Trijstūris ir daudzstūris ar trim malām (trīs stūriem). Visbiežāk malas tiek apzīmētas ar maziem burtiem, kas atbilst lielajiem burtiem, kas apzīmē pretējās virsotnes. Šajā rakstā mēs iepazīsimies ar šo ģeometrisko formu veidiem, teorēmu, kas nosaka, kāda ir trijstūra leņķu summa.
Skatījumi pēc leņķiem
Izšķir šādus daudzstūru veidus ar trim virsotnēm:
- akūts leņķis, kurā visi stūri ir asi;
- taisnstūrveida, kam ir viens taisns leņķis, savukārt malas, kas to veido, sauc par kājām, bet malu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu;
- stulbs, ja viens stūris ir neass;
- vienādsānu, kurā divas malas ir vienādas, un tās sauc par sānu, bet trešā ir trijstūra pamatne;
- vienādmalu, kam visas trīs vienādas malas.
Properties
Tie izceļ galvenās īpašības, kas raksturīgas katram trīsstūra veidam:
- pretim lielākajai pusei vienmēr ir lielāks leņķis, un otrādi;
- vienāda izmēra pretējās malas ir vienādi leņķi, un otrādi;
- jebkuram trīsstūrim ir divi asi leņķi;
- ārējais stūris ir lielāks par jebkuru iekšējo stūri, kas tam nav blakus;
- jebkuru divu leņķu summa vienmēr ir mazāka par 180 grādiem;
- ārējais stūris ir vienāds ar pārējo divu stūru summu, kas ar to nekrustojas.
Trijstūra leņķu summas teorēma
Teorēma nosaka, ka, ja jūs saskaitāt visus dotās ģeometriskās figūras leņķus, kas atrodas Eiklīda plaknē, tad to summa būs 180 grādi. Mēģināsim pierādīt šo teorēmu.
Izveidosim patvaļīgu trīsstūri ar KMN virsotnēm.
Caur virsotni M novelciet taisni paralēli taisnei KN (šo līniju sauc arī par Eiklīda taisni). Uz tā atzīmējam punktu A tā, lai punkti K un A atrodas dažādās taisnes MN malās. Iegūstam vienādus leņķus AMN un KNM, kuri, tāpat kā iekšējie, atrodas šķērsām un ir veidoti no sekants MN kopā ar taisnēm KN un MA, kas ir paralēlas. No tā izriet, ka trijstūra leņķu summa, kas atrodas virsotnēs M un H, ir vienāda ar leņķa KMA lielumu. Visi trīs leņķi veido summu, kas ir vienāda ar leņķu KMA un MKN summu. Tā kā šie leņķi ir iekšēji vienpusēji attiecībā pretparalēlas taisnes KN un MA ar sekantu KM, to summa ir 180 grādi. Teorēma pierādīta.
Sekas
No iepriekš pierādītās teorēmas izriet šāds secinājums: jebkuram trijstūrim ir divi asi leņķi. Lai to pierādītu, pieņemsim, ka noteiktai ģeometriskai figūrai ir tikai viens akūts leņķis. Var arī pieņemt, ka neviens no leņķiem nav akūts. Šajā gadījumā ir jābūt vismaz diviem leņķiem, kas ir vienādi vai lielāki par 90 grādiem. Bet tad leņķu summa būs lielāka par 180 grādiem. Bet tas nevar būt, jo saskaņā ar teorēmu trijstūra leņķu summa ir 180 ° - ne vairāk, ne mazāk. Tas bija jāpierāda.
Ārējais stūra īpašums
Kāda ir trijstūra ārējo leņķu summa? Uz šo jautājumu var atbildēt vienā no diviem veidiem. Pirmais ir tas, ka ir jāatrod leņķu summa, kas tiek ņemta katrā virsotnē, tas ir, trīs leņķi. Otrais nozīmē, ka virsotnēs jāatrod visu sešu leņķu summa. Pirmkārt, aplūkosim pirmo iespēju. Tātad trīsstūrī ir seši ārējie stūri - divi katrā virsotnē.
Katram pārim ir vienādi leņķi, jo tie ir vertikāli:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Turklāt ir zināms, ka trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu iekšējo leņķu summu, kas ar to nekrustojas. Tāpēc
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
No tā izrādās, ka ārējā summastūri, kas ņemti pa vienam katrā virsotnē, būs vienādi ar:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Ņemot vērā, ka leņķu summa ir 180 grādi, var apgalvot, ka ∟A + ∟B + ∟C=180°. Un tas nozīmē, ka ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ja izmanto otro iespēju, tad sešu leņķu summa būs attiecīgi divreiz lielāka. Tas nozīmē, ka trijstūra ārējo leņķu summa būs:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Taisns trīsstūris
Kāda ir taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa? Atbilde uz šo jautājumu atkal izriet no teorēmas, kas nosaka, ka trijstūra leņķi kopā veido 180 grādus. Un mūsu apgalvojums (īpašums) izklausās šādi: taisnleņķa trijstūrī asie leņķi kopā veido 90 grādus. Pierādīsim tā patiesumu.
Piešķirsim trīsstūri KMN, kurā ∟Н=90°. Ir jāpierāda, ka ∟K + ∟M=90°.
