Daudzskaldnis jau senatnē piesaistīja matemātiķu un zinātnieku uzmanību. Ēģiptieši uzcēla piramīdas. Un grieķi pētīja "regulāros daudzskaldņus". Tos dažreiz sauc par platoniskām cietām vielām. "Tradicionālie daudzskaldņi" sastāv no plakanām virsmām, taisnām malām un virsotnēm. Bet galvenais jautājums vienmēr ir bijis, kādi noteikumi šīm atsevišķām daļām ir jāizpilda, kā arī kādi papildu globālie nosacījumi ir jāievēro, lai objekts kvalificētos kā daudzskaldnis. Atbilde uz šo jautājumu tiks sniegta rakstā.
Problēmas definīcijā
No kā sastāv šis skaitlis? Daudzskaldnis ir slēgta cieta forma, kurai ir plakanas virsmas un taisnas malas. Tāpēc pirmo tās definīcijas problēmu var saukt tieši par figūras malām. Ne visas sejas, kas atrodas plaknēs, vienmēr liecina par daudzskaldni. Ņemsim par piemēru "trīsstūrveida cilindru". No kā tas sastāv? Daļa no tās virsmas trīs pa pāriemkrustojas vertikālās plaknes nevar uzskatīt par daudzstūriem. Iemesls ir tāds, ka tai nav virsotņu. Šādas figūras virsma veidojas uz trīs staru bāzes, kas satiekas vienā punktā.
Vēl viena problēma – lidmašīnas. "Trīsstūrveida cilindra" gadījumā tas atrodas to neierobežotajās daļās. Figūru uzskata par izliektu, ja tajā atrodas arī līnijas nogrieznis, kas savieno jebkurus divus kopas punktus. Ļaujiet mums iepazīstināt ar vienu no to svarīgajām īpašībām. Izliektām kopām kopai kopīgā punktu kopa ir vienāda. Ir arī cita veida figūras. Tie ir neizliekti 2D daudzskaldņi, kuriem ir iegriezumi vai caurumi.
Formas, kas nav daudzšķautņainas
Plakana punktu kopa var būt atšķirīga (piemēram, neizliekta) un neatbilst parastajai daudzskaldņa definīcijai. Pat caur to to ierobežo līniju posmi. Izliekta daudzskaldņa līnijas sastāv no izliektām figūrām. Tomēr šī pieeja definīcijai izslēdz skaitli, kas sasniedz bezgalību. Piemērs tam varētu būt trīs stari, kas nesatiekas vienā punktā. Bet tajā pašā laikā tie ir savienoti ar citas figūras virsotnēm. Tradicionāli daudzskaldnim bija svarīgi, lai tas sastāvētu no plakanām virsmām. Taču laika gaitā jēdziens paplašinājās, kā rezultātā būtiski uzlabojās izpratne par sākotnējo daudzskaldņu "šaurāko" klasi, kā arī radās jauna, plašāka definīcija.
Pareizi
Ieviesīsim vēl vienu definīciju. Regulārs daudzskaldnis ir tāds, kurā katra skaldne ir kongruenta regulāraizliekti daudzstūri, un visas virsotnes ir "vienādas". Tas nozīmē, ka katrai virsotnei ir vienāds regulāru daudzstūru skaits. Izmantojiet šo definīciju. Tātad jūs varat atrast piecus regulārus daudzskaldņus.
Pirmie soļi uz Eilera teorēmu daudzskaldnim
Grieķi zināja par daudzstūri, ko mūsdienās sauc par pentagrammu. Šo daudzstūri varētu saukt par regulāru, jo visas tā malas ir vienāda garuma. Ir arī vēl viena svarīga piezīme. Leņķis starp divām secīgām malām vienmēr ir vienāds. Tomēr, zīmējot plaknē, tas nenosaka izliektu kopu, un daudzskaldņa malas krustojas viena ar otru. Tomēr tas ne vienmēr bija tā. Matemātiķi jau sen ir apsvēruši ideju par "neizliektu" regulāru daudzskaldni. Pentagramma bija viena no tām. Tika atļauti arī "zvaigžņu daudzstūri". Ir atklāti vairāki jauni "parasto daudzskaldņu" piemēri. Tagad tos sauc par Keplera-Puasota daudzskaldni. Vēlāk G. S. M. Kokseters un Branko Grīnbaums paplašināja noteikumus un atklāja citus "parastos daudzskaldņus".
