Leņķi starp plaknēm. Kā noteikt leņķi starp plaknēm

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Risinot ģeometriskos uzdevumus telpā, bieži vien ir tādi, kur nepieciešams aprēķināt leņķus starp dažādiem telpiskiem objektiem. Šajā rakstā mēs apskatīsim jautājumu par leņķu atrašanu starp plaknēm un starp tām un taisni.

Līnija kosmosā

Ir zināms, ka pilnīgi jebkuru taisni plaknē var definēt ar šādu vienādību:

y=ax + b

Šeit a un b ir daži skaitļi. Ja ar tādu pašu izteiksmi attēlojam telpā taisnu līniju, tad iegūstam plakni, kas ir paralēla z asij. Telpiskās līnijas matemātiskajai definīcijai tiek izmantota cita risinājuma metode nekā divdimensiju gadījumā. Tas sastāv no jēdziena "virziena vektors" izmantošana.

Taisnes līnijas virzošais vektors parāda tās orientāciju telpā. Šis parametrs pieder pie rindas. Tā kā telpā ir bezgalīga paralēla vektoru kopa, tad, lai unikāli noteiktu aplūkojamo ģeometrisko objektu, ir jāzina arī tam piederošā punkta koordinātas.

Pieņemsim, ka irpunkts P(x₀; y₀; z_{0) un virziena vektors v¯(a; b; c), tad taisnes vienādojumu var dot šādi:}

(x; y; z)=P + αv¯ vai

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Šo izteiksmi sauc par taisnas līnijas parametrisko vektora vienādojumu. Koeficients α ir parametrs, kas var iegūt pilnīgi jebkuras reālās vērtības. Līnijas koordinātas var skaidri attēlot, paplašinot šo vienādību:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

plaknes vienādojums

Ir vairāki veidi, kā uzrakstīt vienādojumu plaknei telpā. Šeit mēs apskatīsim vienu no tiem, ko visbiežāk izmanto, aprēķinot leņķus starp divām plaknēm vai starp vienu no tām un taisni.

Ja ir zināms kāds vektors n¯(A; B; C), kas ir perpendikulārs vēlamajai plaknei, un punkts P(x₀; y ₀; z_{0), kas tai pieder, tad pēdējam vispārējais vienādojums ir:}

Ax + By + Cz + D=0, kur D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Mēs esam izlaiduši šī izteiksmes atvasināšanu, kas ir diezgan vienkārša. Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, zinot mainīgo koeficientus plaknes vienādojumā, var viegli atrast visus vektorus, kas ir perpendikulāri tam. Pēdējos sauc par normāliem, un tos izmanto, lai aprēķinātu leņķus starp slīpumu un plakni un starppatvaļīgi analogi.

Plakņu atrašanās vieta un leņķa formula starp tām

Pieņemsim, ka ir divas lidmašīnas. Kādas ir iespējas to relatīvajam novietojumam kosmosā. Tā kā plaknei ir divas bezgalīgas dimensijas un viena nulle, ir iespējamas tikai divas to savstarpējās orientācijas iespējas:

tie būs paralēli viens otram;
tie var pārklāties.

Leņķis starp plaknēm ir indekss starp to virziena vektoriem, t.i., starp to normāliem n₁¯ un n_2¯.

Acīmredzot, ja tie ir paralēli plaknei, tad krustošanās leņķis starp tiem ir nulle. Ja tie krustojas, tad tas nav nulle, bet vienmēr ass. Īpašs krustošanās gadījums būs leņķis 90o, kad plaknes ir savstarpēji perpendikulāras viena otrai.

Leņķi α starp n₁¯ un n_{2¯ ir viegli noteikt pēc šo vektoru skalārās reizinājuma. Tas ir, formula notiek:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Pieņemsim, ka šo vektoru koordinātas ir: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Pēc tam, izmantojot formulas skalārās reizinājuma aprēķināšanai un vektoru moduļus, izmantojot to koordinātas, iepriekš minēto izteiksmi var pārrakstīt šādi:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modulis skaitītājā parādījās tādēļ, lai izslēgtu neaso leņķu vērtības.

