Vektors ir svarīgs ģeometrisks objekts, ar tā īpašību palīdzību ir ērti atrisināt daudzas problēmas plaknē un telpā. Šajā rakstā mēs to definēsim, apsvērsim tā galvenās īpašības, kā arī parādīsim, kā vektoru telpā var izmantot plakņu definēšanai.
Kas ir vektors: divdimensiju gadījums
Vispirms ir skaidri jāsaprot, par kādu objektu ir runa. Ģeometrijā virzītu segmentu sauc par vektoru. Tāpat kā jebkuru segmentu, to raksturo divi galvenie elementi: sākuma un beigu punkti. Šo punktu koordinātas unikāli nosaka visas vektora īpašības.
Apskatīsim vektora piemēru plaknē. Lai to izdarītu, mēs uzzīmējam divas savstarpēji perpendikulāras asis x un y. Atzīmēsim patvaļīgu punktu P(x, y). Ja savienojam šo punktu ar izcelsmi (punktu O) un pēc tam norādām virzienu uz P, tad iegūstam vektoru OP¯ (vēlāk rakstā josla virs simbola norāda, ka mēs apsveram vektoru). Vektoru zīmējums uz plaknes ir parādīts zemāk.
Šeit ir parādīts arī cits vektors AB¯, un var redzēt, ka tā raksturlielumi ir tieši tādi paši kā OP¯, bet tas atrodas citā koordinātu sistēmas daļā. Izmantojot paralēlo tulkošanu OP¯, jūs varat iegūt bezgalīgu skaitu vektoru ar vienādām īpašībām.
Vektors kosmosā
Visi reālie objekti, kas mūs ieskauj, atrodas trīsdimensiju telpā. Trīsdimensiju figūru ģeometrisko īpašību izpēte nodarbojas ar stereometriju, kas darbojas ar trīsdimensiju vektoru jēdzienu. No divdimensiju tie atšķiras tikai ar to, ka to aprakstam ir nepieciešama papildu koordināte, kas tiek mērīta pa trešo perpendikulāro x un y asi z.
Zemāk redzamajā attēlā ir parādīts vektors telpā. Tās gala koordinātas gar katru asi ir norādītas ar krāsainiem segmentiem. Vektora sākums atrodas visu trīs koordinātu asu krustpunktā, tas ir, tam ir koordinātes (0; 0; 0).
Tā kā vektors plaknē ir īpašs telpiski virzīta segmenta gadījums, rakstā aplūkosim tikai trīsdimensiju vektoru.
Vektora koordinātas, pamatojoties uz zināmām tā sākuma un beigu koordinātām
Pieņemsim, ka ir divi punkti P(x1; y1; z1) un Q(x2; y2; z2). Kā noteikt vektora PQ¯ koordinātas. Pirmkārt, ir jāvienojas, kurš no punktiem būs vektora sākums un kurš beigas. Matemātikā ir ierasts attiecīgo objektu rakstīt tā virzienā, tas ir, P ir sākums, Q- beigas. Otrkārt, vektora PQ¯ koordinātas tiek aprēķinātas kā starpība starp atbilstošajām beigu un sākuma koordinātām, tas ir:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Ņemiet vērā, ka, mainot vektora virzienu, tā koordinātas mainīs zīmi šādi:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Tas nozīmē, ka PQ¯=-QP¯.
Ir svarīgi saprast vēl vienu lietu. Iepriekš tika teikts, ka plaknē ir bezgalīgs skaits vektoru, kas vienāds ar doto. Šis fakts attiecas arī uz telpisko gadījumu. Faktiski, kad mēs aprēķinājām PQ¯ koordinātas iepriekš minētajā piemērā, mēs veicām šī vektora paralēlās translācijas darbību tā, lai tā izcelsme sakrita ar izcelsmi. Vektoru PQ¯ var uzzīmēt kā virzītu segmentu no sākuma līdz punktam M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektora īpašības
Tāpat kā jebkuram ģeometrijas objektam, vektoram ir dažas raksturīgas īpašības, kuras var izmantot problēmu risināšanai. Īsi uzskaitīsim tos.
Vektora modulis ir virzītā segmenta garums. Zinot koordinātas, to ir viegli aprēķināt. Iepriekš minētajā piemērā vektoram PQ¯ modulis ir:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektora modulis ieslēgtsplakne tiek aprēķināta pēc līdzīgas formulas, tikai bez trešās koordinātas līdzdalības.
Vektoru summa un starpība tiek veikta saskaņā ar trijstūra likumu. Tālāk esošajā attēlā parādīts, kā šos objektus pievienot un atņemt.
Lai iegūtu summas vektoru, pievienojiet otrā vektora sākumu pirmā vektora beigām. Vēlamais vektors sāksies pirmā vektora sākumā un beigsies otrā vektora beigās.
Starpība tiek veikta, ņemot vērā to, ka atņemtais vektors tiek aizstāts ar pretējo, un tad tiek veikta iepriekš aprakstītā saskaitīšanas darbība.
Bez saskaitīšanas un atņemšanas ir svarīgi spēt reizināt vektoru ar skaitli. Ja skaitlis ir vienāds ar k, tad tiek iegūts vektors, kura modulis k reizes atšķiras no sākotnējā, un virziens ir vai nu tāds pats (k>0), vai pretējs sākotnējam (k<0).
Noteikta arī vektoru savstarpējās reizināšanas operācija. Rakstā tam izdalīsim atsevišķu rindkopu.
Skalārā un vektoru reizināšana
Pieņemsim, ka ir divi vektori u¯(x1; y1; z1) un v¯(x2; y2; z2). Vektoru pēc vektora var reizināt divos dažādos veidos:
- Skalārs. Šajā gadījumā rezultāts ir skaitlis.
- Vektors. Rezultāts ir jauns vektors.
Vektoru u¯ un v¯ skalāro reizinājumu aprēķina šādi:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kur α ir leņķis starp dotajiem vektoriem.
Var parādīt, ka, zinot koordinātas u¯ un v¯, to punktu reizinājumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalārais reizinājums ir ērti lietojams, sadalot vektoru divos perpendikulāri virzītos segmentos. To izmanto arī, lai aprēķinātu vektoru paralēlismu vai ortogonalitāti, kā arī lai aprēķinātu leņķi starp tiem.
U¯ un v¯ krustreizinājums dod jaunu vektoru, kas ir perpendikulārs sākotnējiem un kura modulis ir:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Jaunā vektora virzienu uz leju vai augšup nosaka labās rokas noteikums (četri labās rokas pirksti ir vērsti no pirmā vektora beigām uz otrā vektora beigām, un īkšķis paceļas uz augšu norāda jaunā vektora virzienu). Zemāk esošajā attēlā parādīts krustreizinājuma rezultāts patvaļīgiem a¯ un b¯.
Šķērsreizinājumu izmanto, lai aprēķinātu figūru laukumus, kā arī lai noteiktu noteiktai plaknei perpendikulāra vektora koordinātas.
Vektorus un to īpašības ir ērti izmantot, definējot plaknes vienādojumu.
plaknes parastais un vispārējais vienādojums
Ir vairāki veidi, kā definēt plakni. Viens no tiem ir plaknes vispārējā vienādojuma atvasinājums, kas tieši izriet no vektora zināšanām, kas ir perpendikulārs tam, un kādu zināmu punktu, kas pieder plaknei.
Pieņemsim, ka ir vektors n¯ (A; B; C) un punkts P (x0; y0; z 0). Kāds nosacījums izpildīs visus plaknes punktus Q(x; y; z)? Šis nosacījums sastāv no jebkura vektora PQ¯ perpendikulāritātes pret normālu n¯. Diviem perpendikulāriem vektoriem punktu reizinājums kļūst par nulli (cos(90o)=0), rakstiet šādi:
(n¯PQ¯)=0 vai
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Atverot iekavas, mēs iegūstam:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 vai
Ax + By + Cz + D=0, kur D=-Ax0-By0-Cz0.
Šo vienādojumu plaknei sauc par vispārīgu. Mēs redzam, ka koeficienti x, y un z priekšā ir perpendikulāra vektora n¯ koordinātas. To sauc par lidmašīnas ceļvedi.
Plaknes vektora parametriskais vienādojums
Otrs veids, kā definēt plakni, ir izmantot divus tajā esošos vektorus.
Pieņemsim, ka ir vektori u¯(x1; y1; z1) un v¯(x2; y2; z2). Kā tika teikts, katru no tiem telpā var attēlot bezgalīgi daudz identisku virzītu segmentu, tāpēc plaknes unikālā noteikšanai ir nepieciešams vēl viens punkts. Lai šis punkts ir P(x0;y0; z0). Jebkurš punkts Q(x; y; z) atradīsies vēlamajā plaknē, ja vektoru PQ¯ var attēlot kā u¯ un v¯ kombināciju. Tas ir, mums ir:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kur α un β ir daži reāli skaitļi. No šīs vienlīdzības izriet izteiciens:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
To sauc par plaknes parametru vektoru vienādojumu attiecībā pret 2 vektoriem u¯ un v¯. Aizvietojot patvaļīgus parametrus α un β, var atrast visus punktus (x; y; z), kas pieder šai plaknei.
No šī vienādojuma ir viegli iegūt plaknes vispārīgo izteiksmi. Lai to izdarītu, pietiek atrast virziena vektoru n¯, kas būs perpendikulārs abiem vektoriem u¯ un v¯, tas ir, jāpiemēro to vektora reizinājums.
plaknes vispārējā vienādojuma noteikšanas problēma
Parādīsim, kā izmantot iepriekš minētās formulas ģeometrisku uzdevumu risināšanai. Pieņemsim, ka plaknes virziena vektors ir n¯(5; -3; 1). Jums jāatrod plaknes vienādojums, zinot, ka tam pieder punkts P(2; 0; 0).
Vispārējais vienādojums ir uzrakstīts šādi:
Ax + By + Cz + D=0.
Tā kā plaknei perpendikulārais vektors ir zināms, vienādojums būs šāds:
5x - 3y + z +D=0.
Atliek atrast brīvo terminu D. Mēs to aprēķinām pēc koordinātu zināšanām P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Tādējādi vēlamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma:
5x - 3y + z -10=0.
Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā izskatās iegūtā plakne.
Norādītās punktu koordinātas atbilst plaknes krustpunktiem ar x, y un z asīm.
Problēma ar plaknes noteikšanu caur diviem vektoriem un punktu
Tagad pieņemsim, ka iepriekšējā plakne ir definēta citādi. Ir zināmi divi vektori u¯(-2; 0; 10) un v¯(-2; -10/3; 0), kā arī punkts P(2; 0; 0). Kā uzrakstīt plaknes vienādojumu vektora parametru formā? Izmantojot aplūkoto atbilstošo formulu, mēs iegūstam:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Ņemiet vērā, ka šī plaknes vienādojuma, vektoru u¯ un v¯ definīcijas var pieņemt pilnīgi jebkurus, bet ar vienu nosacījumu: tie nedrīkst būt paralēli. Pretējā gadījumā plakni nevar noteikt unikāli, taču var atrast vienādojumu staram vai plakņu kopai.