Tātad, saskaņā ar leņķu summas teorēmu ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Mūsu nosacījums saka, ka ∟Н=90°. Tātad izrādās, ∟K + ∟M + 90°=180°. Tas ir, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Tas mums bija jāpierāda.
Papildus iepriekšminētajām taisnleņķa trijstūra īpašībām varat pievienot:
- leņķi, kas atrodas pret kājām, ir asi;
- hipotenūza ir trīsstūrveida vairāk nekā jebkura no kājām;
- kāju summa ir lielāka par hipotenūzu;
- kājatrijstūris, kas atrodas pretī 30 grādu leņķim, ir puse no hipotenūzas, tas ir, vienāda ar pusi no tās.
Kā vēl vienu šīs ģeometriskās figūras īpašību var atšķirt Pitagora teorēmu. Viņa norāda, ka trīsstūrī ar 90 grādu leņķi (taisnstūrveida) kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.
vienādsānu trijstūra leņķu summa
Agrāk mēs teicām, ka vienādsānu ir daudzstūris ar trim virsotnēm, kas satur divas vienādas malas. Šī dotās ģeometriskās figūras īpašība ir zināma: leņķi tās pamatnē ir vienādi. Pierādīsim to.
Ņemiet trīsstūri KMN, kas ir vienādsānu, KN ir tā pamatne.
Mums ir jāpierāda, ka ∟К=∟Н. Tātad, pieņemsim, ka MA ir mūsu trijstūra KMN bisektrise. MCA trīsstūris, ņemot vērā pirmo vienlīdzības zīmi, ir vienāds ar MCA trīsstūri. Proti, ar nosacījumu ir dots, ka KM=NM, MA ir kopējā puse, ∟1=∟2, jo MA ir bisektrise. Izmantojot faktu, ka šie divi trīsstūri ir vienādi, mēs varam noteikt, ka ∟K=∟Н. Tātad teorēma ir pierādīta.
Bet mūs interesē, kāda ir trijstūra (vienādsānu) leņķu summa. Tā kā šajā ziņā tai nav savas īpatnības, mēs sāksim no iepriekš aplūkotās teorēmas. Tas ir, mēs varam teikt, ka ∟K + ∟M + ∟H=180° vai 2 x ∟K + ∟M=180° (tā kā ∟K=∟H). Mēs nepierādīsim šo īpašību, jo pati trīsstūra summas teorēma tika pierādīta agrāk.
Izņemot apspriestosīpašības par trijstūra leņķiem, ir arī šādi svarīgi apgalvojumi:
- vienādsānu trijstūrī augstums, kas tika pazemināts līdz pamatnei, ir gan mediāna, gan leņķa bisektrise, kas atrodas starp vienādām malām, gan tā pamatnes simetrijas ass;
- mediānas (bisektrise, augstumi), kas novilktas uz šādas ģeometriskas figūras malām, ir vienādas.
Vienmalu trīsstūris
To sauc arī par labo, tas ir trīsstūris ar vienādām malām. Tāpēc arī leņķi ir vienādi. Katrs no tiem ir 60 grādi. Pierādīsim šo īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir trīsstūris KMN. Mēs zinām, ka KM=NM=KN. Un tas nozīmē, ka saskaņā ar vienādsānu trijstūra leņķiem, kas atrodas pie pamatnes, ∟К=∟М=∟Н. Tā kā saskaņā ar teorēmu trijstūra leņķu summa ir ∟К + ∟М + ∟Н=180°, tad 3 x ∟К=180° vai ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Tādējādi apgalvojums ir pierādīts.
Kā jūs varat redzēt no iepriekš minētā pierādījuma, kas balstīts uz teorēmu, vienādmalu trijstūra leņķu summa, tāpat kā jebkura cita trijstūra leņķu summa, ir 180 grādi. Šī teorēma nav jāpierāda vēlreiz.
Ir arī tādas īpašības, kas raksturīgas vienādmalu trīsstūrim:
- mediāna, bisektrise, augstums šādā ģeometriskā figūrā ir vienādi, un to garums tiek aprēķināts kā (a x √3): 2;
- ja aprakstāt apli ap doto daudzstūri, tad tā rādiuss būsvienāds (a x √3): 3;
- ja ierakstāt apli vienādmalu trijstūrī, tad tā rādiuss būs (a x √3): 6;
- šīs ģeometriskās figūras laukumu aprēķina pēc formulas: (a2 x √3): 4.
Neliela leņķa trīsstūris
Saskaņā ar neasā trijstūra definīciju viens no tā leņķiem ir no 90 līdz 180 grādiem. Bet, ņemot vērā, ka pārējie divi šīs ģeometriskās figūras leņķi ir asi, mēs varam secināt, ka tie nepārsniedz 90 grādus. Tāpēc trīsstūra leņķu summas teorēma darbojas, aprēķinot leņķu summu neasā trijstūrī. Izrādās, ka, balstoties uz iepriekš minēto teorēmu, varam droši teikt, ka strupā trijstūra leņķu summa ir 180 grādi. Atkal šī teorēma nav atkārtoti jāpierāda.
