1900. gadā viens no pagājušā gadsimta izcilākajiem zinātniekiem Deivids Hilberts sastādīja sarakstu ar 23 neatrisinātām matemātikas problēmām. Darbam pie viņiem bija milzīga ietekme uz šīs cilvēku zināšanu jomas attīstību. 100 gadus vēlāk Māla matemātikas institūts iepazīstināja ar 7 problēmu sarakstu, kas pazīstams kā tūkstošgades problēmas. Katram no viņiem tika piedāvāta balva 1 miljona ASV dolāru apmērā.
Vienīgā problēma, kas parādījās abos mīklu sarakstos, kas zinātniekus vajā jau vairāk nekā vienu gadsimtu, bija Rīmaņa hipotēze. Viņa joprojām gaida savu lēmumu.
Īsa biogrāfiska piezīme
Georgs Frīdrihs Bernhards Rīmanis dzimis 1826. gadā Hannoverē, nabadzīga mācītāja daudzbērnu ģimenē un nodzīvojis tikai 39 gadus. Viņam izdevās publicēt 10 darbus. Taču jau dzīves laikā Rīmanis tika uzskatīts par sava skolotāja Johana Gausa pēcteci. 25 gadu vecumā jaunais zinātnieks aizstāvēja disertāciju "Sarežģīta mainīgā funkciju teorijas pamati". Vēlāk viņš formulējaviņa slavenā hipotēze.
Pirmskaitļi
Matemātika parādījās, kad cilvēks iemācījās skaitīt. Tajā pašā laikā radās pirmās idejas par skaitļiem, kuras viņi vēlāk mēģināja klasificēt. Ir novērots, ka dažiem no tiem ir kopīgas īpašības. Jo īpaši starp naturālajiem skaitļiem, t.i. tiem, kas tika izmantoti skaitīšanai (numurēšanai) vai objektu skaita apzīmēšanai, tika izdalīta grupa, kas dalās tikai ar vienu un ar sevi. Tos sauc par vienkāršiem. Elegantu pierādījumu šādu skaitļu kopas bezgalības teorēmai sniedza Eiklīds savā Elementi. Šobrīd viņu meklēšana turpinās. Jo īpaši lielākais jau zināmais skaits ir 274 207 281 – 1.
Eulera formula
Līdztekus pirmskaitļu kopas bezgalības jēdzienam Eiklīds noteica arī otro teorēmu par vienīgo iespējamo sadalīšanos pirmskaitļu faktoros. Saskaņā ar to jebkurš pozitīvs vesels skaitlis ir tikai vienas pirmskaitļu kopas reizinājums. 1737. gadā izcilais vācu matemātiķis Leonhards Eilers izteica Eiklida pirmo bezgalības teorēmu kā zemāk esošo formulu.
To sauc par zeta funkciju, kur s ir konstante un p ņem visas galvenās vērtības. No tā tieši izrietēja Eiklida apgalvojums par paplašināšanas unikalitāti.
Riemana Zeta funkcija
Eulera formula, rūpīgāk pārbaudot, ir pilnīgapārsteidzoši, jo tas nosaka attiecības starp pirmskaitļiem un veseliem skaitļiem. Galu galā bezgalīgi daudz izteiksmju, kas ir atkarīgas tikai no pirmskaitļiem, tiek reizinātas tās kreisajā pusē, un ar visiem pozitīvajiem veselajiem skaitļiem saistītā summa atrodas labajā pusē.
Rīmanis gāja tālāk par Eileru. Lai atrastu skaitļu sadalījuma problēmas atslēgu, viņš ierosināja definēt formulu gan reālajiem, gan kompleksajiem mainīgajiem. Tieši viņa vēlāk saņēma Rīmaņa zeta funkcijas nosaukumu. 1859. gadā zinātnieks publicēja rakstu "Par to pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz doto vērtību", kur viņš apkopoja visas savas idejas.
