Tipiska ģeometriskā problēma ir atrast leņķi starp līnijām. Plaknē, ja ir zināmi līniju vienādojumi, tos var novilkt un leņķi izmērīt ar transportieri. Tomēr šī metode ir darbietilpīga un ne vienmēr iespējama. Lai noskaidrotu nosaukto leņķi, nav jāzīmē taisnas līnijas, to var aprēķināt. Šajā rakstā tiks sniegta atbilde, kā to izdarīt.
Taisna līnija un tās vektora vienādojums
Jebkuru taisnu līniju var attēlot kā vektoru, kas sākas ar -∞ un beidzas ar +∞. Šajā gadījumā vektors iet cauri kādam telpas punktam. Tādējādi visi vektori, kurus var novilkt starp jebkuriem diviem punktiem uz taisnes, būs paralēli viens otram. Šī definīcija ļauj iestatīt taisnas līnijas vienādojumu vektora formā:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Šeit vektors ar koordinātām (a; b; c) ir ceļvedis šai taisnei, kas iet caur punktu (x0; y0; z0). Parametrs α ļauj pārsūtīt norādīto punktu uz jebkuru citu šai līnijai. Šis vienādojums ir intuitīvs, un ar to ir viegli strādāt gan 3D telpā, gan plaknē. Plaknei tajā nebūs z koordinātas un trešā virziena vektora komponenta.
Aprēķinu veikšanas un taisnu līniju relatīvās pozīcijas izpētes ērtības, izmantojot vektora vienādojumu, ir saistītas ar to, ka ir zināms tā virzošais vektors. Tās koordinātas tiek izmantotas, lai aprēķinātu leņķi starp līnijām un attālumu starp tām.
Vispārējs vienādojums taisnei plaknē
Uzrakstīsim tieši taisnās līnijas vektora vienādojumu divdimensiju gadījumam. Tas izskatās šādi:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Tagad mēs aprēķinām parametru α katrai vienādībai un vienādojam iegūto vienādību labās daļas:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Atverot iekavas un pārnesot visus nosacījumus uz vienu vienlīdzības pusi, mēs iegūstam:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kur A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Iegūto izteiksmi sauc par vispārīgo vienādojumu taisnei, kas dota divdimensiju telpā (trīsdimensijā šis vienādojums atbilst plaknei, kas ir paralēla z asij, nevis taisnei).
Ja šajā izteiksmē skaidri ierakstām y līdz x, mēs iegūstam šādu formu, zināmukatrs students:
y=kx + p, kur k=-A/B, p=-C/B
Šis lineārais vienādojums unikāli definē taisnu līniju plaknē. Uzzīmēt to pēc labi zināmā vienādojuma ir ļoti vienkārši, šim pēc kārtas jāliek x=0 un y=0, jāatzīmē atbilstošie punkti koordinātu sistēmā un jānovelk taisne, kas savieno iegūtos punktus.
Leņķa formula starp līnijām
Plaknē divas taisnes var krustoties vai būt paralēlas viena otrai. Telpā šīm opcijām tiek pievienota šķību līniju pastāvēšanas iespēja. Neatkarīgi no šo viendimensiju ģeometrisko objektu relatīvās pozīcijas versijas, leņķi starp tiem vienmēr var noteikt pēc šādas formulas:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kur v1¯ un v2¯ ir attiecīgi 1. un 2. līnijas virzošie vektori. Skaitītājs ir punktveida reizinājuma modulis, lai izslēgtu neasos leņķus un ņemtu vērā tikai asus.
Vektorus v1¯ un v2¯ var norādīt ar divām vai trim koordinātām, bet leņķa formulu φ paliek nemainīgs.
Līniju paralēlisms un perpendikularitāte
Ja leņķis starp 2 līnijām, kas aprēķināts, izmantojot iepriekš minēto formulu, ir 0o, tad tās tiek uzskatītas par paralēlām. Lai noteiktu, vai līnijas ir paralēlas, nevar aprēķināt leņķiφ, pietiek parādīt, ka vienu virziena vektoru var attēlot ar līdzīgu citas līnijas vektoru, tas ir:
v1¯=qv2¯
Šeit q ir kāds reāls skaitlis.
Ja līniju vienādojumi ir norādīti šādi:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
tad tie būs paralēli tikai tad, kad x koeficienti ir vienādi, tas ir:
k1=k2
Šo faktu var pierādīt, ja ņemam vērā, kā koeficients k tiek izteikts taisnes virziena vektora koordinātu izteiksmē.
Ja līniju krustošanās leņķis ir 90o, tad tās sauc par perpendikulārām. Lai noteiktu līniju perpendikularitāti, arī nav jāaprēķina leņķis φ, tam pietiek ar vektoru v1¯ un v skalāro reizinājumu. 2¯. Tam ir jābūt nullei.
Ja telpā krustojas taisnes, var izmantot arī leņķa φ formulu. Šajā gadījumā rezultāts ir pareizi jāinterpretē. Aprēķinātais φ parāda leņķi starp virzienu vektoriem taisnēm, kuras nekrustojas un nav paralēlas.
1. uzdevums. Perpendikulāras līnijas
Ir zināms, ka līniju vienādojumiem ir šāda forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Jānosaka, vai šīs līnijas irperpendikulāri.
Kā minēts iepriekš, lai atbildētu uz jautājumu, pietiek ar to vadotņu vektoru skalāro reizinājumu, kas atbilst koordinātām (1; 2) un (-4; 2). Mums ir:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Tā kā mēs saņēmām 0, tas nozīmē, ka aplūkotās līnijas krustojas taisnā leņķī, tas ir, tās ir perpendikulāras.
2. uzdevums. Līnijas krustošanās leņķis
Ir zināms, ka diviem taisnēm vienādojumiem ir šāda forma:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Ir jāatrod leņķis starp līnijām.
Tā kā koeficientiem x ir dažādas vērtības, šīs līnijas nav paralēlas. Lai atrastu leņķi, kas veidojas, kad tie krustojas, mēs tulkojam katru vienādojumu vektora formā.
Pirmajai rindai mēs iegūstam:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Vienādojuma labajā pusē mēs ieguvām vektoru, kura koordinātas ir atkarīgas no x. Attēlosim to kā divu vektoru summu, un pirmā koordinātas satur mainīgo x, bet otrā koordinātas sastāvēs tikai no skaitļiem:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Tā kā x ņem patvaļīgas vērtības, to var aizstāt ar parametru α. Pirmās rindas vektora vienādojums ir:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Mēs veicam tās pašas darbības ar otro rindas vienādojumu, iegūstam:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Mēs pārrakstījām sākotnējos vienādojumus vektora formā. Tagad varat izmantot krustošanās leņķa formulu, aizstājot tajā līniju virzošo vektoru koordinātas:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Tādējādi aplūkojamās līnijas krustojas leņķī 71,565o jeb 1,249 radiānos.
Šo problēmu varēja atrisināt citādi. Lai to izdarītu, bija jāņem divi patvaļīgi katras taisnes punkti, jāsastāda no tiem tiešos vektorus un pēc tam jāizmanto formula φ.
