Algebriskās nevienādības vai to sistēmas ar racionāliem koeficientiem, kuru atrisinājumi tiek meklēti integrāļos vai veselos skaitļos. Kā likums, nezināmo skaits Diofantīna vienādojumos ir lielāks. Tādējādi tās sauc arī par nenoteiktu nevienlīdzību. Mūsdienu matemātikā iepriekšminētā koncepcija tiek piemērota algebriskajiem vienādojumiem, kuru atrisinājumi tiek meklēti Q-racionālo mainīgo lauka, p-adic mainīgo lauku u.c. paplašinājuma algebriskajos veselos skaitļos.
Šīs nevienlīdzības izcelsme
Diofantīna vienādojumu izpēte atrodas uz robežas starp skaitļu teoriju un algebrisko ģeometriju. Risinājumu atrašana veselu skaitļu mainīgajos ir viena no vecākajām matemātiskajām problēmām. Jau otrās tūkstošgades sākumā pirms mūsu ēras. senajiem babiloniešiem izdevās atrisināt vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem. Šī matemātikas nozare visvairāk uzplauka Senajā Grieķijā. Diofanta (apmēram mūsu ēras 3. gadsimtā) aritmētika ir nozīmīgs un galvenais avots, kas satur dažādu veidu un vienādojumu sistēmas.
Šajā grāmatā Diofants paredzēja vairākas metodes otrās un trešās nevienlīdzības pētīšanai.grādi, kas pilnībā tika izstrādāti 19. gadsimtā. Šī senās Grieķijas pētnieka radītā racionālo skaitļu teorija noveda pie nenoteiktu sistēmu loģisko risinājumu analīzes, kas sistemātiski tiek ievēroti viņa grāmatā. Lai gan viņa darbs satur konkrētu Diofantīna vienādojumu risinājumus, ir pamats uzskatīt, ka viņš bija pazīstams arī ar vairākām vispārīgām metodēm.
Šo nevienlīdzību izpēte parasti ir saistīta ar nopietnām grūtībām. Sakarā ar to, ka tajos ir polinomi ar veselu skaitļu koeficientiem F (x, y1, …, y). Pamatojoties uz to, tika izdarīti secinājumi, ka nav viena algoritma, ko varētu izmantot, lai noteiktu, vai vienādojums F (x, y1, …., y ). Situācija ir atrisināma attiecībā uz y1, …, y . Šādu polinomu piemērus var uzrakstīt.
Vienkāršākā nevienlīdzība
ax + by=1, kur a un b ir relatīvi veseli skaitļi un pirmskaitļi, tam ir liels izpildes skaits (ja x0, y0 tiek izveidots rezultāts, tad mainīgo pāris x=x0 + b un y=y0 -an, kur n ir patvaļīgs, arī tiks uzskatīts par nevienlīdzību). Vēl viens Diofantīna vienādojumu piemērs ir x2 + y2 =z2. Šīs nevienādības pozitīvie integrāļie risinājumi ir mazo malu x, y un taisnleņķa trijstūra garumi, kā arī hipotenūza z ar veseliem malu izmēriem. Šie skaitļi ir pazīstami kā Pitagora skaitļi. Norādīti visi trīskārši attiecībā pret primāro vērtībuiepriekš minētie mainīgie ir doti ar x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, kur m un n ir veseli skaitļi un pirmskaitļi (m>n>0).
Diofants savā aritmētikā meklē racionālus (ne vienmēr integrālus) risinājumus īpašām viņa nevienādībām. Vispārēju teoriju pirmās pakāpes diofantīna vienādojumu risināšanai 17. gadsimtā izstrādāja C. G. Baschet. Citi zinātnieki 19. gadsimta sākumā galvenokārt pētīja līdzīgas nevienlīdzības, piemēram, ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kur a, b, c, d, e un f ir vispārīgi, neviendabīgi ar diviem otrās pakāpes nezināmajiem. Lagranžs savā pētījumā izmantoja turpinātas frakcijas. Gauss kvadrātveida formām izstrādāja vispārīgu teoriju, kas ir dažu veidu risinājumu pamatā.
