Gāzu agregātstāvokļa īpašību izpēte ir viena no svarīgākajām mūsdienu fizikas jomām. Aplūkojot gāzes mikroskopiskā mērogā, var iegūt visus sistēmas makroskopiskos parametrus. Šis raksts atklās svarīgu gāzu molekulārās kinētiskās teorijas jautājumu: kāds ir Maksvela molekulu sadalījums ātruma izteiksmē.
Vēstures fons
Ideja par gāzi kā mikroskopisku kustīgu daļiņu sistēmu radās Senajā Grieķijā. Zinātnei bija vajadzīgi vairāk nekā 1700 gadi, lai to izstrādātu.
Par mūsdienu gāzes molekulāri-kinētiskās teorijas (MKT) dibinātāju var uzskatīt Daniilu Bernulli. 1738. gadā viņš publicēja darbu ar nosaukumu "Hidrodinamika". Tajā Bernulli iezīmēja MKT idejas, kas tiek izmantotas līdz mūsdienām. Tātad zinātnieks uzskatīja, ka gāzes sastāv no daļiņām, kas nejauši pārvietojas visos virzienos. Daudzas sadursmesdaļiņas ar trauku sieniņām tiek uztvertas kā spiediena klātbūtne gāzēs. Daļiņu ātrums ir cieši saistīts ar sistēmas temperatūru. Zinātniskā sabiedrība nepieņēma Bernulli drosmīgās idejas, jo enerģijas nezūdamības likums vēl nebija noteikts.
Pēc tam daudzi zinātnieki nodarbojās ar gāzu kinētiskā modeļa izveidi. Starp tiem jāatzīmē Rūdolfs Klausiuss, kurš 1857. gadā izveidoja vienkāršu gāzes modeli. Tajā zinātnieks īpašu uzmanību pievērsa translācijas, rotācijas un vibrācijas brīvības pakāpju klātbūtnei molekulās.
1859. gadā, pētot Klausiusa darbu, Džeimss Maksvels formulēja tā saukto Maksvela sadalījumu pa molekulārajiem ātrumiem. Faktiski Maksvels apstiprināja MKT idejas, atbalstot tās ar matemātisko aparātu. Pēc tam Ludvigs Bolcmans (1871) vispārināja Maksvela sadalījuma secinājumus. Viņš postulēja vispārīgāku molekulu statistisko sadalījumu pa ātrumiem un enerģijām. Pašlaik tas ir zināms kā Maxwell-Boltzmann sadalījums.
Ideāla gāze. ILC pamatpostulāti
Lai saprastu, kas ir Maxwell sadales funkcija, jums ir skaidri jāsaprot sistēmas, kurām šī funkcija ir piemērojama. Mēs runājam par ideālu gāzi. Fizikā šis jēdziens tiek saprasts kā šķidra viela, kas sastāv no praktiski bezizmēra daļiņām, kurām nav potenciālās enerģijas. Šīs daļiņas pārvietojas lielā ātrumā, tāpēc to uzvedību pilnībā nosaka kinētiskā enerģija. Turklāt attālumi starp daļiņām ir pārāk lielisalīdzinot ar to izmēriem, tāpēc pēdējie tiek atstāti novārtā.
Ideālas gāzes ir aprakstītas MKT. Tās galvenie postulāti ir šādi:
- gāzes sistēmas sastāv no milzīga skaita brīvu daļiņu;
- daļiņas nejauši pārvietojas dažādos ātrumos dažādos virzienos pa taisnām trajektorijām;
- daļiņas elastīgi saduras ar asinsvadu sieniņām (daļiņu savstarpējās sadursmes iespējamība ir maza to mazā izmēra dēļ);
- Sistēmas temperatūru unikāli nosaka daļiņu vidējā kinētiskā enerģija, kas saglabājas laikā, ja sistēmā tiek izveidots termodinamiskais līdzsvars.
