Ģeometrijā pēc punkta taisna līnija, iespējams, ir vienkāršākais elements. To izmanto jebkuru sarežģītu figūru konstruēšanā plaknē un trīsdimensiju telpā. Šajā rakstā mēs apsvērsim taisnās līnijas vispārējo vienādojumu un atrisināsim pāris problēmas, izmantojot to. Sāksim!
Taisna līnija ģeometrijā
Ikviens zina, ka tādas formas kā taisnstūris, trīsstūris, prizma, kubs un tā tālāk veidojas, krustojot taisnas līnijas. Taisne ģeometrijā ir viendimensijas objekts, ko var iegūt, pārnesot noteiktu punktu uz vektoru ar tādu pašu vai pretēju virzienu. Lai labāk izprastu šo definīciju, iedomājieties, ka telpā ir kāds punkts P. Paņemiet patvaļīgu vektoru u¯ šajā telpā. Tad jebkuru taisnes punktu Q var iegūt šādu matemātisku darbību rezultātā:
Q=P + λu¯.
Šeit λ ir patvaļīgs skaitlis, kas var būt pozitīvs vai negatīvs. Ja vienlīdzībauzrakstiet augstāk koordinātu izteiksmē, tad iegūstam šādu taisnes vienādojumu:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Šo vienādojumu sauc par taisnas līnijas vienādojumu vektora formā. Un vektoru u¯ sauc par ceļvedi.
Vispārējs plaknes taisnes vienādojums
Katrs skolēns to var pierakstīt bez jebkādām grūtībām. Bet visbiežāk vienādojumu raksta šādi:
y=kx + b.
Kur k un b ir patvaļīgi skaitļi. Skaitli b sauc par brīvo dalībnieku. Parametrs k ir vienāds ar leņķa tangensu, ko veido taisnes līnijas krustojums ar x asi.
Iepriekš minētais vienādojums ir izteikts attiecībā pret mainīgo y. Ja mēs to sniedzam vispārīgākā formā, mēs iegūstam šādu apzīmējumu:
Ax + By + C=0.
Ir viegli parādīt, ka šī taisnes vispārīgā vienādojuma rakstīšanas forma plaknē ir viegli transformējama iepriekšējā formā. Lai to izdarītu, kreisā un labā daļa jādala ar koeficientu B un jāizsaka y.
Iepriekš redzamajā attēlā redzama taisne, kas iet caur diviem punktiem.
Līnija 3D telpā
Turpināsim izpēti. Mēs izskatījām jautājumu par to, kā plaknē tiek dots taisnas līnijas vienādojums vispārīgā formā. Ja telpiskajam gadījumam piemērosim raksta iepriekšējā rindkopā doto apzīmējumu, ko mēs iegūsim? Viss ir vienkārši – vairs ne taisne, bet plakne. Patiešām, šāda izteiksme apraksta plakni, kas ir paralēla z asij:
Ax + By + C=0.
Ja C=0, tad tāda plakne iet garāmcaur z asi. Šī ir svarīga funkcija.
Kā tad būt ar vispārējo taisnes vienādojumu telpā? Lai saprastu, kā to uzdot, jums kaut kas jāatceras. Divas plaknes krustojas pa noteiktu taisni. Ko tas nozīmē? Tikai vispārējais vienādojums ir divu plakņu vienādojumu sistēmas atrisināšanas rezultāts. Rakstīsim šo sistēmu:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Šī sistēma ir vispārējs taisnas līnijas vienādojums telpā. Ņemiet vērā, ka plaknes nedrīkst būt paralēlas viena otrai, tas ir, to normāliem vektoriem ir jābūt slīpiem kādā leņķī attiecībā pret otru. Pretējā gadījumā sistēmai nebūs risinājumu.
