Plaknes vienādojumi. Leņķis starp divām plaknēm

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Plakne kopā ar punktu un taisni ir ģeometrisks pamata elements. Izmantojot to, tiek veidotas daudzas telpiskās ģeometrijas figūras. Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim jautājumu par to, kā atrast leņķi starp divām plaknēm.

Koncepcija

Pirms runāt par leņķi starp divām plaknēm, jums vajadzētu labi saprast, par kādu ģeometrijas elementu mēs runājam. Sapratīsim terminoloģiju. Plakne ir bezgalīgs punktu kopums telpā, kurus savienojot mēs iegūstam vektorus. Pēdējais būs perpendikulārs kādam vektoram. To parasti sauc par plaknes normālu.

Iepriekš redzamajā attēlā ir parādīta plakne un divi normāli vektori uz to. Var redzēt, ka abi vektori atrodas uz vienas taisnes. Leņķis starp tiem ir 180o.

Vienādojumi

Leņķi starp divām plaknēm var noteikt, ja ir zināms aplūkotā ģeometriskā elementa matemātiskais vienādojums. Ir vairāki šādu vienādojumu veidi,kuru vārdi ir norādīti zemāk:

• vispārējais veids;
• vektors;
• segmentos.

Šie trīs veidi ir visērtākie dažāda veida problēmu risināšanai, tāpēc tos izmanto visbiežāk.

Vispārīga tipa vienādojums izskatās šādi:

Ax + By + Cz + D=0.

Šeit x, y, z ir dotajai plaknei piederoša patvaļīga punkta koordinātas. Parametri A, B, C un D ir skaitļi. Šī apzīmējuma ērtība slēpjas faktā, ka skaitļi A, B, C ir plaknei normāla vektora koordinātas.

Plaknes vektora formu var attēlot šādi:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Šeit (a₂, b₂, c₂) un (a ₁, b₁, c₁) - divu koordinātu vektoru parametri, kas pieder aplūkotajai plaknei. Punkts (x₀, y₀, z_{0) arī atrodas šajā plaknē. Parametri α un β var iegūt neatkarīgas un patvaļīgas vērtības.}

Visbeidzot, plaknes vienādojums segmentos tiek attēlots šādā matemātiskā formā:

x/p + y/q + z/l=1.

Šeit p, q, l ir konkrēti skaitļi (ieskaitot negatīvos). Šāda veida vienādojums ir noderīgs, ja ir nepieciešams attēlot plakni taisnstūra koordinātu sistēmā, jo skaitļi p, q, l parāda krustošanās punktus ar x, y un z asīm.lidmašīna.

Ņemiet vērā, ka katru vienādojumu veidu var pārvērst par jebkuru citu, izmantojot vienkāršas matemātiskas darbības.

Formula leņķim starp divām plaknēm

Tagad apsveriet šādu niansi. Trīsdimensiju telpā divas plaknes var atrasties tikai divos veidos. Vai nu krustojas, vai ir paralēli. Starp divām plaknēm leņķis ir tas, kas atrodas starp to virzošajiem vektoriem (normāls). Krustojoties, 2 vektori veido 2 leņķus (vispārējā gadījumā akūti un strupi). Leņķis starp plaknēm tiek uzskatīts par akūtu. Apsveriet vienādojumu.

Leņķa formula starp divām plaknēm ir:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Ir viegli uzminēt, ka šī izteiksme ir tiešas normālo vektoru n₁¯ un n₂ skalārās reizinājuma sekas. ¯ aplūkotajām lidmašīnām. Punktu reizinājuma modulis skaitītājā norāda, ka leņķim θ būs tikai vērtības no 0^o līdz 90^{o. Normālo vektoru moduļu reizinājums saucējā nozīmē to garumu reizinājumu.}

Ņemiet vērā, ja (n₁¯n_{2¯)=0, tad plaknes krustojas taisnā leņķī.}

Problēmas piemērs

Noskaidrojuši, ko sauc par leņķi starp divām plaknēm, mēs atrisināsim šādu problēmu. Kā piemērs. Tātad, ir jāaprēķina leņķis starp šādām plaknēm:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Lai atrisinātu problēmu, ir jāzina plakņu virziena vektori. Pirmajai plaknei normālais vektors ir: n₁¯=(2, -3, 0). Lai atrastu otro plaknes normālvektoru, jāreizina vektori pēc parametriem α un β. Rezultāts ir vektors: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Lai noteiktu leņķi θ, mēs izmantojam formulu no iepriekšējās rindkopas. Mēs iegūstam:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Aprēķinātais leņķis radiānos atbilst 31,26^o. Tādējādi plaknes no uzdevuma stāvokļa krustojas leņķī 31, 26^o.