Leonhards Eilers (1707-1783) - slavens Šveices un Krievijas matemātiķis, Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas loceklis, lielāko dzīves daļu nodzīvojis Krievijā. Slavenākais matemātiskajā analīzē, statistikā, datorzinātnēs un loģikā ir Eilera aplis (Eilera-Vena diagramma), ko izmanto, lai apzīmētu jēdzienu un elementu kopu apjomu.
Džons Venns (1834-1923) - angļu filozofs un loģiķis, Eilera-Vena diagrammas līdzautors.
Saderīgi un nesaderīgi jēdzieni
Loģikas jēdziens nozīmē domāšanas veidu, kas atspoguļo viendabīgu objektu klases būtiskās iezīmes. Tos apzīmē ar vienu vārdu vai vārdu grupu: “pasaules karte”, “dominējošais kvint-septītais akords”, “pirmdiena” utt.
Gadījumā, ja viena jēdziena tvēruma elementi pilnībā vai daļēji pieder cita jēdziena tvērumam, runā par saderīgiem jēdzieniem. Ja tomēr neviens noteikta jēdziena tvēruma elements nepieder citam, mums ir nesavienojami jēdzieni.
Savukārt katram jēdziena veidam ir savs iespējamo attiecību kopums. Saderīgie jēdzieni:
- sējumu identitāte (ekvivalence);
- šķērsošana (daļēja atbilstība)sējumi;
- pakļautība (pakļautība).
Nesaderīgiem:
- pakļautība (koordinācija);
- pretēji (pretruna);
- pretruna (pretruna).
Shēmiski attiecības starp jēdzieniem loģikā parasti tiek apzīmētas, izmantojot Eilera-Vena apļus.
Līdzvērtīgas attiecības
Šajā gadījumā jēdzieni nozīmē vienu un to pašu priekšmetu. Attiecīgi šo jēdzienu apjomi ir pilnīgi vienādi. Piemēram:
A - Zigmunds Freids;
B ir psihoanalīzes pamatlicējs.
Vai:
A ir kvadrāts;
B ir vienādmalu taisnstūris;
C ir vienādstūra rombs.
Apzīmēšanai tiek izmantoti pilnīgi sakrītoši Eilera apļi.
Krustojums (daļēja atbilstība)
Šajā kategorijā ir ietverti jēdzieni, kuriem ir kopīgi elementi, kas ir saistīti ar šķērsošanu. Tas ir, viena jēdziena apjoms ir daļēji iekļauts otra sējumā:
A - skolotājs;
B ir mūzikas mīļotājs.
Kā redzams no šī piemēra, jēdzienu apjomi daļēji sakrīt: noteikta skolotāju grupa var izrādīties mūzikas mīļotāji, un otrādi - mūzikas mīļotāju vidū var būt skolotāja profesijas pārstāvji. Līdzīga attieksme būs gadījumā, ja jēdziens A ir, piemēram, “pilsonis”, bet B – “autovadītājs”.
Subordinācija (subordinācija)
Shēmiski apzīmēti kā dažādu mērogu Eilera apļi. Attiecībasstarp jēdzieniem šajā gadījumā raksturo tas, ka pakārtotais jēdziens (apjomā mazāks) ir pilnībā iekļauts pakārtotajā (apjomā lielāks). Tajā pašā laikā pakārtotais jēdziens pilnībā neizsmeļ pakārtoto.
Piemēram:
A - koks;
B - priede.
Jēdziens B būs pakārtots jēdzienam A. Tā kā priede pieder pie kokiem, jēdziens A šajā piemērā kļūst pakārtots, "absorbējot" jēdziena B tvērumu.
Koordinācija (koordinācija)
Saistība raksturo divus vai vairākus jēdzienus, kas viens otru izslēdz, bet pieder noteiktam kopējam vispārīgam lokam. Piemēram:
A – klarnete;
B - ģitāra;
C - vijole;
D ir mūzikas instruments.
Jēdzieni A, B, C nekrustojas viens pret otru, tomēr tie visi pieder pie mūzikas instrumentu kategorijas (jēdziens D).
Pretēji (pretēji)
Pretējas attiecības starp jēdzieniem nozīmē, ka šie jēdzieni pieder vienai un tai pašai grupai. Tajā pašā laikā vienam no jēdzieniem ir noteiktas īpašības (iezīmes), bet otrs tos noliedz, aizstājot tos ar pretējiem dabā. Tādējādi mums ir darīšana ar antonīmiem. Piemēram:
A ir punduris;
B ir milzis.
Eulera aplis ar pretējām attiecībām starp jēdzieniemir sadalīts trīs segmentos, no kuriem pirmais atbilst jēdzienam A, otrais jēdzienam B un trešais visiem pārējiem iespējamajiem jēdzieniem.