Šo otrās pakāpes nevienlīdzību izpētē būtisks progress tika panākts tikai 20. gs. A. Thue atklāja, ka Diofantīna vienādojums a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kur n≧3, a0, …, a , c ir veseli skaitļi un a0tn + …+ a nevar būt bezgalīgs veselu skaitļu atrisinājumu skaits. Tomēr Thu metode nebija pienācīgi izstrādāta. A. Beikers izveidoja efektīvas teorēmas, kas sniedz aplēses par dažu šāda veida vienādojumu veiktspēju. BN Delaunay ierosināja citu izmeklēšanas metodi, kas piemērojama šaurākai šo nevienlīdzību klasei. Jo īpaši šādā veidā ir pilnībā atrisināma forma ax3 + y3 =1.
Diofantīna vienādojumi: risināšanas metodes
Diofanta teorijai ir daudz virzienu. Tādējādi labi zināma problēma šajā sistēmā ir hipotēze, ka nav netriviāla Diofantīna vienādojumu atrisinājuma xn + y =z n ja n ≧ 3 (Fermata jautājums). Nevienlīdzības veselu skaitļu piepildījumu izpēte ir Pitagora trīskāršu problēmas dabisks vispārinājums. Eilers ieguva pozitīvu Fermā problēmas risinājumu n=4. Pateicoties šim rezultātam, tas attiecas uz trūkstošā vesela skaitļa, vienādojuma pētījumiem, kas nav nulles, ja n ir nepāra pirmskaitlis.
Pētījums par lēmumu nav pabeigts. Grūtības ar tā ieviešanu ir saistītas ar faktu, ka vienkārša faktorizācija algebrisko veselo skaitļu gredzenā nav unikāla. Dalītāju teorija šajā sistēmā daudzām primāro eksponentu klasēm n ļauj apstiprināt Fermā teorēmas derīgumu. Tādējādi lineārais Diofantīna vienādojums ar diviem nezināmajiem tiek izpildīts ar esošajām metodēm un veidiem.
Aprakstīto uzdevumu veidi un veidi
Algebrisko veselo skaitļu gredzenu aritmētika tiek izmantota arī daudzās citās Diofantīna vienādojumu problēmās un risinājumos. Piemēram, šādas metodes tika izmantotas, izpildot nevienādības formā N(a1 x1 +…+ a x)=m, kur N(a) ir a norma un x1, …, xn Ir atrasti integrālie racionālie mainīgie. Šajā klasē ietilpst Pell vienādojums x2–dy2=1.
Vērtības a1, …, a , šie vienādojumi ir sadalīti divos veidos. Pirmais veids - tā sauktās pilnās formas - ietver vienādojumus, kuros starp a ir m lineāri neatkarīgi skaitļi racionālo mainīgo Q laukā, kur m=[Q(a1, …, a):Q], kurā ir noteikta algebrisko eksponentu Q pakāpe (a1, …, a ) virs Q. Nepilnīgas sugas ir kura maksimālais skaits a i ir mazāks par m.
Pilnas veidlapas ir vienkāršākas, to izpēte ir pabeigta, un visus risinājumus var aprakstīt. Otrais veids, nepilnās sugas, ir sarežģītāks, un šādas teorijas izstrāde vēl nav pabeigta. Šādi vienādojumi tiek pētīti, izmantojot diofantīna tuvinājumus, kas ietver nevienādību F(x, y)=C, kur F (x, y) ir nereducējams, homogēns polinoms ar pakāpi n≧3. Tādējādi mēs varam pieņemt, ka yi→∞. Attiecīgi, ja yi ir pietiekami liela, tad nevienādība būs pretrunā Thue, Siegel un Roth teorēmai, no kuras izriet, ka F(x, y)=C, kur F ir trešās pakāpes vai augstākas formas forma, nereducējamajam nevar būt bezgalīgi daudz atrisinājumu.