Uzdevumu risināšanas piemēri plakņu krustošanās leņķa noteikšanai

Zinot, kā atrast leņķi starp plaknēm, mēs atrisināsim šādu uzdevumu. Dotas divas plaknes, kuru vienādojumi ir:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Kāds ir leņķis starp plaknēm?

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, atcerēsimies, ka plaknes vispārējā vienādojumā mainīgo koeficienti ir virzošā vektora koordinātas. Norādītajām plaknēm mums ir šādas to normālu koordinātas:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Tagad mēs atrodam šo vektoru un to moduļu skalāro reizinājumu, mums ir:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Tagad jūs varat aizstāt atrastos skaitļus iepriekšējā punktā norādītajā formulā. Mēs iegūstam:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Iegūtā vērtība atbilst nosacījumā norādīto plakņu krustošanās asajam leņķimuzdevumi.

Tagad apsveriet citu piemēru. Dotas divas plaknes:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Vai tie krustojas? Izrakstīsim to virziena vektoru koordinātu vērtības, aprēķināsim to skalāro reizinājumu un moduļus:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Tad krustošanās leņķis ir:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Šis leņķis norāda, ka plaknes nekrustojas, bet ir paralēlas. To, ka tie nesakrīt, ir viegli pārbaudīt. Ņemsim par to patvaļīgu punktu, kas pieder pirmajam no tiem, piemēram, P(0; 3; 2). Aizstājiet tās koordinātas otrajā vienādojumā, mēs iegūstam:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Tas ir, punkts P pieder tikai pirmajai plaknei.

Tātad divas plaknes ir paralēlas, kad to normālās ir.

Plakne un taisne

Ja tiek ņemta vērā relatīvā pozīcija starp plakni un taisni, ir vairākas iespējas vairāk nekā ar divām plaknēm. Šis fakts ir saistīts ar faktu, ka taisne ir viendimensionāls objekts. Līnija un plakne var būt:

savstarpēji paralēli, šajā gadījumā plakne nekrusto taisni;
pēdējā var piederēt plaknei, bet arī būs tai paralēla;
abi objekti varkrustojas kādā leņķī.

Vispirms apskatīsim pēdējo gadījumu, jo tas prasa krustošanās leņķa jēdziena ieviešanu.

Līnija un plakne, leņķis starp tām

Ja taisne krusto plakni, tad to sauc par slīpu attiecībā pret to. Krustošanās punktu sauc par slīpuma pamatni. Lai noteiktu leņķi starp šiem ģeometriskajiem objektiem, no jebkura punkta ir jānolaiž taisne, kas ir perpendikulāra plaknei. Tad perpendikula krustpunkts ar plakni un slīpās līnijas krustošanās vieta ar to veido taisni. Pēdējo sauc par sākotnējās līnijas projekciju uz aplūkojamo plakni. Akūtais leņķis starp līniju un tās projekciju ir nepieciešamais.

Nedaudz mulsinoša leņķa definīcija starp plakni un slīpi precizēs tālāk redzamo attēlu.

Šeit leņķis ABO ir leņķis starp taisni AB un plakni a.

Lai pierakstītu tā formulu, apsveriet piemēru. Lai ir taisne un plakne, ko apraksta ar vienādojumiem:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Šiem objektiem ir viegli aprēķināt vēlamo leņķi, ja atrodat skalāro reizinājumu starp taisnes virziena vektoriem un plakni. Iegūtais akūts leņķis ir jāatņem no 90o, tad to iegūst starp taisni un plakni.

Augšējā attēlā parādīts aprakstītais atrašanas algoritmsapsvērts leņķis. Šeit β ir leņķis starp normālu un taisni, un α ir starp līniju un tās projekciju uz plakni. Var redzēt, ka to summa ir 90o.