Pretruna (pretruna)
Šajā gadījumā abi jēdzieni ir vienas ģints sugas. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, viens no jēdzieniem norāda noteiktas īpašības (iezīmes), bet otrs tās noliedz. Taču, atšķirībā no pretstatu attiecībām, otrais, pretējais jēdziens neaizstāj noliegtās īpašības ar citām, alternatīvām. Piemēram:
A ir grūts uzdevums;
B ir viegls uzdevums (nevis-A).
Izsakot šāda veida jēdzienu apjomu, Eilera aplis ir sadalīts divās daļās - trešā, starpsaite šajā gadījumā nepastāv. Tādējādi jēdzieni ir arī antonīmi. Tajā pašā laikā viens no tiem (A) kļūst pozitīvs (apstiprinot kādu pazīmi), bet otrais (B vai ne-A) kļūst negatīvs (noraidot atbilstošo pazīmi): “b altais papīrs” - “nav b alts papīrs”, “nacionālā vēsture” – „ārzemju vēsture” utt.
Tādējādi jēdzienu apjomu attiecība vienam pret otru ir galvenā pazīme, kas nosaka Eilera apļus.
Attiecības starp kopām
Jāatšķir arī elementu un kopu jēdzieni, kuru apjomu parāda Eilera apļi. Kopas jēdziens ir aizgūts no matemātikas zinātnes, un tam ir diezgan plaša nozīme. Loģikas un matemātikas piemēri to parāda kā noteiktu objektu kopu. Paši objekti iršī komplekta elementi. "Daudzi domā kā viens" (Georgs Kantors, kopu teorijas pamatlicējs).
Komplektus apzīmē ar lielajiem burtiem: A, B, C, D… utt., komplektu elementus apzīmē ar mazajiem burtiem: a, b, c, d… utt. Kopas piemēri var būt studenti, kuri atrodas vienā klasē, grāmatas noteiktā plauktā (vai, piemēram, visas grāmatas noteiktā bibliotēkā), lapas dienasgrāmatā, ogas meža izcirtumā utt.
Savukārt, ja noteikta kopa nesatur nevienu elementu, tad to sauc par tukšu un apzīmē ar zīmi Ø. Piemēram, paralēlu līniju krustošanās punktu kopa, vienādojuma atrisinājumu kopa x2=-5.
Problēmu risināšana
Eulera apļi tiek aktīvi izmantoti, lai atrisinātu lielu skaitu problēmu. Loģikas piemēri skaidri parāda saistību starp loģiskajām operācijām un kopu teoriju. Šajā gadījumā tiek izmantotas jēdzienu patiesības tabulas. Piemēram, aplis ar apzīmējumu A apzīmē patiesības reģionu. Tātad laukums ārpus apļa būs nepatiess. Lai noteiktu diagrammas laukumu loģiskai darbībai, jums ir jāieēno apgabali, kas nosaka Eilera apli, kurā tā vērtības elementiem A un B būs patiesas.
Eulera apļu izmantošana ir atradusi plašu praktisku pielietojumu dažādās nozarēs. Piemēram, situācijā ar profesionālu izvēli. Ja subjektam ir bažas par nākotnes profesijas izvēli, viņš var vadīties pēc šādiem kritērijiem:
W - ko man patīk darīt?
D - ko es daru?
P– kā es varu nopelnīt labu naudu?
Zīmēsim to kā diagrammu: Eilera apļi (loģikas piemēri - krustojuma attiecības):
Rezultātā būs tās profesijas, kuras atradīsies visu trīs apļu krustpunktā.
Eulera-Vena apļi matemātikā (kopu teorijā) ieņem atsevišķu vietu, aprēķinot kombinācijas un īpašības. Elementu kopas Eilera apļi ir ietverti taisnstūra attēlā, kas apzīmē universālo kopu (U). Apļu vietā var izmantot arī citas slēgtas figūras, taču tās būtība nemainās. Figūras krustojas viena ar otru, atbilstoši uzdevuma nosacījumiem (vispārīgākajā gadījumā). Turklāt šie skaitļi ir attiecīgi jāmarķē. Aplūkojamo kopu elementi var būt punkti, kas atrodas dažādos diagrammas segmentos. Pamatojoties uz to, varat ēnot noteiktus apgabalus, tādējādi apzīmējot jaunizveidotās kopas.
Ar šīm kopām iespējams veikt matemātiskās pamatdarbības: saskaitīšanu (elementu kopu summa), atņemšanu (starpību), reizināšanu (reizinājumu). Turklāt, pateicoties Eilera-Vena diagrammām, kopas ir iespējams salīdzināt pēc tajās iekļauto elementu skaita, neskaitot tās.