Kā atrisināt diofantīna vienādojumu?
Šis piemērs ir diezgan šaura klase starp visiem. Piemēram, neskatoties uz to vienkāršību, x3 + y3 + z3=N un x2 +y 2 +z2 +u2 =N nav iekļauti šajā klasē. Risinājumu izpēte ir diezgan rūpīgi pētīta Diofantīna vienādojumu nozare, kuras pamatā ir attēlojums ar skaitļu kvadrātiskām formām. Lagranžsizveidoja teorēmu, kas saka, ka piepildījums pastāv visiem dabiskajiem N. Jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā trīs kvadrātu summu (Gausa teorēma), bet tam nevajadzētu būt formā 4a (8K-1), kur a un k ir nenegatīvi veseli eksponenti.
Racionālie vai integrālie risinājumi F tipa diofantīna vienādojuma sistēmai (x1, …, x)=a, kur F (x 1, …, x) ir kvadrātveida forma ar veseliem skaitļiem. Tādējādi, saskaņā ar Minkovska-Hasse teorēmu, nevienlīdzība ∑aijxixj=b ijun b ir racionāls, tam ir integrāls risinājums reālajos un p-adic skaitļos katram pirmskaitļam p tikai tad, ja tas ir atrisināms šajā struktūrā.
Pastāvīgo grūtību dēļ skaitļu izpēte ar patvaļīgām trešās pakāpes un augstāka līmeņa formām ir pētīta mazākā mērā. Galvenā izpildes metode ir trigonometrisko summu metode. Šajā gadījumā vienādojuma atrisinājumu skaits ir skaidri uzrakstīts Furjē integrāļa izteiksmē. Pēc tam ar vides metodi izsaka atbilstošo kongruenču nevienādības izpildes skaitu. Trigonometrisko summu metode ir atkarīga no nevienādību algebriskajām pazīmēm. Pastāv liels skaits elementāru metožu lineāro diofantīna vienādojumu risināšanai.
Diofantīna analīze
Matemātikas katedra, kuras priekšmets ir algebras vienādojumu sistēmu integrālo un racionālo risinājumu izpēte ar ģeometrijas metodēm, no š.g.sfēras. 19. gadsimta otrajā pusē šīs skaitļu teorijas parādīšanās izraisīja Diofantīna vienādojumu izpēti no patvaļīga lauka ar koeficientiem, un risinājumi tika apsvērti vai nu tajā, vai tā gredzenos. Paralēli skaitļiem attīstījās algebrisko funkciju sistēma. Pamata līdzība starp abiem, ko uzsvēra D. Hilberts un jo īpaši L. Kronekers, noveda pie dažādu aritmētisko jēdzienu vienotas konstrukcijas, ko parasti sauc par globāliem.
Tas ir īpaši pamanāms, ja pētāmās algebriskās funkcijas ierobežotā konstantu laukā ir viens mainīgais. Tādi jēdzieni kā klases lauka teorija, dalītājs un sazarošana un rezultāti labi ilustrē iepriekš minēto. Šis viedoklis Diofantijas nevienādību sistēmā tika pieņemts tikai vēlāk, un sistemātiska izpēte ne tikai ar skaitliskiem koeficientiem, bet arī ar koeficientiem, kas ir funkcijas, sākās tikai 50. gados. Viens no izšķirošajiem faktoriem šajā pieejā bija algebriskās ģeometrijas attīstība. Vienlaicīga skaitļu un funkciju jomu izpēte, kas rodas kā divi vienlīdz svarīgi viena priekšmeta aspekti, ne tikai deva elegantus un pārliecinošus rezultātus, bet arī noveda pie abu tēmu savstarpējas bagātināšanas.
Algebriskajā ģeometrijā daudzveidības jēdziens tiek aizstāts ar nemainīgu nevienādību kopu noteiktā laukā K, un to risinājumi tiek aizstāti ar racionāliem punktiem ar vērtībām K vai tā galīgajā paplašinājumā. Attiecīgi var teikt, ka diofantīnas ģeometrijas pamatproblēma ir racionālu punktu izpētealgebriskās kopas X(K), bet X ir noteikti skaitļi laukā K. Vesela skaitļa izpildei ir ģeometriska nozīme lineāros diofantīna vienādojumos.
