Kvadrātvienādojumi bieži parādās vairākās matemātikas un fizikas problēmās, tāpēc katram skolēnam jāspēj tos atrisināt. Šajā rakstā ir aprakstītas galvenās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, kā arī sniegti to izmantošanas piemēri.
Kādu vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu
Vispirms atbildēsim uz šīs rindkopas jautājumu, lai labāk saprastu, par ko būs raksts. Tātad kvadrātvienādojumam ir šāda vispārīgā forma: c + bx+ax2=0, kur a, b, c ir daži skaitļi, kurus sauc par koeficientiem. Šeit a≠0 ir obligāts nosacījums, pretējā gadījumā norādītais vienādojums deģenerējas lineārā. Atlikušajiem koeficientiem (b, c) var būt pilnīgi jebkuras vērtības, ieskaitot nulli. Tādējādi tādas izteiksmes kā ax2=0, kur b=0 un c=0, vai c+ax2=0, kur b=0 vai bx+ax2=0, kur c=0 ir arī kvadrātvienādojumi, kurus sauc par nepilnīgiem, jo tajos lineārais koeficients b ir nulle vai nulleir brīvs termins c, vai arī tie abi pazūd.
Vienādojums, kurā a=1 tiek saukts par reducētu, tas ir, tam ir šāda forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Kvadrātvienādojuma risinājums ir atrast tādas x vērtības, kas apmierina tā vienādību. Šīs vērtības sauc par saknēm. Tā kā aplūkojamais vienādojums ir otrās pakāpes izteiksme, tas nozīmē, ka tā sakņu maksimālais skaits nedrīkst pārsniegt divas.
Kādas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes pastāv
Kopumā ir 4 risinājuma metodes. Viņu vārdi ir norādīti zemāk:
- Faktorings.
- Papildinājums laukumam.
- Izmantojot zināmu formulu (izmantojot diskriminantu).
- Risinājuma metode ir ģeometriska.
Kā redzams no iepriekšējā saraksta, pirmās trīs metodes ir algebriskas, tāpēc tās tiek izmantotas biežāk nekā pēdējā, kas ietver funkcijas attēlošanu.
Ir vēl viens veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot Vieta teorēmu. To varētu iekļaut 5. vietā augstāk esošajā sarakstā, tomēr tas netiek darīts, jo Vietas teorēma ir vienkāršas 3. metodes sekas.
Vēlāk rakstā sīkāk aplūkosim nosauktās risināšanas metodes, kā arī sniegsim piemērus to izmantošanai konkrētu vienādojumu sakņu atrašanai.
1. metode. Faktorings
Šai metodei kvadrātvienādojumu matemātikā ir skaistanosaukums: faktorizēšana. Šīs metodes būtība ir šāda: kvadrātvienādojumu nepieciešams uzrādīt kā divu terminu (izteikumu) reizinājumu, kuriem jābūt vienādam ar nulli. Pēc šāda attēlojuma jūs varat izmantot produkta rekvizītu, kas būs vienāds ar nulli tikai tad, ja viens vai vairāki (visi) no tā locekļiem ir nulle.
Tagad apsveriet konkrētu darbību secību, kas jāveic, lai atrastu vienādojuma saknes:
- Pārvietojiet visus dalībniekus uz vienu izteiksmes daļu (piemēram, pa kreisi), lai tās otrajā daļā (pa labi) paliktu tikai 0.
- Attēlo vienādojuma daļas terminu summu kā divu lineāru vienādojumu reizinājumu.
- Iestatiet katru no lineārajām izteiksmēm uz nulli un atrisiniet tās.
Kā redzams, faktorizācijas algoritms ir diezgan vienkāršs, tomēr lielākajai daļai skolēnu 2.punkta realizācijas gaitā ir grūtības, tāpēc paskaidrosim sīkāk.
Lai uzminētu, kuras 2 lineārās izteiksmes, reizinot viena ar otru, iegūs vēlamo kvadrātvienādojumu, ir jāatceras divi vienkārši noteikumi:
- Divu lineāro izteiksmju lineārajiem koeficientiem, reizinot viens ar otru, vajadzētu iegūt kvadrātvienādojuma pirmo koeficientu, tas ir, skaitli a.
- Lineāro izteiksmju brīvajiem terminiem, ja tie tiek reizināti, vajadzētu iegūt vajadzīgā vienādojuma skaitli c.
Kad ir atlasīti visi faktoru skaitļi, tie ir jāreizina un, ja tie dod vēlamo vienādojumu, pārejiet uz 3. darbībuiepriekš norādīto algoritmu, pretējā gadījumā jums vajadzētu mainīt reizinātājus, taču tas jādara, lai vienmēr tiktu ievēroti iepriekš minētie noteikumi.
Risinājuma piemērs ar faktorizācijas metodi
Skaidri parādīsim, kā kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms ir sastādīt un atrast nezināmas saknes. Dota patvaļīga izteiksme, piemēram, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Pāriesim pie tā risinājuma, ievērojot punktu secību no 1 līdz 3, kas ir izklāstīti raksta iepriekšējā rindkopā.
