Matemātikā ir jēdziens "kopa", kā arī piemēri šo pašu kopu salīdzināšanai savā starpā. Kopu salīdzināšanas veidu nosaukumi ir šādi vārdi: bijekcija, injekcija, surjekcija. Katrs no tiem ir sīkāk aprakstīts tālāk.
Bijekcija ir… kas tas ir?
Viena pirmās kopas elementu grupa tiek saskaņota ar otro elementu grupu no otrās kopas šādā formā: katrs pirmās grupas elements tiek tieši saskaņots ar citu vienu otrās grupas elementu, un nav situācija ar elementu trūkumu vai uzskaitījumu jebkurai vai no divām kopu grupām.
Galveno īpašību formulējums:
- Viens elements pret vienu.
- Saskaņošanas laikā nav papildu elementu, un tiek saglabāts pirmais rekvizīts.
- Ir iespējams mainīt kartēšanu, vienlaikus saglabājot vispārējo skatu.
- Bijekcija ir funkcija, kas ir gan injektīva, gan surjektīva.
Bijekcija no zinātniskā viedokļa
Bijektīvās funkcijas ir tieši izomorfismi kategorijā "funkciju kopa un kopa". Tomēr bijekcijas ne vienmēr ir izomorfismi sarežģītākām kategorijām. Piemēram, noteiktā grupu kategorijā morfismiem ir jābūt homomorfismiem, jo tiem ir jāsaglabā grupas struktūra. Tāpēc izomorfismi ir grupu izomorfismi, kas ir bijektīvi homomorfismi.
Jēdziens "viens pret vienu korespondenci" ir vispārināts līdz daļējām funkcijām, kur tās sauc par daļējām novirzēm, lai gan daļējai bijekcijai ir jābūt injekcijai. Šīs atslābināšanas iemesls ir tas, ka daļēja (pareizā) funkcija vairs nav definēta daļai tās domēna. Tādējādi nav pamatota iemesla ierobežot tās apgriezto funkciju līdz pilnīgai, t.i., definētai visur savā jomā. Visu daļējo bijekciju kopu noteiktai pamatkopai sauc par simetrisku apgrieztu pusgrupu.
Cits veids, kā definēt to pašu jēdzienu: ir vērts teikt, ka kopu daļēja bijekcija no A līdz B ir jebkura attiecība R (daļēja funkcija) ar īpašību, ka R ir bijekcijas grafiks f:A'→B ' kur A' ir A apakškopa un B' ir B apakškopa.
Ja daļēja bijekcija ir vienā un tajā pašā kopā, to dažreiz sauc par daļēju transformāciju viens pret vienu. Piemērs ir Mēbiusa transformācija, kas tikko definēta kompleksajā plaknē, nevis tās pabeigšana paplašinātajā kompleksajā plaknē.
Injekcija
Viena pirmās kopas elementu grupa tiek saskaņota ar otro elementu grupu no otrās kopas šādā formā: katrs pirmās grupas elements tiek saskaņots ar citu vienu otrās kopas elementu, bet ne visi tie tiek pārvērsti pāros. Nesapāroto elementu skaits ir atkarīgs no šo pašu elementu skaita atšķirības katrā no kopām: ja viena kopa sastāv no trīsdesmit viena elementa, bet otrā ir vēl septiņi, tad nepāra elementu skaits ir septiņi. Virzīta injekcija komplektā. Bijekcija un injekcija ir līdzīgas, taču nekas vairāk kā līdzīgs.
Surjection
Viena pirmās kopas elementu grupa tiek saskaņota ar otro elementu grupu no otrās kopas šādi: jebkuras grupas katrs elements veido pāri, pat ja elementu skaits atšķiras. No tā izriet, ka vienu elementu no vienas grupas var savienot pārī ar vairākiem elementiem no citas grupas.
Ne bijektīva, ne injektīva, ne surjektīvā funkcija
Šī ir bijektīvās un surjektīvās formas funkcija, bet ar atlikumu (nesapārotu)=> injekcija. Šādā funkcijā nepārprotami pastāv saikne starp bijekciju un izvirzīšanu, jo tā tieši ietver šos divus kopu salīdzināšanas veidus. Tātad visu veidu šo funkciju kopums nav viena no tām atsevišķi.
Visu veidu funkciju skaidrojums
Piemēram, novērotāju aizrauj sekojošais. Notiek loka šaušanas sacensības. Katrs nodalībnieki vēlas trāpīt mērķī (lai atvieglotu uzdevumu: netiek ņemta vērā tieši vieta, kur trāpa bulta). Tikai trīs dalībnieki un trīs mērķi - šī ir pirmā turnīra vieta (vietne). Turpmākajos posmos loka šāvēju skaits tiek saglabāts, bet tiek mainīts mērķu skaits: otrajā - četri mērķi, nākamajā - arī četri, bet ceturtajā - pieci. Katrs dalībnieks šauj pa katru mērķi.
- Pirmā turnīra norises vieta. Pirmais lokšāvējs trāpa tikai vienā mērķī. Otrais trāpa tikai vienā mērķī. Trešais atkārtojas pēc pārējiem, un visi loka šāvēji trāpa dažādos mērķos: tiem, kas atrodas viņiem pretī. Rezultātā 1 (pirmais loka šāvējs) trāpīja mērķī (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Tiek novērota šāda atkarība: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Secinājums būs spriedums, ka šāds kopu salīdzinājums ir bijekcija.
- Turnīra otrā platforma. Pirmais lokšāvējs trāpa tikai vienā mērķī. Otrais arī trāpa tikai vienā mērķī. Trešais īsti necenšas un atkārto visu pēc pārējiem, taču nosacījums ir viens – visi loka šāvēji trāpa dažādos mērķos. Bet, kā minēts iepriekš, otrajā platformā jau ir četri mērķi. Atkarība: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nepāra kopas elements. Šajā gadījumā tiks secināts, ka šāds kopu salīdzinājums ir injekcija.
- Trešā turnīra norises vieta. Pirmais lokšāvējs trāpa tikai vienā mērķī. Otrais atkal trāpa tikai vienā mērķī. Trešais nolemj savākties un trāpa trešajā un ceturtajā mērķī. Rezultātā atkarība: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Šeit tiks secināts, ka šāds kopu salīdzinājums ir apgalvojums.
- Ceturtā platforma turnīrā. Ar pirmo jau viss skaidrs, viņš trāpa tikai vienā mērķī, kurā drīz vairs nebūs vietas jau tā garlaicīgiem sitieniem. Tagad otrais ieņem vēl nesenās trešdaļas lomu un atkal trāpa tikai vienā mērķī, atkārtojot pēc pirmā. Trešais turpina kontrolēt sevi un nebeidz iepazīstināt ar savu bultu trešajā un ceturtajā mērķī. Tomēr piektais joprojām bija ārpus viņa kontroles. Tātad, atkarība: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - mērķu kopas nepāra elements. Secinājums: šāds kopu salīdzinājums nav izteikums, nevis injekcija un nevis bijekcija.
Tagad konstruēt bijekciju, injekciju vai izvirzīšanu nebūs problēma, kā arī atrast atšķirības starp tām.
