Metodes līniju vienādojumu iestatīšanai plaknē un trīsdimensiju telpā

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Taisnā līnija ir galvenais ģeometriskais objekts plaknē un trīsdimensiju telpā. No taisnām līnijām tiek veidotas daudzas figūras, piemēram: paralelograms, trīsstūris, prizma, piramīda utt. Apsveriet rakstā dažādus veidus, kā iestatīt līniju vienādojumus.

Taisnas līnijas definīcija un vienādojumu veidi tās aprakstīšanai

Katram skolēnam ir labs priekšstats par to, par kādu ģeometrisku objektu viņš runā. Taisni var attēlot kā punktu kopumu, un, ja mēs savienojam katru no tiem pēc kārtas ar visiem pārējiem, tad iegūstam paralēlu vektoru kopu. Citiem vārdiem sakot, ir iespējams nokļūt katrā līnijas punktā no viena no tā fiksētajiem punktiem, pārnesot to uz kādu vienības vektoru, kas reizināts ar reālu skaitli. Šo taisnes definīciju izmanto, lai definētu vektoru vienādību tās matemātiskajam aprakstam gan plaknē, gan trīsdimensiju telpā.

Taisnu līniju var matemātiski attēlot ar šāda veida vienādojumiem:

vispārīgi;
vektors;
parametric;
segmentos;
simetrisks (kanonisks).

Tālāk mēs apsvērsim visus nosauktos veidus un parādīsim, kā ar tiem strādāt, izmantojot uzdevumu risināšanas piemērus.

Taisnas līnijas vektoru un parametru apraksts

Sāksim, definējot taisnu līniju caur zināmu vektoru. Pieņemsim, ka telpā M (x₀; y₀; z_{0) ir fiksēts punkts. Ir zināms, ka taisne iet caur to un ir vērsta pa vektora segmentu v¯(a; b; c). Kā no šiem datiem atrast patvaļīgu līnijas punktu? Atbilde uz šo jautājumu dos šādu vienlīdzību:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Kur λ ir patvaļīgs skaitlis.

Līdzīgu izteiksmi var uzrakstīt divdimensiju gadījumam, kur vektoru un punktu koordinātas attēlo divu skaitļu kopa:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Ierakstītos vienādojumus sauc par vektoru vienādojumiem, un virzītais segments v¯ pats par sevi ir taisnes virziena vektors.

No uzrakstītajām izteiksmēm atbilstošos parametriskos vienādojumus iegūst vienkārši, pietiek tos skaidri pārrakstīt. Piemēram, gadījumam kosmosā mēs iegūstam šādu vienādojumu:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Ir ērti strādāt ar parametriskiem vienādojumiem, ja nepieciešams analizēt darbībukatra koordināta. Ņemiet vērā: lai gan parametram λ var būt patvaļīgas vērtības, tam ir jābūt vienādam visās trīs vienādībās.

Vispārējais vienādojums

Cits veids, kā definēt taisnu līniju, ko bieži izmanto darbam ar aplūkojamo ģeometrisko objektu, ir izmantot vispārīgu vienādojumu. Divdimensiju gadījumā tas izskatās šādi:

Ax + By + C=0

Šeit lielie latīņu burti apzīmē noteiktas skaitliskās vērtības. Šīs vienlīdzības ērtības problēmu risināšanā slēpjas faktā, ka tajā ir skaidri ietverts vektors, kas ir perpendikulārs taisnei. Ja mēs to apzīmējam ar n¯, tad varam rakstīt:

n¯=[A; B]

Turklāt izteiksmi ir ērti lietot, lai noteiktu attālumu no taisnes līdz kādam punktam P(x₁; y_{1). Attāluma d formula ir:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Ir viegli parādīt, ka, ja mēs skaidri izsakām mainīgo y no vispārējā vienādojuma, mēs iegūstam šādu labi zināmu taisnes rakstīšanas veidu:

y=kx + b

Kur k un b ir unikāli noteikti ar skaitļiem A, B, C.

Vienādojums segmentos un kanoniskais

Vienādojumu segmentos ir visvieglāk iegūt no vispārējā skata. Mēs jums parādīsim, kā to izdarīt.

