzdot daudz mīklu. Daudzi to ir piedzīvojuši paši, vismaz skolas programmā. Labi, ka viņš pats sniedz atbildes uz visiem jautājumiem.
Bet vai nav iespējams vēl vairāk vienkāršot šo vienkāršo sānu un stūru kombināciju? Izrādījās, ka tas bija iespējams. Pietiek ar vienu leņķi izveidot taisnu, t.i., vienādu ar 90°.
Šķiet, kāda ir atšķirība? Milzīgs. Ja ir gandrīz neiespējami saprast visu leņķu dažādību, tad, piefiksējot vienu no tiem, ir viegli nonākt pie pārsteidzošiem secinājumiem. Tas ir tas, ko Pitagors izdarīja.
Vai viņš izdomāja vārdus "kāja" un "hipotenūza" vai tomērkāds cits to izdarīja, tas nav svarīgi. Galvenais ir tas, ka viņi ieguva savus vārdus ne velti, bet pateicoties viņu attiecībām ar pareizo leņķi. Tam blakus atradās divas puses. Tās bija slidas. Trešā bija pretēja, tā kļuva par hipotenūzu.
Un ko tad?
Vismaz, ka bija iespēja atbildēt uz jautājumu, kā atrast hipotenūzu pēc kājas un leņķa. Pateicoties sengrieķu ieviestajiem jēdzieniem, kļuva iespējama malu un leņķu attiecību loģiska konstruēšana.
Piramīdu celtniecībā tika izmantoti paši trijstūri, arī taisnstūrveida. Slavenais Ēģiptes trīsstūris ar malām 3, 4 un 5, iespējams, pamudināja Pitagoru formulēt slaveno teorēmu. Viņa, savukārt, kļuva par risinājumu problēmai, kā atrast hipotenūzu, zinot leņķi un kāju
Sānu kvadrāti izrādījās savstarpēji saistīti. Senā grieķa nopelns nav tas, ka viņš to pamanīja, bet gan tas, ka viņš spēja pierādīt savu teorēmu visiem pārējiem trīsstūriem, ne tikai ēģiptiešu trīsstūriem.
Tagad ir viegli aprēķināt vienas malas garumu, zinot pārējās divas. Bet dzīvē pārsvarā rodas cita veida problēmas, kad ir jānoskaidro hipotenūza, zinot kāju un leņķi. Kā noteikt upes platumu, nesaslapinot kājas? Viegli. Uzbūvējam trīsstūri, kura viena kāja ir upes platumā, otra mums zināma no konstrukcijas. Zināt pretējo pusi… Pitagora sekotāji jau ir atraduši risinājumu.
Tātad, uzdevums ir: kā atrast hipotenūzu, zinot leņķi un kāju
Papildus malu kvadrātu attiecībai viņi atklāja vēl daudz ko cituziņkārīgas attiecības. Lai tos aprakstītu, tika ieviestas jaunas definīcijas: sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss un cita trigonometrija. Formulu apzīmējumi bija: Sin, Cos, Tg, Ctg. Kas tas ir, redzams attēlā.
Funkciju vērtības, ja ir zināms leņķis, jau sen ir aprēķinājis un tabulējis slavenais krievu zinātnieks Bradis. Piemēram, Sin30°=0,5. Un tā katram leņķim. Tagad atgriezīsimies pie upes, kuras vienā pusē novilkām SA līniju. Mēs zinām tā garumu: 30 metri. Viņi to izdarīja paši. Pretējā pusē ir koks punktā B. Nebūs grūti izmērīt leņķi A, lai tas būtu 60 °.
Sinusu tabulā mēs atrodam leņķa 60° vērtību - tā ir 0,866. Tātad CA\AB=0,866. Tāpēc AB ir definēts kā CA:0,866=34,64. Tagad, kad ir zināmas 2 šķautnes taisnleņķa trīsstūri, trešo nebūs grūti aprēķināt. Pitagors visu izdarīja mūsu vietā, jums tikai jāaizstāj cipari:
BC=√AB2 - AC2=√1199, 93 - 900=√299, 93=17, 32 metri.
Tā mēs ar vienu akmeni nogalinājām divus putnus: izdomājām, kā atrast hipotenūzu, zinot leņķi un kāju, un aprēķinājām upes platumu.