Daudzskaldņu formula
Šo skaitļu sistemātiska izpēte sākās salīdzinoši agri matemātikas vēsturē. Leonhards Eilers bija pirmais, kurš pamanīja, ka formula, kas attiecas uz to virsotņu, skaldņu un malu skaitu, attiecas uz izliektiem 3D daudzskaldņiem.
Viņa izskatās šādi:
V + F - E=2, kur V ir daudzskaldņu virsotņu skaits, F ir daudzskaldņa malu skaits un E ir skalu skaits.
Leonhards Eilers ir šveicietismatemātiķis, kurš tiek uzskatīts par vienu no visu laiku izcilākajiem un produktīvākajiem zinātniekiem. Lielāko dzīves daļu viņš ir bijis akls, taču redzes zaudēšana deva viņam iemeslu kļūt vēl produktīvākam. Viņa vārdā ir nosauktas vairākas formulas, un to, ko tikko apskatījām, dažreiz sauc par Eilera daudzskaldņu formulu.
Ir viens precizējums. Tomēr Eilera formula darbojas tikai daudzskaldņiem, kas ievēro noteiktus noteikumus. Tie slēpjas faktā, ka veidlapai nevajadzētu būt caurumiem. Un tas ir nepieņemami, ka tas krustojas. Daudzskaldnis arī nevar sastāvēt no divām kopā savienotām daļām, piemēram, no diviem kubiem ar vienu un to pašu virsotni. Eilers pieminēja sava pētījuma rezultātus vēstulē Kristianam Goldbaham 1750. gadā. Vēlāk viņš publicēja divus rakstus, kuros viņš aprakstīja, kā viņš mēģināja atrast pierādījumus savam jaunajam atklājumam. Faktiski ir formas, kas sniedz atšķirīgu atbildi uz V + F - E. Atbildi uz summu F + V - E=X sauc par Eilera raksturlielumu. Viņai ir cits aspekts. Dažām formām var būt pat Eilera raksturlielums, kas ir negatīvs
Grafu teorija
Dažreiz tiek apgalvots, ka Dekarts Eilera teorēmu atvasināja agrāk. Lai gan šis zinātnieks atklāja faktus par trīsdimensiju daudzskaldni, kas ļautu viņam iegūt vēlamo formulu, viņš nespēra šo papildu soli. Šodien Eileram tiek piedēvēts grafu teorijas "tēvs". Viņš atrisināja Kēnigsbergas tilta problēmu, izmantojot savas idejas. Bet zinātnieks neskatījās uz daudzskaldni kontekstāgrafu teorija. Eilers mēģināja sniegt pierādījumu formulai, kuras pamatā ir daudzskaldņa sadalīšanās vienkāršākās daļās. Šis mēģinājums neatbilst mūsdienu pierādījumu standartiem. Lai gan Eilers nedeva pirmo pareizo pamatojumu savai formulai, nevar pierādīt pieņēmumus, kas nav izdarīti. Taču rezultāti, kas tika pamatoti vēlāk, dod iespēju Eilera teorēmu izmantot arī šobrīd. Pirmo pierādījumu ieguva matemātiķis Adrians Marī Ledžendre.