Maksvela izplatīšanas likums
Ja cilvēkam būtu instruments, ar kuru būtu iespējams izmērīt vienas gāzes molekulas ātrumu, tad pēc atbilstoša eksperimenta veikšanas viņš būtu pārsteigts. Eksperiments parādītu, ka jebkuras gāzveida sistēmas katra molekula pārvietojas ar pilnīgi patvaļīgu ātrumu. Tādā gadījumā vienas sistēmas ietvaros termiskā līdzsvarā ar vidi tiktu atklātas gan ļoti lēnas, gan ļoti ātras molekulas.
Maksvela gāzes molekulu ātruma sadalījuma likums ir rīks, kas ļauj noteikt daļiņu ar noteiktu ātrumu v noteikšanas varbūtību pētāmajā sistēmā. Atbilstošā funkcija izskatās šādi:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Šajā izteiksmē m -daļiņas (molekulas) masa, k - Bolcmaņa konstante, T - absolūtā temperatūra. Tādējādi, ja ir zināma daļiņu ķīmiskā būtība (m vērtība), tad funkciju f(v) unikāli nosaka absolūtā temperatūra. Funkciju f(v) sauc par varbūtības blīvumu. Ja no tā ņemam integrāli kādam ātruma ierobežojumam (v; v+dv), tad iegūstam daļiņu skaitu Ni, kurām ir ātrumi norādītajā intervālā. Attiecīgi, ja ņemam varbūtības blīvuma f(v) integrāli ātruma robežām no 0 līdz ∞, tad iegūstam kopējo molekulu skaitu N sistēmā.
Varbūtības blīvuma f(v) grafisks attēlojums
Varbūtības blīvuma funkcijai ir nedaudz sarežģīta matemātiska forma, tāpēc nav viegli attēlot tās uzvedību noteiktā temperatūrā. Šo problēmu var atrisināt, attēlojot to divdimensiju diagrammā. Maksvela sadalījuma diagrammas shematisks skats ir parādīts zemāk attēlā.
Mēs redzam, ka tas sākas no nulles, jo molekulu ātrumam v nevar būt negatīvas vērtības. Grafiks beidzas kaut kur liela ātruma apgabalā, vienmērīgi nokrītot līdz nullei (f(∞)->0). Pārsteidzoša ir arī šāda iezīme: gludā līkne ir asimetriska, tā samazinās straujāk maziem ātrumiem.
Svarīga varbūtības blīvuma funkcijas f(v) darbības iezīme ir viena izteikta maksimuma klātbūtne uz tās. Saskaņā ar funkcijas fizisko nozīmi šis maksimums atbilst visticamākajai molekulu ātrumu vērtībai gāzēsistēma.
Svarīgi ātrumi funkcijai f(v)
Varbūtības blīvuma funkcija f(v) un tās grafiskais attēlojums ļauj definēt trīs svarīgus ātruma veidus.
Pirmais ātruma veids, kas ir acīmredzams un kas tika minēts iepriekš, ir visticamākais ātrums v1. Grafikā tā vērtība atbilst funkcijas f(v) maksimumam. Tieši šajā ātrumā un tam tuvajās vērtībās būs lielākā daļa sistēmas daļiņu. Aprēķināt to nav grūti, tam pietiek ņemt pirmo atvasinājumu attiecībā pret funkcijas f(v) ātrumu un pielīdzināt to nullei. Šo matemātisko darbību rezultātā mēs iegūstam gala rezultātu:
v1=√(2RT/M).
Šeit R ir universālā gāzes konstante, M ir molekulu molārā masa.
Otrs ātruma veids ir tā vidējā vērtība visām N daļiņām. Apzīmēsim to ar v2. To var aprēķināt, integrējot funkciju vf(v) visos ātrumos. Atzīmētās integrācijas rezultāts būs šāda formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Tā kā attiecība ir 8/pi>2, vidējais ātrums vienmēr ir nedaudz lielāks par visticamāko.
Katrs cilvēks, kurš nedaudz pārzina fiziku, saprot, ka molekulu vidējam ātrumam v2 ir jābūt ļoti svarīgam gāzes sistēmā. Tomēr tas ir kļūdains pieņēmums. Daudz svarīgāks ir RMS ātrums. Apzīmēsim tov3.
Saskaņā ar definīciju vidējais kvadrātiskais ātrums ir visu daļiņu atsevišķo ātrumu kvadrātu summa, dalīta ar šo daļiņu skaitu un ņemta par kvadrātsakni. To var aprēķināt Maksvela sadalījumam, ja definējam integrāli visos funkcijas v2f(v) ātrumos. Vidējā kvadrātiskā ātruma formula būs šāda:
v3=√(3RT/M).
Vienlīdzība parāda, ka šis ātrums ir lielāks par v2 un v1 jebkurai gāzes sistēmai.
Tādējādi visi aplūkotie ātruma veidi Maksvela sadalījuma grafikā atrodas vai nu galējā daļā, vai pa labi no tā.
3. versijas nozīme
Iepriekš tika atzīmēts, ka vidējais kvadrātiskais ātrums ir svarīgāks, lai izprastu gāzes sistēmas fizikālos procesus un īpašības, nekā vienkāršs vidējais ātrums v2. Tā ir taisnība, jo ideālas gāzes kinētiskā enerģija ir tieši atkarīga no v3, nevis no v2.
Ja mēs uzskatām monatomisku ideālu gāzi, tad uz to attiecas šāda izteiksme:
mv32/2=3/2kT.
Šeit katra vienādojuma daļa attēlo vienas daļiņas ar masu m kinētisko enerģiju. Kāpēc izteiksme satur tieši vērtību v3, nevis vidējo ātrumu v2? Ļoti vienkārši: nosakot katras daļiņas kinētisko enerģiju, tās individuālais ātrums v ir kvadrāts, tad visi ātrumitiek pievienoti un dalīti ar daļiņu skaitu N. Tas ir, pati kinētiskās enerģijas noteikšanas procedūra noved pie vidējā kvadrātā ātruma vērtības.
Funkcijas f(v) atkarība no temperatūras
Iepriekš mēs esam noskaidrojuši, ka molekulāro ātrumu varbūtības blīvums ir unikāli atkarīgs no temperatūras. Kā funkcija mainīsies, ja T tiek palielināts vai samazināts? Tālāk redzamā diagramma palīdzēs atbildēt uz šo jautājumu.
Var redzēt, ka slēgtās sistēmas apsildīšana noved pie pīķa smērēšanās un tās pārbīdes uz lielākiem ātrumiem. Temperatūras paaugstināšanās noved pie visu veidu ātruma palielināšanās un katra no tiem varbūtības blīvuma samazināšanās. Maksimālā vērtība samazinās, jo slēgtā sistēmā saglabājas daļiņu N skaits.
Tālāk atrisināsim pāris uzdevumu, lai apkopotu saņemto teorētisko materiālu.
Problēma ar slāpekļa molekulām gaisā
Ir jāaprēķina ātrumi v1, v2 un v3 gaisa slāpeklim 300 K temperatūrā (apmēram 27 oC).
Slāpekļa molārā masa N2 ir 28 g/mol. Izmantojot iepriekš minētās formulas, mēs iegūstam:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Skābekļa tvertnes problēma
Skābeklis cilindrā bija noteiktā temperatūrā T1. Pēc tam balons tika novietots aukstākā telpā. Kā mainīsies Maksvela ātruma sadalījuma diagramma skābekļa molekulām, kad sistēma nonāks termodinamiskā līdzsvara stāvoklī?
Atceroties teoriju, uz problēmas jautājumu varam atbildēt šādi: samazināsies visu veidu molekulu ātrumu vērtības, funkcijas f(v) maksimums nobīdīsies pa kreisi, kļūt šaurāks un augstāks.