1. vienums. Pārvietojiet visus terminus uz kreiso pusi un sakārtojiet tos kvadrātvienādojuma klasiskajā secībā. Mums ir šāda vienādība: 2x+(-8)+x2=0.
2. vienums. Mēs to sadalām lineāro vienādojumu reizinājumā. Tā kā a=1 un c=-8, tad izvēlēsimies, piemēram, šādu preci (x-2)(x+4). Tas atbilst iepriekš minētajā punktā izklāstītajiem paredzamo faktoru atrašanas noteikumiem. Ja atveram iekavas, iegūstam: -8+2x+x2, tas ir, iegūstam tieši tādu pašu izteiksmi kā vienādojuma kreisajā pusē. Tas nozīmē, ka mēs pareizi uzminējām reizinātājus un varam pāriet uz algoritma 3. darbību.
3. punkts. Pielīdziniet katru koeficientu nullei, iegūstam: x=-4 un x=2.
Ja rodas šaubas par rezultātu, ieteicams pārbaudīt, aizstājot atrastās saknes sākotnējā vienādojumā. Šajā gadījumā mums ir: 22+22-8=0 un 2(-4)+(-4)2 -8=0. Pareizi atrastas saknes.
Tādējādi, izmantojot faktorizācijas metodi, mēs noskaidrojām, ka dotajam vienādojumam ir divas dažādas saknesir: 2 un -4.
2. metode. Papildināt pilnu kvadrātu
Kvadrātvienādojumu algebrā reizinātāja metodi ne vienmēr var izmantot, jo kvadrātvienādojuma koeficientu daļvērtību gadījumā rodas grūtības algoritma 2. punkta ieviešanā.
Pilna kvadrāta metode savukārt ir universāla un to var pielietot jebkura veida kvadrātvienādojumiem. Tās būtība ir veikt šādas darbības:
- Vienādojuma nosacījumi, kas satur koeficientus a un b, ir jāpārnes uz vienu vienādojuma daļu, bet brīvais termins c uz otru.
- Tālāk vienādības daļas (labā un kreisā) jādala ar koeficientu a, tas ir, vienādojumu uzrāda reducētā formā (a=1).
- Summējiet terminus ar koeficientiem a un b, lai attēlotu kā lineāra vienādojuma kvadrātu. Tā kā a \u003d 1, tad lineārais koeficients būs vienāds ar 1, tāpat kā lineārā vienādojuma brīvajam termiņam, tad tam jābūt vienādam ar pusi no reducētā kvadrātvienādojuma lineārā koeficienta. Pēc lineārās izteiksmes kvadrāta sastādīšanas jāpievieno atbilstošs skaitlis vienādības labajā pusē, kur atrodas brīvais termins, ko iegūst, paplašinot kvadrātu.
- Ņemiet kvadrātsakni ar "+" un "-" zīmēm un atrisiniet jau iegūto lineāro vienādojumu.
Aprakstītais algoritms no pirmā acu uzmetiena var šķist diezgan sarežģīts, tomēr praksē tas ir vieglāk realizējams nekā faktorizācijas metode.
Risinājuma piemērs, izmantojot pilnu kvadrātveida papildinājumu
Sniegsim kvadrātvienādojuma piemēru, lai apmācītu tā atrisinājumu ar iepriekšējā punktā aprakstīto metodi. Dots kvadrātvienādojums -10 - 6x+5x2=0. Sāksim to risināt pēc iepriekš aprakstītā algoritma.
1. punkts. Atrisinot kvadrātvienādojumus, izmantojam pārsūtīšanas metodi, iegūstam: - 6x+5x2=10.
Punkts 2. Šī vienādojuma reducēto formu iegūst, dalot ar katra tā dalībnieka skaitli 5 (ja abas daļas dala vai reizina ar vienādu skaitli, tad vienādība tiks saglabāta). Pārveidojumu rezultātā iegūstam: x2 - 6/5x=2.
3. punkts. Puse no koeficienta - 6/5 ir -6/10=-3/5, izmantojiet šo skaitli, lai pabeigtu kvadrātu, mēs iegūstam: (-3/5+x) 2 . Mēs to paplašinām, un iegūtais brīvais termins ir jāatņem no vienādības kreisās puses, lai apmierinātu kvadrātvienādojuma sākotnējo formu, kas ir līdzvērtīga tā pievienošanai labajā pusē. Rezultātā mēs iegūstam: (-3/5+x)2=59/25.
4. punkts. Aprēķiniet kvadrātsakni ar pozitīvām un negatīvām zīmēm un atrodiet saknes: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Abām atrastajām saknēm ir šādas vērtības: x1=(√59+3)/5 un x1=(3-√59)/5.
Tā kā veiktie aprēķini ir saistīti ar saknēm, pastāv liela iespēja kļūdīties. Tāpēc ieteicams pārbaudīt sakņu x2 un x1 pareizību. Mēs saņemam par x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Aizstāt tūlītx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Tādējādi mēs parādījām, ka atrastās vienādojuma saknes ir patiesas.