Riemans ieteica izmantot Eilera sēriju, kas saplūst jebkurai īstai s>1. Ja to pašu formulu izmanto kompleksiem s, tad rinda konverģēs jebkurai šī mainīgā vērtībai, kuras reālā daļa ir lielāka par 1. Rīmans izmantoja analītisko turpināšanas procedūru, paplašinot zeta(-u) definīciju uz visiem kompleksajiem skaitļiem, bet "izmeta" vienību. Tas tika izslēgts, jo pie s=1 zeta funkcija palielinās līdz bezgalībai.
Praktiskā izjūta
Rodas loģisks jautājums: kāpēc zeta funkcija, kas ir galvenā Rīmaņa darbā par nulles hipotēzi, ir interesanta un svarīga? Kā zināms, šobrīd nav identificēts vienkāršs modelis, kas raksturotu pirmskaitļu sadalījumu starp naturāliem skaitļiem. Rīmans varēja atklāt, ka to pirmskaitļu skaits pi(x), kas nepārsniedz x, ir izteikts zeta funkcijas netriviālo nulles sadalījuma izteiksmē. Turklāt Rīmaņa hipotēze irnepieciešams nosacījums, lai pierādītu laika aprēķinus dažu kriptogrāfijas algoritmu darbībai.
Riemana hipotēze
Viens no pirmajiem šīs matemātiskās problēmas formulējumiem, kas līdz mūsdienām nav pierādīts, izklausās šādi: netriviālas 0 zeta funkcijas ir kompleksi skaitļi, kuru reālā daļa ir vienāda ar ½. Citiem vārdiem sakot, tie atrodas uz līnijas Re s=½.
Ir arī vispārināta Rīmaņa hipotēze, kas ir tas pats apgalvojums, bet zeta funkciju vispārinājumiem, ko parasti sauc par Dirihlē L-funkcijām (skat. fotoattēlu zemāk).
Formulā χ(n) - kāda ciparu rakstzīme (modulo k).
Rīmaņa apgalvojums tiek uzskatīts par tā saukto nulles hipotēzi, jo ir pārbaudīta tā atbilstība esošajiem izlases datiem.
Kā Rīmanis apgalvoja
Vācu matemātiķa piezīme sākotnēji tika formulēta diezgan nejauši. Fakts ir tāds, ka tajā laikā zinātnieks grasījās pierādīt teorēmu par pirmskaitļu sadalījumu, un šajā kontekstā šai hipotēzei nebija īpašas nozīmes. Tomēr tās loma daudzu citu jautājumu risināšanā ir milzīga. Tāpēc daudzi zinātnieki tagad ir atzinuši Rīmaņa pieņēmumu par vissvarīgāko no nepierādītajām matemātiskajām problēmām.
Kā jau minēts, pilnīga Rīmaņa hipotēze nav nepieciešama, lai pierādītu sadalījuma teorēmu, un pietiek ar to, lai loģiski pamatotu, ka jebkuras netriviālās zeta funkcijas nulles reālā daļa atrodasno 0 līdz 1. No šīs īpašības izriet, ka summa pār visiem zeta funkcijas 0, kas parādās precīzajā formulā iepriekš, ir ierobežota konstante. Ja ir lielas x vērtības, tas var tikt zaudēts pavisam. Vienīgais formulas loceklis, kas paliek nemainīgs pat ļoti lielam x, ir pats x. Atlikušie sarežģītie termini salīdzinājumā ar to pazūd asimptotiski. Tātad svērtajai summai ir tendence uz x. Šo apstākli var uzskatīt par teorēmas par pirmskaitļu sadalījumu patiesuma apstiprinājumu. Tādējādi Rīmaņa zeta funkcijas nullēm ir īpaša loma. Tas sastāv no pierādīšanas, ka šādas vērtības nevar dot būtisku ieguldījumu sadalīšanās formulā.
Rīmaņa sekotāji
Traģiskā nāve no tuberkulozes neļāva šim zinātniekam novest savu programmu līdz loģiskajam beigām. Tomēr Sh-Zh pārņēma no viņa. de la Vallée Poussin un Žaks Hadamards. Neatkarīgi viens no otra viņi secināja teorēmu par pirmskaitļu sadalījumu. Hadamardam un Pousinam izdevās pierādīt, ka visas netriviālās 0 zeta funkcijas atrodas kritiskajā diapazonā.
