Aplī ierakstīts četrstūris. Četrstūris ABCD ir ierakstīts aplī

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Līdz ar matemātikas iedalījumu algebrā un ģeometrijā mācību materiāls kļūst grūtāks. Parādās jaunas figūras un to īpašie gadījumi. Lai labi izprastu materiālu, ir nepieciešams izpētīt jēdzienus, objektu īpašības un saistītās teorēmas.

Vispārīgi jēdzieni

Četrstūris nozīmē ģeometrisku figūru. Tas sastāv no 4 punktiem. Turklāt 3 no tiem neatrodas vienā taisnē. Ir segmenti, kas virknē savieno norādītos punktus.

Visi skolas ģeometrijas kursā pētītie četrstūri ir parādīti nākamajā diagrammā. Secinājums: jebkuram objektam no parādītā attēla ir iepriekšējās figūras īpašības.

Četrstūris var būt šāda veida:

• Paralelogramma. Tā pretējo malu paralēlismu pierāda atbilstošās teorēmas.
• Trapece. Četrstūris ar paralēliem pamatiem. Pārējās divas partijas nav.
• Taisnstūris. Figūra, kurai ir visi 4 stūri=90º.
• Rombs. Cipars ar vienādām malām.
• Kvadrāts. Apvieno pēdējo divu figūru īpašības. Tam visas malas ir vienādas un visi leņķi ir taisni.

Šīs tēmas galvenā definīcija ir aplī ierakstīts četrstūris. Tas sastāv no sekojošā. Šis ir skaitlis, ap kuru ir aprakstīts aplis. Tam jāiziet cauri visām virsotnēm. Aplī ierakstīta četrstūra iekšējie leņķi kopā veido 360º.

Ne katru četrstūri var ierakstīt. Tas ir saistīts ar faktu, ka 4 malu perpendikulārās bisektrise var nekrustoties vienā punktā. Tādējādi nebūs iespējams atrast 4 stūru apļa centru.

Īpaši gadījumi

Katram noteikumam ir izņēmumi. Tātad šajā tēmā ir arī īpaši gadījumi:

• Paralelogramu kā tādu nevar ierakstīt aplī. Tikai viņa īpašais gadījums. Tas ir taisnstūris.
• Ja visas romba virsotnes atrodas uz ierobežojošās līnijas, tad tas ir kvadrāts.
• Visas trapeces virsotnes atrodas uz apļa robežas. Šajā gadījumā viņi runā par vienādsānu figūru.

Aplī ierakstīta četrstūra īpašības

Pirms vienkāršu un sarežģītu problēmu risināšanas par noteiktu tēmu, jums ir jāpārbauda savas zināšanas. Neizpētot mācību materiālu, nav iespējams atrisināt vienu piemēru.

1. teorēma

Aplī ierakstīta četrstūra pretējo leņķu summa ir 180º.

Pierādījums

Dots: četrstūris ABCD ir ierakstīts aplī. Tās centrs ir punkts O. Mums ir jāpierāda, ka _<A + _<C=180º un _< B + _<D=180º.

Jāņem vērā uzrādītie skaitļi.

1. _{<A ir ierakstīts aplī, kura centrs ir punktā O. To mēra caur ½ BCD (pusloka).}
2. _{<C ir ierakstīts tajā pašā aplī. To mēra ar ½ BAD (pusloka).}
3. BAD un BCD veido veselu apli, t.i., to lielums ir 360º.
4. _<A + _{<C ir vienādi ar pusi no attēloto pusloku summas.}
5. Līdz ar to _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Līdzīgā veidā pierādījums _<B un _{<D. Tomēr problēmai ir otrs risinājums.}

1. Ir zināms, ka četrstūra iekšējo leņķu summa ir 360º.
2. Jo _<A + _<C=180º. Attiecīgi _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

2.teorēma

(To bieži sauc par apgrieztu) Ja četrstūrī _<A + _<C=180º un _{<B +} <_{D=180º (ja tie ir pretēji), tad ap šādu figūru var aprakstīt apli.}

Pierādījums

Ir dota četrstūra ABCD pretējo leņķu summa, kas vienāda ar 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Mums jāpierāda, ka apli var apvilkt ap ABCD.}

No ģeometrijas kursa ir zināms, ka apli var novilkt cauri 3 četrstūra punktiem. Piemēram, varat izmantot punktus A, B, C. Kur atradīsies punkts D? Ir 3 minējumi:

1. Viņa nonāk aplī. Šajā gadījumā D nepieskaras līnijai.
2. Ārpus apļa. Viņa pakāpjas tālu aiz iezīmētās līnijas.
3. Rādās uz apļa.