Eilera formulas pierādījums
Eulers vispirms formulēja daudzskaldņu formulu kā daudzskaldņu teorēmu. Mūsdienās to bieži aplūko vispārīgākā saistīto grafiku kontekstā. Piemēram, kā struktūras, kas sastāv no punktiem un tos savienojošiem līniju segmentiem, kas atrodas vienā daļā. Augustins Luiss Košī bija pirmais cilvēks, kurš atrada šo svarīgo saikni. Tas kalpoja kā Eilera teorēmas pierādījums. Viņš būtībā pamanīja, ka izliekta daudzskaldņa (vai mūsdienās par tādu dēvētā) grafs ir topoloģiski homeomorfs sfērai, tam ir plakani savienots grafs. Kas tas ir? Plaknes grafs ir tāds, kas plaknē ir uzzīmēts tā, ka tā malas saskaras vai krustojas tikai virsotnē. Šeit tika atrasta saistība starp Eilera teorēmu un grafikiem.
Viena norāde uz rezultāta nozīmīgumu ir tāda, ka Deivids Epšteins spēja savākt septiņpadsmit dažādus pierādījumus. Ir daudzi veidi, kā attaisnot Eilera daudzskaldņu formulu. Savā ziņā acīmredzamākie pierādījumi ir metodes, kas izmanto matemātisko indukciju. Rezultātu var pierādītzīmējiet to pa diagrammas malu, skaldņu vai virsotņu skaitu.
Rademahera un Toeplica pierādījums
Īpaši pievilcīgs ir sekojošais Rademahera un Toeplica pierādījums, kas balstīts uz fon Štauta pieeju. Lai pamatotu Eilera teorēmu, pieņemsim, ka G ir savienots grafs, kas iegults plaknē. Ja tai ir shēmas, no katras var izslēgt vienu malu tā, lai saglabātu īpašību, ka tā paliek savienota. Ir savstarpēja atbilstība starp noņemtajām daļām, lai dotos uz savienoto grafiku bez slēgšanas, un tām, kas nav bezgalīgas malas. Šis pētījums noveda pie "orientējamo virsmu" klasifikācijas, ņemot vērā tā saukto Eilera raksturlielumu.
Jordānijas līkne. Teorēma
Galvenā tēze, kas tieši vai netieši tiek izmantota Eilera teorēmas daudzskaldņu formulas pierādīšanā grafiem, ir atkarīga no Džordana līknes. Šī ideja ir saistīta ar vispārināšanu. Tajā teikts, ka jebkura vienkārša slēgta līkne sadala plakni trīs kopās: punkti uz tās, iekšpusē un ārpusē. Deviņpadsmitajā gadsimtā attīstoties interesei par Eilera daudzskaldņu formulu, tika veikti daudzi mēģinājumi to vispārināt. Šis pētījums lika pamatu algebriskās topoloģijas attīstībai un saistīja to ar algebru un skaitļu teoriju.
Moebius grupa
Drīz tika atklāts, ka dažas virsmas var konsekventi "orientēt" tikai lokāli, nevis globāli. Labi pazīstamā Möbius grupa kalpo kā ilustrācija tamvirsmas. To nedaudz agrāk atklāja Johans Listings. Šis jēdziens ietver grafa ģints jēdzienu: vismazākais deskriptoru skaits g. Tas jāpievieno sfēras virsmai, un to var iestrādāt uz pagarinātās virsmas tā, lai malas saskartos tikai virsotnēs. Izrādās, ka jebkuru orientējamu virsmu Eiklīda telpā var uzskatīt par sfēru ar noteiktu rokturu skaitu.
Eulera diagramma
Zinātnieks veica vēl vienu atklājumu, kas tiek izmantots vēl šodien. Šī tā sauktā Eilera diagramma ir apļu grafisks attēlojums, ko parasti izmanto, lai ilustrētu attiecības starp kopām vai grupām. Diagrammās parasti ir iekļautas krāsas, kas sajaucas vietās, kur apļi pārklājas. Komplekti ir precīzi attēloti ar apļiem vai ovāliem, lai gan tiem var izmantot arī citas figūras. Iekļaušana ir attēlota ar elipsi pārklāšanos, ko sauc par Eilera apļiem.
Tās ir kopas un apakškopas. Izņēmums ir apļi, kas nepārklājas. Eilera diagrammas ir cieši saistītas ar citiem grafiskiem attēlojumiem. Viņi bieži ir apmulsuši. Šo grafisko attēlojumu sauc par Venna diagrammām. Atkarībā no konkrētajiem komplektiem abas versijas var izskatīties vienādi. Tomēr Venna diagrammās apļi, kas pārklājas, ne vienmēr norāda kopu kopību, bet tikai iespējamu loģisku saistību, ja to etiķetes navkrustojošs aplis. Abas iespējas tika pieņemtas kopu teorijas mācīšanai kā daļa no jaunās matemātikas kustības 1960. gados.
Fermata un Eilera teorēmas
Eulers atstāja ievērojamas pēdas matemātikas zinātnē. Algebrisko skaitļu teoriju bagātināja viņa vārdā nosauktā teorēma. Tās ir arī cita svarīga atklājuma sekas. Šī ir tā sauktā vispārējā algebriskā Lagranža teorēma. Eilera vārds ir saistīts arī ar Fermā mazo teorēmu. Tajā teikts, ka, ja p ir pirmskaitlis un a ir vesels skaitlis, kas nedalās ar p, tad:
ap-1 - 1 dalās ar p.
Dažreiz vienam un tam pašam atklājumam ir cits nosaukums, kas visbiežāk sastopams ārzemju literatūrā. Tas izklausās pēc Fermā Ziemassvētku teorēmas. Lieta tāda, ka atklājums kļuva zināms, pateicoties kāda zinātnieka vēstulei, kas nosūtīta 1640. gada 25. decembra priekšvakarā. Bet pats paziņojums ir bijis iepriekš. To izmantoja cits zinātnieks Alberts Žirārs. Fermā tikai mēģināja pierādīt savu teoriju. Autors citā vēstulē dod mājienu, ka viņu iedvesmojusi bezgalīgās nolaišanās metode. Bet viņš nekādus pierādījumus nesniedza. Vēlāk šai pašai metodei pievērsās arī Eiders. Un pēc viņa - daudzi citi slaveni zinātnieki, tostarp Lagrenžs, Gauss un Minkoskis.
Identitātes iezīmes
Fermata mazo teorēmu sauc arī par īpašu teorēmas gadījumu no skaitļu teorijas Eilera dēļ. Šajā teorijā Eilera identitātes funkcija saskaita pozitīvus veselus skaitļus līdz noteiktam veselam skaitlim n. Tie ir izcili attiecībā uzn. Eilera teorēma skaitļu teorijā ir uzrakstīta, izmantojot grieķu burtu φ un izskatās kā φ(n). Formālāk to var definēt kā veselu skaitļu skaitu k diapazonā 1 ≦ k ≦ n, kuram lielākais kopīgais dalītājs gcd(n, k) ir 1. Apzīmējumu φ(n) var saukt arī par Eilera phi funkciju. Šīs formas veselus skaitļus k dažreiz sauc par kopējo. Skaitļu teorijas pamatā Eilera identitātes funkcija ir reizināšanas funkcija, kas nozīmē, ka, ja divi skaitļi m un n ir pirmskaitļi, tad φ(mn)=φ(m)φ(n). Tam ir arī svarīga loma RSA šifrēšanas sistēmas definēšanā.
Eulera funkcija tika ieviesta 1763. gadā. Taču tajā laikā matemātiķis tai neizvēlējās nekādu konkrētu simbolu. 1784. gada publikācijā Eilers šo funkciju pētīja sīkāk un izvēlējās tās attēlošanai grieķu burtu π. Džeimss Silvestrs šai funkcijai izdomāja terminu "kopā". Tāpēc to sauc arī par Eilera kopējo summu. Kopējais φ(n) pozitīvam veselam skaitlim, kas ir lielāks par 1, ir pozitīvo veselo skaitļu skaits, kas ir mazāki par n un ir relatīvi pirmskaitļi līdz n.φ(1) ir definēts kā 1. Eilera funkcija jeb phi(φ) ir ļoti svarīga skaitļu teorētiskā funkcija funkcija, kas ir cieši saistīta ar pirmskaitļiem un tā saukto veselo skaitļu secību.