Nevienlīdzības pētījumi un izpildes iespējas
Pētot racionālos (vai integrālos) punktus algebriskajās variācijās, rodas pirmā problēma, proti, to esamība. Hilberta desmitā problēma ir formulēta kā problēma, kā atrast vispārīgu metodi šīs problēmas risināšanai. Precīzas algoritma definīcijas izveides procesā un pēc tam, kad tika pierādīts, ka lielai daļai uzdevumu šādas izpildes nav, problēma ieguva acīmredzamu negatīvu rezultātu, un interesantākais jautājums ir Diofantīna vienādojumu klašu definīcija. kuriem pastāv iepriekš minētā sistēma. Visdabiskākā pieeja no algebriskā viedokļa ir tā sauktais Hase princips: sākotnējais lauks K tiek pētīts kopā ar tā pabeigšanu Kv visās iespējamās aplēsēs. Tā kā X(K)=X(Kv) ir nepieciešams pastāvēšanas nosacījums, un K punkts ņem vērā, ka kopa X(Kv) nav tukšs visiem v.
Svarīgums ir tajā, ka tas apvieno divas problēmas. Otrais ir daudz vienkāršāks, tas ir atrisināms ar zināmu algoritmu. Konkrētajā gadījumā, kad variants X ir projektīvs, Hansela lemma un tās vispārinājumi padara iespējamu turpmāku samazināšanu: problēmu var reducēt uz racionālu punktu izpēti ierobežotā laukā. Pēc tam viņš nolemj izveidot koncepciju, izmantojot konsekventu izpēti vai efektīvākas metodes.
Pēdējaissvarīgs apsvērums ir tas, ka kopas X(Kv) nav tukšas visiem, izņemot ierobežotu skaitu v, tāpēc nosacījumu skaits vienmēr ir ierobežots un tos var efektīvi pārbaudīt. Tomēr Hasse princips neattiecas uz grādu līknēm. Piemēram, 3x3 + 4y3=5 ir punkti visos p-adic skaitļu laukos un reālo skaitļu sistēmā, bet tai nav racionālu punktu.
Šī metode kalpoja par sākumpunktu, lai izveidotu koncepciju, kas apraksta Ābela šķirņu galveno viendabīgo telpu klases, lai veiktu "novirzi" no Hase principa. To raksturo īpaša struktūra, ko var saistīt ar katru kolektoru (Tate-Shafarevich grupa). Teorijas galvenās grūtības slēpjas apstāklī, ka grupu aprēķināšanas metodes ir grūti iegūt. Šis jēdziens ir attiecināts arī uz citām algebrisko variantu klasēm.
Meklējiet algoritmu nevienlīdzību izpildei
Cita heiristiskā ideja, ko izmanto Diofantīna vienādojumu izpētē, ir tāda, ka, ja nevienādību kopā iesaistīto mainīgo lielumu skaits ir liels, tad sistēmai parasti ir risinājums. Tomēr katrā konkrētā gadījumā to ir ļoti grūti pierādīt. Vispārējā pieeja šāda veida problēmām izmanto analītisko skaitļu teoriju un balstās uz trigonometrisko summu aprēķiniem. Šī metode sākotnēji tika izmantota īpašiem vienādojumiem.
Tomēr vēlāk ar tās palīdzību tika pierādīts, ka, ja nepāra pakāpes forma ir F, dun n mainīgie un ar racionāliem koeficientiem, tad n ir pietiekami liels, salīdzinot ar d, tātad projektīvajai hipervirsmai F=0 ir racionāls punkts. Saskaņā ar Artina minējumu, šis rezultāts ir patiess pat tad, ja n > d2. Tas ir pierādīts tikai kvadrātveida formām. Līdzīgas problēmas var uzdot arī citās jomās. Diofantīnas ģeometrijas galvenā problēma ir veselu skaitļu jeb racionālo punktu kopas struktūra un to izpēte, un pirmais jautājums, kas jānoskaidro, ir, vai šī kopa ir ierobežota. Šajā uzdevumā situācijai parasti ir ierobežots izpildes skaits, ja sistēmas pakāpe ir daudz lielāka par mainīgo skaitu. Šis ir pamata pieņēmums.