Jāpieņem, ka D atrodas apļa iekšpusē. Norādītās virsotnes vietu aizņem D´. Izrādās četrstūris ABCD´.

Rezultāts ir:_<B + _<D´=2d.

Ja turpinām AD´ līdz krustojumam ar esošo riņķi, kura centrs atrodas punktā E, un savienojam E un C, iegūstam ierakstītu četrstūri ABCE. No pirmās teorēmas izriet vienlīdzība:

Saskaņā ar ģeometrijas likumiem izteiksme nav derīga, jo _<D´ ir trijstūra CD´E ārējais stūris. Attiecīgi tam vajadzētu būt lielākam par _{<E. No tā mēs varam secināt, ka D ir jāatrodas uz apļa vai ārpus tā.}

Tāpat trešo pieņēmumu var pierādīt nepareizu, kad D´´ pārsniedz aprakstītā attēla robežu.

No divām hipotēzēm izriet vienīgā pareizā. Virsotne D atrodas uz riņķa līnijas. Citiem vārdiem sakot, D sakrīt ar E. No tā izriet, ka visi četrstūra punkti atrodas uz aprakstītās taisnes.

No šiemdivas teorēmas, sekas ir šādas:

Aplī var ierakstīt jebkuru taisnstūri. Ir arī citas sekas. Apli var apvilkt ap jebkuru taisnstūri

Trapece ar vienādiem gurniem var tikt ierakstīta aplī. Citiem vārdiem sakot, tas izklausās šādi: apli var aprakstīt ap trapecveida formu ar vienādām malām

Vairāki piemēri

Uzdevums 1. Četrstūris ABCD ir ierakstīts aplī. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Jāatrod _{<ABD. Atbilde jāraksta grādos.}

Lēmums. Sākumā var šķist, ka ir grūti atrast atbildi.

1. Jums jāatceras šīs tēmas īpašības. Proti: pretējo leņķu summa=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Ģeometrijā labāk pieturēties pie principa: atrodiet visu, ko varat. Noderēs vēlāk.

2. Nākamais solis: izmantojiet trijstūra summas teorēmu.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 3º. 75º=70º}

Ir ierakstīti

_<ABD un _{<ACD. Pēc nosacījuma viņi paļaujas uz vienu loku. Attiecīgi tiem ir vienādas vērtības:}

_<ABD=_<ACD=70º

Atbilde: _<ABD=70º.

2. uzdevums. BCDE ir aplī ierakstīts četrstūris. _<B=69º, _<C=84º. Apļa centrs ir punkts E. Atrodiet - _<E.

Lēmums.

1. Jāatrod _{<E pēc 1. teorēmas.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Atbilde: _{< E=96º.}

3. uzdevums. Dots aplī ierakstīts četrstūris. Dati ir parādīti attēlā. Jāatrod nezināmas vērtības x, y, z.

Risinājums:

z=180º – 93º=87º (pēc 1. teorēmas)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (pēc 1. teorēmas)

Atbilde: z=87º, x=82º, y=98º.

4. uzdevums. Aplī ir ierakstīts četrstūris. Vērtības ir parādītas attēlā. Atrast x, y.

Risinājums:

x=180º–80º=100º

y=180º–71º=109º

Atbilde: x=100º, y=109º.

Problēmas neatkarīgam risinājumam

1. piemērs. Dots aplis. Tās centrs ir punkts O. AC un BD ir diametri. _<ACB=38º. Jāatrod _{<AOD. Atbilde jānorāda grādos.}

2. piemērs. Dots četrstūris ABCD un ap to apvilkts aplis. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Atrodiet _{<CAD. Ierakstiet atbildi grādos.}

Piemērs 3. Dots aplis un ierakstīts četrstūris ABCD. Tās divi leņķi ir 82º un58º. Jums jāatrod lielākais no atlikušajiem leņķiem un jāpieraksta atbilde grādos.

Piemērs 4. Ir dots četrstūris ABCD. Leņķi A, B, C ir doti attiecībā 1:2:3. Nepieciešams atrast leņķi D, ja norādīto četrstūri var ierakstīt aplī. Atbilde jānorāda grādos.

Piemērs 5. Ir dots četrstūris ABCD. Tās malas veido ierobežotā apļa lokus. Attiecīgi AB, BC, CD un AD grādu vērtības ir: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Jums vajadzētu atrast _{<No dotā četrstūra un pierakstiet atbildi grādos.}