Pieņemsim, ka mums ir šāda rinda:

Ax + By + C=0

Pārvietojiet brīvo terminu vienādības labajā pusē, pēc tam sadaliet ar to visu vienādojumu, iegūstam:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, kur q=-C/A, p=-C / B

Mēs saņēmām tā saukto vienādojumu segmentos. Tas ieguva savu nosaukumu tāpēc, ka saucējs, ar kuru katrs mainīgais ir sadalīts, parāda līnijas krustojuma koordinātas vērtību ar atbilstošo asi. Šo faktu ir ērti izmantot, lai attēlotu taisnu līniju koordinātu sistēmā, kā arī analizētu tās relatīvo pozīciju attiecībā pret citiem ģeometriskiem objektiem (taisnām līnijām, punktiem).

Tagad pāriesim pie kanoniskā vienādojuma iegūšanas. To ir vieglāk izdarīt, ja ņemam vērā parametrisko opciju. Gadījumam lidmašīnā mums ir:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Katrā vienādībā izsakām parametru λ, tad pielīdzinām tos, iegūstam:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Šis ir vēlamais vienādojums, kas uzrakstīts simetriskā formā. Tāpat kā vektora izteiksme, tajā ir skaidri norādītas virziena vektora koordinātas un viena līnijai piederošā punkta koordinātas.

Var redzēt, ka šajā punktā mēs esam devuši vienādojumus divdimensiju gadījumam. Līdzīgi jūs varat uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu telpā. Šeit jāatzīmē, ka, ja kanoniskā formaierakstiem un izteiksmēm segmentos būs vienāda forma, tad vispārējais vienādojums telpā taisnei tiek attēlots ar divu vienādojumu sistēmu krustojošām plaknēm.

Taisnas līnijas vienādojuma konstruēšanas problēma

No ģeometrijas katrs skolēns zina, ka caur diviem punktiem var novilkt vienu līniju. Pieņemsim, ka koordinātu plaknē ir doti šādi punkti:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Ir jāatrod vienādojums tai taisnei, kurai pieder abi punkti segmentos, vektorā, kanoniskā un vispārīgā formā.

Vispirms iegūsim vektora vienādojumu. Lai to izdarītu, tiešā virziena vektoram definējiet M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Tagad varat izveidot vektora vienādojumu, izmantojot vienu no diviem uzdevuma priekšlikumā norādītajiem punktiem, piemēram, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Lai iegūtu kanonisko vienādojumu, pietiek ar atrasto vienādību pārveidot parametriskā formā un izslēgt parametru λ. Mums ir:

x=-1 - 2λ, tāpēc λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, tad iegūstam λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Pārējos divus vienādojumus (vispārējos un segmentos) var atrast no kanoniskā vienādojuma, pārveidojot to šādi:

x + 1=-2y + 6;

vispārējais vienādojums: x + 2y - 5=0;

segmentos vienādojumā: x / 5 + y / 2, 5=1

Iegūtie vienādojumi parāda, ka vektoram (1; 2) jābūt perpendikulāram taisnei. Patiešām, ja jūs atradīsiet tā skalāro reizinājumu ar virziena vektoru, tad tas būs vienāds ar nulli. Līnijas segmenta vienādojumā teikts, ka līnija krustojas ar x asi punktā (5; 0) un y asi punktā (2, 5; 0).

Līniju krustošanās punkta noteikšanas problēma

Divas taisnes plaknē ir dotas ar šādiem vienādojumiem:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Jānosaka punkta koordinātas, kur šīs līnijas krustojas.

Ir divi veidi, kā atrisināt problēmu:

Pārveidojiet vektora vienādojumu vispārīgā formā, pēc tam atrisiniet divu lineāro vienādojumu sistēmu.
Neveiciet nekādas transformācijas, bet vienkārši aizstājiet krustošanās punkta koordinātu, kas izteikta ar parametru λ, pirmajā vienādojumā. Pēc tam atrodiet parametra vērtību.

Darīsim otro ceļu. Mums ir: