Līnija un plakne ir divi vissvarīgākie ģeometriskie elementi, kurus var izmantot dažādu formu konstruēšanai 2D un 3D telpā. Apsveriet, kā atrast attālumu starp paralēlām līnijām un paralēlām plaknēm.
Matemātikas uzdevuma taisne
No skolas ģeometrijas kursa ir zināms, ka divdimensiju taisnstūra koordinātu sistēmā līniju var norādīt šādā formā:
y=kx + b.
Kur k un b ir skaitļi (parametri). Rakstiskā forma taisnes attēlošanai plaknē ir plakne, kas ir paralēla z-asij trīsdimensiju telpā. Ņemot to vērā, šajā rakstā taisnes matemātiskajai piešķiršanai izmantosim ērtāku un universālāku formu - vektoru.
Pieņemsim, ka mūsu taisne ir paralēla kādam vektoram u¯(a, b, c) un iet caur punktu P(x0, y0, z0). Šajā gadījumā vektora formā tā vienādojums tiks attēlots šādi:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Šeit λ ir jebkurš skaitlis. Ja mēs skaidri attēlosim koordinātas, paplašinot rakstīto izteiksmi, tad iegūsim parametru taisnes rakstīšanas formu.
Ar vektoru vienādojumu ir ērti strādāt, risinot dažādas problēmas, kurās nepieciešams noteikt attālumu starp paralēlām taisnēm.
Līnijas un attālums starp tām
Ir jēga runāt par attālumu starp līnijām tikai tad, ja tās ir paralēlas (telpiskā gadījumā starp šķībām līnijām ir arī nulles attālums). Ja līnijas krustojas, ir skaidrs, ka tās atrodas nulles attālumā viena no otras.
Attālums starp paralēlām līnijām ir tās perpendikulāra garums, kas tās savieno. Lai noteiktu šo rādītāju, pietiek izvēlēties patvaļīgu punktu vienā no taisnēm un nomest no tā perpendikulu uz otru.
Īsi aprakstīsim vēlamā attāluma atrašanas procedūru. Pieņemsim, ka mēs zinām divu līniju vektoru vienādojumus, kas ir parādīti šādā vispārīgā formā:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Uz šīm taisnēm izveidojiet paralelogramu tā, lai viena no malām būtu PQ, bet otra, piemēram, u. Acīmredzot šī skaitļa augstums, kas novilkts no punkta P, ir vajadzīgā perpendikula garums. Lai to atrastu, varat izmantot šādu vienkāršuformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Tā kā attālums starp taisnēm ir perpendikulāra segmenta garums starp tām, tad saskaņā ar rakstīto izteiksmi pietiek atrast PQ¯ un u¯ vektorreizinājuma moduli un iegūto rezultātu dalīt ar vektora garums u¯.
Uzdevuma piemērs, lai noteiktu attālumu starp taisnēm
Divas taisnes ir dotas ar šādiem vektoru vienādojumiem:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Pēc rakstītajiem izteicieniem ir skaidrs, ka mums ir divas paralēlas līnijas. Patiešām, ja mēs reizinām ar -1 pirmās rindas virziena vektora koordinātas, mēs iegūstam otrās līnijas virziena vektora koordinātas, kas norāda uz to paralēlismu.
Attālums starp taisnēm tiks aprēķināts, izmantojot formulu, kas rakstīta raksta iepriekšējā punktā. Mums ir:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Tad mēs iegūstam:
|u¯|=√14 cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Ņemiet vērā, ka punktu P un Q vietā problēmas risināšanai var izmantot pilnīgi jebkurus punktus, kas pieder šīm līnijām. Šajā gadījumā mēs iegūtu tādu pašu attālumu d.
Plaknes iestatīšana ģeometrijā
Jautājums par attālumu starp līnijām tika detalizēti apspriests iepriekš. Tagad parādīsim, kā atrast attālumu starp paralēlām plaknēm.
Ikviens pārstāv to, kas ir lidmašīna. Saskaņā ar matemātisko definīciju norādītais ģeometriskais elements ir punktu kopums. Turklāt, ja jūs sastādat visus iespējamos vektorus, izmantojot šos punktus, tad tie visi būs perpendikulāri vienam vektoram. Pēdējo parasti sauc par plaknes normālu.
Lai precizētu plaknes vienādojumu trīsdimensiju telpā, visbiežāk tiek izmantota vienādojuma vispārējā forma. Tas izskatās šādi:
Ax + By + Cz + D=0.
Ja lielie latīņu burti ir daži cipari. Ir ērti izmantot šāda veida plaknes vienādojumu, jo tajā ir skaidri norādītas normālā vektora koordinātas. Tie ir A, B, C.
Ir viegli redzēt, ka divas plaknes ir paralēlas tikai tad, ja to normālie ir paralēli.
Kā atrast attālumu starp divām paralēlām plaknēm?
Lai noteiktu norādīto attālumu, jums skaidri jāsaprot, kas ir uz spēles. Attālums starp plaknēm, kas ir paralēlas viena otrai, tiek saprasts kā tām perpendikulāra segmenta garums. Šī segmenta gali pieder plaknēm.
Šādu problēmu risināšanas algoritms ir vienkāršs. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod koordinātas absolūti jebkuram punktam, kas pieder vienai no divām plaknēm. Tad jums vajadzētu izmantot šo formulu:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Tā kā attālums ir pozitīva vērtība, moduļa zīme ir skaitītājā. Rakstītā formula ir universāla, jo tā ļauj aprēķināt attālumu no plaknes līdz absolūti jebkuram ģeometriskam elementam. Pietiek zināt šī elementa viena punkta koordinātas.
Pilnības labad mēs atzīmējam, ka, ja divu plakņu normālie nav paralēli viens otram, tad šādas plaknes krustosies. Attālums starp tiem būs nulle.
Attāluma starp plaknēm noteikšanas problēma
Ir zināms, ka divas plaknes tiek dotas ar šādām izteiksmēm:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Ir jāpierāda, ka plaknes ir paralēlas, kā arī jānosaka attālums starp tām.
Lai atbildētu uz problēmas pirmo daļu, pirmais vienādojums ir jāveido vispārīgā formā. Ņemiet vērā, ka tas ir norādīts tā sauktajā vienādojuma formā segmentos. Reiziniet tās kreiso un labo daļu ar 15 un pārvietojiet visus vienumus vienā vienādojuma pusē, iegūstam:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Izrakstīsim divu plakņu normālu vektoru koordinātas:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Var redzēt, ja n2¯ reizina ar 5, tad precīzi iegūsim koordinātes n1¯. Tādējādi aplūkotās lidmašīnas irparalēli.
Lai aprēķinātu attālumu starp paralēlām plaknēm, izvēlieties patvaļīgu pirmās no tām punktu un izmantojiet iepriekš minēto formulu. Piemēram, ņemsim punktu (0, 0, 1), kas pieder pirmajai plaknei. Tad mēs iegūstam:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Vēlamais attālums ir 31 mm.
Attālums starp plakni un līniju
Sniegtās teorētiskās zināšanas ļauj atrisināt arī uzdevumu par attāluma noteikšanu starp taisni un plakni. Iepriekš jau minēts, ka formula, kas ir derīga aprēķiniem starp plaknēm, ir universāla. To var izmantot arī problēmas risināšanai. Lai to izdarītu, vienkārši atlasiet jebkuru punktu, kas pieder dotajai līnijai.
Galvenā problēma attāluma noteikšanā starp aplūkotajiem ģeometriskajiem elementiem ir to paralēlisma pierādīšana (ja nē, tad d=0). Paralēlismu ir viegli pierādīt, ja aprēķina taisnes normas skalāro reizinājumu un virziena vektoru. Ja aplūkojamie elementi ir paralēli, tad šis produkts būs vienāds ar nulli.