Iepriekš mēs sniedzām vienādojuma vektoru formu taisnei. Tas ir ērti lietojams, risinot šo sistēmu. Lai to izdarītu, vispirms jāatrod šo plakņu normālu vektorreizinājums. Šīs darbības rezultāts būs taisnas līnijas virziena vektors. Pēc tam jāaprēķina jebkurš punkts, kas pieder līnijai. Lai to izdarītu, kāds no mainīgajiem ir jāiestata vienāds ar noteiktu vērtību, divus atlikušos mainīgos var atrast, atrisinot samazināto sistēmu.
Kā pārvērst vektora vienādojumu vispārīgā vienādojumu? Nianses
Šī ir aktuāla problēma, kas var rasties, ja nepieciešams uzrakstīt taisnas līnijas vispārīgo vienādojumu, izmantojot zināmās divu punktu koordinātas. Ļaujiet mums parādīt, kā šī problēma tiek atrisināta ar piemēru. Lai ir zināmas divu punktu koordinātas:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vienādojumu vektora formā ir diezgan viegli sastādīt. Virziena vektora koordinātas ir:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Ņemiet vērā, ka nav nekādas atšķirības, ja atņemam Q koordinātas no punkta P koordinātām, vektors mainīs tikai virzienu uz pretējo. Tagad jums vajadzētu ņemt jebkuru punktu un pierakstīt vektora vienādojumu:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Lai uzrakstītu taisnes vispārīgo vienādojumu, abos gadījumos ir jāizsaka parametrs λ. Un tad salīdziniet rezultātus. Mums ir:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Atliek tikai atvērt iekavas un pārnest visus vienādojuma nosacījumus uz vienu vienādojuma pusi, lai iegūtu vispārīgu izteiksmi taisnei, kas iet caur diviem zināmiem punktiem.
Trīsdimensiju uzdevuma gadījumā risinājuma algoritms tiek saglabāts, tikai tā rezultāts būs divu vienādojumu sistēma plaknēm.
Uzdevums
Ir nepieciešams izveidot vispārīgu vienādojumutaisna līnija, kas krusto x asi punktā (-3, 0) un ir paralēla y asij.
Sāksim risināt uzdevumu, ierakstot vienādojumu vektora formā. Tā kā līnija ir paralēla y asij, tad tās virziena vektors būs šāds:
u¯=(0, 1).
Tad vajadzīgā rinda tiks ierakstīta šādi:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Tagad tulkosim šo izteiksmi vispārīgā formā, šim nolūkam mēs izsakām parametru λ:
- x=-3;
- y=λ.
Tādējādi rindai pieder jebkura mainīgā y vērtība, taču tai atbilst tikai viena mainīgā x vērtība. Tāpēc vispārējais vienādojums būs šāds:
x + 3=0.
Problēma ar taisnu līniju telpā
Ir zināms, ka divas krustojošas plaknes ir dotas ar šādiem vienādojumiem:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Jāatrod vektora vienādojums tai taisnei, pa kuru šīs plaknes krustojas. Sāksim.
Kā tika teikts, trīsdimensiju telpas taisnes vispārīgais vienādojums jau ir dots sistēmas divi ar trim nezināmajiem formā. Vispirms nosakām virziena vektoru, pa kuru plaknes krustojas. Reizinot normālskaitļu vektora koordinātas ar plaknēm, iegūstam:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Tā kā vektora reizināšana ar negatīvu skaitli maina tā virzienu, mēs varam rakstīt:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kamlai atrastu vektora izteiksmi taisnei, papildus virziena vektoram ir jāzina kāds šīs taisnes punkts. Atrodiet, jo tā koordinātām ir jāatbilst vienādojumu sistēmai uzdevuma nosacījumā, tad mēs tās atradīsim. Piemēram, liksim x=0, tad iegūstam:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Tādējādi punktam, kas pieder vēlamajai taisnei, ir koordinātes:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Tad mēs saņemam atbildi uz šo problēmu, vajadzīgās līnijas vektora vienādojums izskatīsies šādi:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Risinājuma pareizību var viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, jums jāizvēlas patvaļīga parametra λ vērtība un abos plakņu vienādojumos jāaizstāj iegūtās taisnes punkta koordinātas, abos gadījumos jūs iegūsit identitāti.