Pateicoties šo zinātnieku darbam, matemātikā ir parādījies jauns virziens - analītiskā skaitļu teorija. Vēlāk citi pētnieki ieguva vairākus primitīvākus teorēmas, pie kuras strādāja Rīmanis, pierādījumus. Jo īpaši Pal Erdős un Atle Selberg pat atklāja ļoti sarežģītu loģisku ķēdi, kas to apstiprina, un kam nebija nepieciešama sarežģīta analīze. Tomēr līdz šim ir vairāki svarīgiteorēmas, tostarp daudzu skaitļu teorijas funkciju aproksimācijas. Šajā sakarā Erdīsa un Atla Selberga jaunais darbs praktiski neko neietekmēja.
Vienu no vienkāršākajiem un skaistākajiem problēmas pierādījumiem 1980. gadā atrada Donalds Ņūmens. Tas tika balstīts uz slaveno Košī teorēmu.
Vai Rīmaņa hipotēze apdraud mūsdienu kriptogrāfijas pamatus
Datu šifrēšana radās līdz ar hieroglifu parādīšanos, precīzāk, tos pašus var uzskatīt par pirmajiem kodiem. Šobrīd ir vesela digitālās kriptogrāfijas joma, kurā tiek izstrādāti šifrēšanas algoritmi.
Pirmskaitļi un "daļēji pirmskaitļi", t.i., tie, kas dalās tikai ar 2 citiem skaitļiem no tās pašas klases, veido publiskās atslēgas sistēmas, kas pazīstama kā RSA, pamatu. Tam ir visplašākais pielietojums. Jo īpaši to izmanto, ģenerējot elektronisko parakstu. Runājot par terminiem, kas pieejami manekeniem, Rīmaņa hipotēze apgalvo, ka pastāv pirmskaitļu sadales sistēma. Tādējādi ievērojami samazinās kriptogrāfisko atslēgu stiprums, no kura atkarīga tiešsaistes darījumu drošība e-komercijas jomā.
Citas neatrisinātas matemātikas problēmas
Ir vērts pabeigt rakstu, veltot dažus vārdus citiem tūkstošgades mērķiem. Tie ietver:
- P un NP klašu vienlīdzība. Problēma tiek formulēta šādi: ja polinoma laikā tiek pārbaudīta pozitīva atbilde uz konkrētu jautājumu, tad vai tā ir taisnība, ka pati atbilde uz šo jautājumuvar ātri atrast?
- Hodžas minējums. Vienkāršiem vārdiem sakot, to var formulēt šādi: dažiem projektīvo algebrisko variantu (atstarpu) veidiem Hodža cikli ir objektu kombinācijas, kurām ir ģeometriska interpretācija, t.i., algebriskie cikli.
- Puankarē minējums. Šis ir vienīgais Tūkstošgades izaicinājums, kas līdz šim ir pierādīts. Saskaņā ar to jebkuram 3-dimensiju objektam, kuram ir 3-dimensiju sfēras specifiskās īpašības, ir jābūt lodei līdz deformācijai.
- Jang – Mills kvantu teorijas apstiprinājums. Ir jāpierāda, ka kvantu teorija, ko šie zinātnieki izvirzīja telpai R 4, pastāv un tai ir 0. masas defekts jebkurai vienkāršai kompakto gabarītu grupai G.
- Bērza-Svinnertona-Daijera hipotēze. Šī ir vēl viena problēma, kas saistīta ar kriptogrāfiju. Tas pieskaras eliptiskām līknēm.
- Navjē-Stoksa vienādojumu risinājumu esamības un gluduma problēma.
Tagad jūs zināt Rīmaņa hipotēzi. Vienkāršiem vārdiem sakot, mēs esam formulējuši dažus citus tūkstošgades izaicinājumus. Tas, ka tos atrisinās vai pierādīs, ka viņiem nav risinājuma, ir laika jautājums. Turklāt maz ticams, ka tas būs jāgaida pārāk ilgi, jo matemātika arvien vairāk izmanto datoru skaitļošanas iespējas. Tomēr ne viss ir pakļauts tehnoloģijām, un, pirmkārt, zinātnisku problēmu risināšanai ir nepieciešama intuīcija un radošums.