Nevienādības uz līnijām un līknēm
Grupu X(K) var attēlot kā tiešu r pakāpes brīvas struktūras un n kārtas ierobežotas grupas tiešu summu. Kopš 20. gadsimta 30. gadiem ir pētīts jautājums par to, vai šie skaitļi ir ierobežoti uz visu elipses līkņu kopu noteiktā laukā K. Vērpes n robeža tika demonstrēta septiņdesmitajos gados. Funkcionālajā gadījumā ir patvaļīgi augsta ranga līknes. Skaitliskajā gadījumā uz šo jautājumu joprojām nav atbildes.
Visbeidzot, Mordela minējums apgalvo, ka integrālo punktu skaits g>1 ģints līknei ir ierobežots. Funkcionālā gadījumā šo koncepciju 1963. gadā demonstrēja Yu. I. Manin. Galvenais instruments, ko izmanto galīguma teorēmu pierādīšanai Diofantīnas ģeometrijā, ir augstums. No algebriskajām šķirnēm izmēri virs viena ir ābelakolektori, kas ir eliptisku līkņu daudzdimensiju analogi, ir visprecīzāk izpētīti.
A. Veils vispārināja teorēmu par racionālu punktu grupas ģeneratoru skaita galīgumu jebkuras dimensijas Ābela šķirnēm (Mordela-Veila koncepcija), to paplašinot. Sešdesmitajos gados parādījās Birch un Swinnerton-Dyer minējums, uzlabojot šo un kolektora grupu un zeta funkcijas. Skaitliski pierādījumi apstiprina šo hipotēzi.
Atrisināmības problēma
Problēma, kā atrast algoritmu, ko var izmantot, lai noteiktu, vai kādam Diofantīna vienādojumam ir risinājums. Būtiska izvirzītās problēmas iezīme ir universālas metodes meklēšana, kas būtu piemērota jebkurai nevienlīdzībai. Šāda metode ļautu atrisināt arī iepriekš minētās sistēmas, jo tā ir ekvivalenta P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 vai p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problēmu, kā atrast šādu universālu veidu, kā atrast risinājumus veselu skaitļu lineārajām nevienādībām, izvirzīja D. Gilbert.
1950. gadu sākumā parādījās pirmie pētījumi, kuru mērķis bija pierādīt, ka nav Diofantīna vienādojumu risināšanas algoritma. Šajā laikā parādījās Deivisa minējums, kurā teikts, ka jebkura uzskaitāmā kopa pieder arī grieķu zinātniekam. Jo ir zināmi algoritmiski neizšķiramu kopu piemēri, bet tie ir rekursīvi uzskaitāmi. No tā izriet, ka Deivisa minējums ir patiess un šo vienādojumu atrisināmības problēmair negatīva izpilde.
Pēc tam Deivisa minējumiem atliek pierādīt, ka pastāv nevienlīdzības pārveidošanas metode, kurai vienlaikus ir (vai nebija) risinājums. Tika parādīts, ka šāda Diofantīna vienādojuma maiņa ir iespējama, ja tam piemīt divas augstāk minētās īpašības: 1) jebkurā šāda veida risinājumā v ≦ uu; 2) jebkuram k ir izpilde ar eksponenciālu pieaugumu.
Pierādījumu pabeidza šīs klases lineāra diofantīna vienādojuma piemērs. Šo racionālo skaitļu nevienādību atrisināmības un atpazīšanas algoritma esamības problēma joprojām tiek uzskatīta par svarīgu un atklātu jautājumu, kas nav pietiekami pētīts.
