Planimetrija ir ģeometrijas nozare, kas pēta plaknes figūru īpašības. Tie ietver ne tikai labi zināmus trīsstūrus, kvadrātus, taisnstūrus, bet arī taisnas līnijas un leņķus. Planimetrijā ir arī tādi jēdzieni kā leņķi aplī: centrālais un ierakstītais. Bet ko tie nozīmē?
Kāds ir centrālais leņķis?
Lai saprastu, kas ir centrālais leņķis, ir jādefinē aplis. Aplis ir visu punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta (apļa centra).
Ir ļoti svarīgi to atšķirt no apļa. Jāatceras, ka aplis ir slēgta līnija, un aplis ir plaknes daļa, ko tā ierobežo. Aplī var ierakstīt daudzstūri vai leņķi.
Centrālais leņķis ir leņķis, kura virsotne sakrīt ar apļa centru un kura malas krusto apli divos punktos. Loku, kuru leņķis ierobežo ar krustpunktiem, sauc par loku, uz kura balstās dotais leņķis.
Apsveriet piemēru 1.
Attēlā leņķis AOB ir centrālais, jo leņķa virsotne un apļa centrs ir viens punkts O. Tas balstās uz loka AB, kas nesatur punktu C.
Kā ierakstītais leņķis atšķiras no centrālā?
Tomēr bez centrālajiem ir arī ierakstīti leņķi. Kāda ir viņu atšķirība? Tāpat kā centrālais leņķis, kas ierakstīts aplī, balstās uz noteiktu loku. Bet tā virsotne nesakrīt ar apļa centru, bet atrodas uz tā.
Ņemsim šādu piemēru.
Leņķi ACB sauc par leņķi, kas ierakstīts aplī, kura centrs ir punktā O. Punkts C pieder aplim, tas ir, atrodas uz tā. Leņķis balstās uz loka AB.
Kāds ir centrālais leņķis
Lai veiksmīgi tiktu galā ar ģeometrijas problēmām, nepietiek tikai ar iespēju atšķirt ierakstīto un centrālo leņķi. Parasti, lai tos atrisinātu, jums precīzi jāzina, kā atrast apļa centrālo leņķi, un jāspēj aprēķināt tā vērtību grādos.
Tātad, centrālais leņķis ir vienāds ar loka grādu, uz kura tas balstās.
Attēlā leņķis AOB balstās uz loka AB, kas vienāds ar 66°. Tātad leņķis AOB arī ir vienāds ar 66°.
Tādējādi centrālie leņķi, kuru pamatā ir vienādas lokas, ir vienādi.
Attēlā loka līdzstrāva ir vienāda ar loku AB. Tātad leņķis AOB ir vienāds ar leņķi DOC.
Kā atrast ierakstīto leņķi
Var šķist, ka aplī ierakstītais leņķis ir vienāds ar centrālo leņķi,kas balstās uz to pašu loku. Tomēr tā ir rupja kļūda. Patiesībā, pat skatoties uz zīmējumu un salīdzinot šos leņķus savā starpā, var redzēt, ka to pakāpes mēriem būs dažādas vērtības. Kāds tad ir aplī ierakstītais leņķis?
Ierakstītā leņķa pakāpes mērs ir puse no loka, uz kuras tas balstās, vai puse no centrālā leņķa, ja tie balstās uz to pašu loku.
Apskatīsim piemēru. Leņķa ACB pamatā ir loks, kas vienāds ar 66°.
Tātad leņķis DIA=66°: 2=33°
Apskatīsim dažas šīs teorēmas sekas.
- Ierakstītie leņķi, ja to pamatā ir viena un tā pati loka, horda vai vienādas lokas, ir vienādi.
- Ja ierakstīto leņķu pamatā ir viena horda, bet to virsotnes atrodas tās pretējās pusēs, šādu leņķu pakāpju mēru summa ir 180°, jo šajā gadījumā abi leņķi ir balstīti uz lokiem, kura kopējais pakāpes mērs ir 360° (viss aplis), 360°: 2=180°
- Ja ierakstītais leņķis ir balstīts uz dotā apļa diametru, tā pakāpes mērs ir 90°, jo diametrs veido loku, kas vienāds ar 180°, 180°: 2=90°
- Ja apļa centrālais un ierakstītais leņķis balstās uz vienu un to pašu loka vai hordas, tad ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa.
Kur var atrast problēmas par šo tēmu? To veidi un risinājumi
Tā kā aplis un tā īpašības ir viena no svarīgākajām ģeometrijas sadaļām, jo īpaši planimetrijā, apļa ierakstītie un centrālie leņķi ir tēma, kas ir plaši un detalizēti aplūkota.mācījies skolas mācību programmā. Uzdevumi, kas veltīti to īpašībām, ir atrodami galvenajā valsts eksāmenā (OGE) un vienotajā valsts eksāmenā (USE). Parasti, lai atrisinātu šīs problēmas, apļa leņķi jāatrod grādos.
Leņķi, kuru pamatā ir viens un tas pats loks
Šis problēmas veids, iespējams, ir viens no vienkāršākajiem, jo, lai to atrisinātu, ir jāzina tikai divas vienkāršas īpašības: ja abi leņķi ir ierakstīti un balstās uz vienu un to pašu hornu, tie ir vienādi, ja viens no tiem ir centrālais, tad atbilstošais ierakstītais leņķis ir vienāds ar pusi no tā. Taču, tos risinot, jābūt ārkārtīgi uzmanīgiem: dažkārt šo īpašību ir grūti pamanīt, un skolēni, risinot tik vienkāršas problēmas, nonāk strupceļā. Apsveriet piemēru.
Problēma 1
Dots aplis, kura centrs ir punktā O. Leņķis AOB ir 54°. Atrodiet leņķa DIA grādu mēru.
Šis uzdevums ir atrisināts vienā solī. Vienīgais, kas nepieciešams, lai ātri atrastu atbildi, ir ievērot, ka loks, uz kura balstās abi stūri, ir kopīgs. To redzot, varat pielietot jau pazīstamo īpašumu. Leņķis ACB ir puse no leņķa AOB. Tātad
1) AOB=54°: 2=27°.
Atbilde: 54°.
Leņķi, kuru pamatā ir viena apļa dažādi loki
Dažreiz problēmas nosacījumos nav tieši norādīts loka izmērs, uz kura balstās vajadzīgais leņķis. Lai to aprēķinātu, jums jāanalizē šo leņķu lielums un jāsalīdzina tie ar zināmajām apļa īpašībām.
2. problēma
Aplī, kura centrs ir O, leņķis AOCir 120°, un leņķis AOB ir 30°. Atrodi stūri TU.
Iesākumā ir vērts teikt, ka šo uzdevumu ir iespējams atrisināt, izmantojot vienādsānu trīsstūru īpašības, taču tas prasīs vairāk matemātisku darbību. Tāpēc šeit mēs analizēsim risinājumu, izmantojot apļa centrālo un ierakstīto leņķu īpašības.
Tātad, leņķis AOC balstās uz loka AC un ir centrālais, kas nozīmē, ka loks AC ir vienāds ar leņķi AOC.
AC=120°
Tādā pašā veidā leņķis AOB balstās uz loka AB.
AB=30°.
Zinot to un visa apļa pakāpes mēru (360°), varat viegli atrast loka BC lielumu.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Leņķa CAB virsotne, punkts A, atrodas uz apļa. Tādējādi leņķis CAB ir ierakstīts un vienāds ar pusi no loka CB.
CAB leņķis=210°: 2=110°
Atbilde: 110°
Problēmas, kuru pamatā ir loka attiecības
Dažas problēmas nemaz nesatur datus par leņķiem, tāpēc tās ir jāmeklē, pamatojoties tikai uz zināmām riņķa teorēmām un īpašībām.
1. problēma
Atrodiet leņķi, kas ierakstīts aplī, ko atbalsta horda, kas vienāda ar dotā riņķa rādiusu.
Ja garīgi zīmējat līnijas, kas savieno segmenta galus ar apļa centru, iegūstat trīsstūri. Izpētot to, jūs varat redzēt, ka šīs līnijas ir apļa rādiusi, kas nozīmē, ka visas trīsstūra malas ir vienādas. Mēs zinām, ka visi vienādmalu trīsstūra leņķiir vienādi ar 60°. Tādējādi loks AB, kas satur trijstūra virsotni, ir vienāds ar 60°. No šejienes mēs atrodam loku AB, uz kura balstās vēlamais leņķis.
AB=360° - 60°=300°
Leņķis ABC=300°: 2=150°
Atbilde: 150°
2. problēma
Aplī, kura centrs ir punktā O, loki ir saistīti kā 3:7. Atrodiet mazāko ierakstīto leņķi.
Risinājumam vienu daļu apzīmējam ar X, tad viens loks ir vienāds ar 3X, bet otrais attiecīgi ar 7X. Zinot, ka apļa pakāpes mērs ir 360°, mēs varam uzrakstīt vienādojumu.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Atbilstoši nosacījumam jāatrod mazāks leņķis. Acīmredzot, ja leņķa vērtība ir tieši proporcionāla lokam, uz kura tas balstās, tad nepieciešamais (mazāks) leņķis atbilst lokam, kas vienāds ar 3X.
Tātad mazākais leņķis ir (36°3): 2=108°: 2=54°
Atbilde: 54°
3. problēma
Aplī, kura centrs ir punktā O, leņķis AOB ir 60° un mazākā loka garums ir 50. Aprēķiniet lielākā loka garumu.
Lai aprēķinātu lielāka loka garumu, jāizveido proporcija - kā mazākais loks attiecas uz lielāko. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām abu loku lielumu grādos. Mazākais loks ir vienāds ar leņķi, kas uz tā balstās. Tās grādu mērs ir 60°. Lielāks loks ir vienāds ar starpību starp apļa pakāpes mēru (tas ir vienāds ar 360° neatkarīgi no citiem datiem) un mazāko loku.
Lielais loks ir 360° - 60°=300°.
Tā kā 300°: 60°=5, lielākais loks ir 5 reizes lielāks par mazāko.
Liels loks=505=250
Atbilde: 250
Tātad, protams, ir arī citipieejas līdzīgu problēmu risināšanai, taču tās visas kaut kādā veidā ir balstītas uz centrālo un ierakstīto leņķu, trijstūru un apļu īpašībām. Lai tās veiksmīgi atrisinātu, rūpīgi jāizpēta zīmējums un jāsalīdzina tas ar uzdevuma datiem, kā arī jāprot pielietot savas teorētiskās zināšanas praksē.