3. metode. Labi zināmās formulas pielietojums
Šī kvadrātvienādojumu risināšanas metode, iespējams, ir visvienkāršākā, jo tā sastāv no koeficientu aizstāšanas ar zināmu formulu. Lai to izmantotu, nav jādomā par risinājuma algoritmu sastādīšanu, pietiek atcerēties tikai vienu formulu. Tas ir parādīts augstāk esošajā attēlā.
Šajā formulā radikālo izteiksmi (b2-4ac) sauc par diskriminantu (D). No tā vērtības ir atkarīga no tā, kādas saknes tiek iegūtas. Ir 3 gadījumi:
- D>0, tad saknes divām vienādojumam ir reālie un atšķirīgie vienādojumi.
- D=0, tad iegūst sakni, ko var aprēķināt no izteiksmes x=-b/(a2).
- D<0, tad jūs iegūstat divas dažādas iedomātas saknes, kas tiek attēlotas kā kompleksie skaitļi. Piemēram, skaitlis 3-5i ir komplekss, savukārt iedomātā vienība i atbilst īpašībai: i2=-1.
Risinājuma piemērs, aprēķinot diskriminantu
Dosim piemēru kvadrātvienādojumam, ko izmantot, izmantojot iepriekš minēto formulu. Atrodiet saknes -3x2-6+3x+4x=0. Vispirms aprēķiniet diskriminanta vērtību, iegūstam: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Tā kā ir iegūts D<0, tas nozīmē, ka aplūkotā vienādojuma saknes ir kompleksie skaitļi. Atradīsim tos, aizstājot atrasto vērtību D formulā, kas dota iepriekšējā rindkopā (tā parādīta arī augstāk esošajā fotoattēlā). Mēs iegūstam: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
4. metode. Funkciju diagrammas izmantošana
To sauc arī par grafisko metodi kvadrātvienādojumu risināšanai. Jāteic, ka parasti to izmanto nevis kvantitatīvi, bet gan kvalitatīvai aplūkojamā vienādojuma analīzei.
Metodes būtība ir uzzīmēt kvadrātveida funkciju y=f(x), kas ir parabola. Pēc tam ir jānosaka, kuros punktos parabola krustojas ar x asi (X), tie būs atbilstošā vienādojuma saknes.
Lai noteiktu, vai parabola krustosies ar X asi, pietiek zināt tās minimuma (maksimuma) pozīciju un tās atzaru virzienu (tie var vai nu palielināties, vai samazināties). Ir jāatceras divas šīs līknes īpašības:
- Ja a>0 - zara parabolas ir vērstas uz augšu, tieši otrādi, ja a<0, tad iet uz leju.
- Minimālā (maksimālā) parabolas koordināte vienmēr ir x=-b/(2a).
Piemēram, jums ir jānosaka, vai vienādojumam -4x+5x2+10=0 ir saknes. Atbilstošā parabola tiks vērsta uz augšu, jo=5>0. Tās galējībām ir koordinātas: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Kopš līknes minimums atrodas virs x ass (y=9, 2), tad tā nekrustojas ar pēdējox vērtības. Tas nozīmē, ka dotajam vienādojumam nav reālu sakņu.
Vietas teorēma
Kā minēts iepriekš, šī teorēma ir sekas 3. metodei, kuras pamatā ir formulas ar diskriminantu pielietojums. Vietas teorēmas būtība ir tāda, ka tā ļauj savienot vienādojuma koeficientus un tā saknes vienādībā. Iegūsim atbilstošās vienādības.
Izmantosim formulu sakņu aprēķināšanai, izmantojot diskriminantu. Pievienojiet divas saknes, iegūstam: x1+x2=-b/a. Tagad sareizināsim saknes vienu ar otru: x1x2, pēc virknes vienkāršojumu iegūstam skaitli c/a.
Tādējādi, lai atrisinātu kvadrātvienādojumus pēc Vietas teorēmas, var izmantot iegūtās divas vienādības. Ja ir zināmi visi trīs vienādojuma koeficienti, tad saknes var atrast, atrisinot atbilstošo šo divu vienādojumu sistēmu.
Vjetas teorēmas izmantošanas piemērs
Jums ir jāuzraksta kvadrātvienādojums, ja zināt, ka tam ir forma x2+c=-bx un tā saknes ir 3 un -4.
Tā kā aplūkotajā vienādojumā a=1, Vieta formulas izskatīsies šādi: x2+x1=-b un x2x1=lpp. Aizstājot zināmās sakņu vērtības, mēs iegūstam: b=1 un c=-12. Rezultātā atjaunotais reducētais kvadrātvienādojums izskatīsies šādi: x2-12=-1x. Varat tajā aizstāt sakņu vērtību un pārliecināties, ka vienādība ir spēkā.
Vietas teorēmas apgrieztā pielietošana, tas ir, sakņu aprēķins arzināma vienādojuma forma, ļauj maziem veseliem skaitļiem a, b un c ātri (intuitīvi) atrast risinājumus.