Augšpusē tika parādīta formula, kas atbild uz jautājumu, kā atrast leņķi starp plaknēm. Tagad mēs sniedzam atbilstošo izteiksmi taisnes un plaknes gadījumam:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modulis formulā ļauj aprēķināt tikai asus leņķus. Arkosīna funkcija parādījās arkosīna vietā, jo starp trigonometriskām funkcijām tika izmantota atbilstošā samazināšanas formula (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problēma: plakne krusto taisnu līniju

Tagad parādīsim, kā strādāt ar iepriekš minēto formulu. Atrisināsim uzdevumu: jāaprēķina leņķis starp y asi un plakni, kas dota ar vienādojumu:

y - z + 12=0

Šī lidmašīna ir redzama attēlā.

Var redzēt, ka tas krusto y un z asis attiecīgi punktos (0; -12; 0) un (0; 0; 12) un ir paralēls x asij.

Līnijas y virziena vektoram ir koordinātes (0; 1; 0). Vektoru, kas ir perpendikulārs noteiktai plaknei, raksturo koordinātas (0; 1; -1). Mēs izmantojam taisnes un plaknes krustošanās leņķa formulu, iegūstam:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problēma: taisna līnija, kas ir paralēla plaknei

Tagad pieņemsim lēmumulīdzīga iepriekšējai problēmai, par kuru jautājums tiek uzdots citādi. Plaknes un taisnes vienādojumi ir zināmi:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Jānoskaidro, vai šie ģeometriskie objekti ir paralēli viens otram.

Mums ir divi vektori: taisnes virziens ir (0; 2; 2) un plaknes virziens ir (1; 1; -1). Atrodiet viņu punktu produktu:

01 + 12 - 12=0

Iegūtā nulle norāda, ka leņķis starp šiem vektoriem ir 90o, kas pierāda, ka taisne un plakne ir paralēlas.

Tagad pārbaudīsim, vai šī taisne ir tikai paralēla vai arī atrodas plaknē. Lai to izdarītu, izvēlieties patvaļīgu punktu uz līnijas un pārbaudiet, vai tas pieder plaknei. Piemēram, pieņemsim, ka λ=0, tad punkts P(1; 0; 0) pieder pie taisnes. Aizstāt plaknes vienādojumā P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Punkts P nepieder plaknei, kas nozīmē, ka tajā arī neatrodas visa taisne.

Kur ir svarīgi zināt leņķus starp aplūkotajiem ģeometriskiem objektiem?

Iepriekš minētās formulas un problēmu risināšanas piemēri ir ne tikai teorētiskas intereses. Tos bieži izmanto, lai noteiktu svarīgus reālu trīsdimensiju figūru fiziskos daudzumus, piemēram, prizmas vai piramīdas. Aprēķinot figūru tilpumus un to virsmu laukumus, svarīgi ir spēt noteikt leņķi starp plaknēm. Turklāt, ja taisnas prizmas gadījumā ir iespējams neizmantot šīs formulas, lai noteiktunorādītās vērtības, tad jebkura veida piramīdai to izmantošana ir neizbēgama.

Tālāk apskatiet piemēru, kā izmantot iepriekš minēto teoriju, lai noteiktu piramīdas leņķus ar kvadrātveida pamatni.

Piramīda un tās stūri

Zemāk redzamajā attēlā parādīta piramīda, kuras pamatnē atrodas kvadrāts ar malu a. Figūras augstums ir h. Jāatrod divi stūri:

starp sānu virsmu un pamatni;
starp sānu ribu un pamatni.

Lai atrisinātu uzdevumu, vispirms jāievada koordinātu sistēma un jānosaka atbilstošo virsotņu parametri. Attēlā redzams, ka koordinātu sākumpunkts sakrīt ar punktu kvadrāta pamatnes centrā. Šajā gadījumā pamata plakni apraksta ar vienādojumu:

z=0

Tas ir, jebkuram x un y trešās koordinātas vērtība vienmēr ir nulle. Sānu plakne ABC krusto z asi punktā B(0; 0; h), bet y asi – punktā ar koordinātām (0; a/2; 0). Tas nešķērso x asi. Tas nozīmē, ka ABC plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi: