Furjē sērija ir patvaļīgi uzņemtas funkcijas ar noteiktu periodu attēlojums kā sērija. Vispārīgi šo risinājumu sauc par elementa sadalīšanu ortogonālā bāzē. Funkciju paplašināšana Furjē sērijā ir diezgan spēcīgs rīks dažādu problēmu risināšanai, pateicoties šīs transformācijas īpašībām, integrējot, diferencējot, kā arī mainot izteiksmi argumentā un konvolūcijā.
Cilvēks, kurš nepārzina augstāko matemātiku, kā arī franču zinātnieka Furjē darbus, visticamāk, nesapratīs, kas ir šīs “rindas” un kam tās paredzētas. Tikmēr šī transformācija mūsu dzīvē ir kļuvusi diezgan blīva. To izmanto ne tikai matemātiķi, bet arī fiziķi, ķīmiķi, ārsti, astronomi, seismologi, okeanogrāfi un daudzi citi. Apskatīsim tuvāk izcilā franču zinātnieka darbus, kurš veica atklājumu pirms sava laika.
Cilvēks un Furjē transformācija
Furjē rindas ir viena no Furjē transformācijas metodēm (kopā ar analīzi un citām). Šis process notiek katru reizi, kad cilvēks dzird skaņu. Mūsu auss automātiski pārvērš skaņuviļņi. Elementāro daļiņu svārstību kustības elastīgā vidē tiek sadalītas rindās (pa spektru) ar secīgām skaļuma līmeņa vērtībām dažāda augstuma toņiem. Pēc tam smadzenes pārvērš šos datus mums pazīstamās skaņās. Tas viss notiek papildus mūsu vēlmei vai apziņai, pats no sevis, taču, lai izprastu šos procesus, būs nepieciešami vairāki gadi, lai apgūtu augstāko matemātiku.
Vairāk par Furjē transformāciju
Furjē transformāciju var veikt ar analītiskām, skaitliskām un citām metodēm. Furjē sērijas attiecas uz skaitļu veidu, kā sadalīt jebkādus svārstību procesus - no okeāna plūdmaiņām un gaismas viļņiem līdz saules (un citu astronomisko objektu) aktivitātes cikliem. Izmantojot šīs matemātiskās metodes, ir iespējams analizēt funkcijas, attēlojot jebkurus svārstīgos procesus kā sinusoidālu komponentu virkni, kas iet no minimuma uz maksimālo un otrādi. Furjē transformācija ir funkcija, kas apraksta noteiktai frekvencei atbilstošo sinusoīdu fāzi un amplitūdu. Šo procesu var izmantot, lai atrisinātu ļoti sarežģītus vienādojumus, kas apraksta dinamiskus procesus, kas notiek siltuma, gaismas vai elektriskās enerģijas ietekmē. Tāpat Furjē rindas ļauj izolēt konstantos komponentus sarežģītos svārstīgos signālos, kas ļāva pareizi interpretēt iegūtos eksperimentālos novērojumus medicīnā, ķīmijā un astronomijā.
Vēstures fons
Šīs teorijas dibinātājsŽans Batists Džozefs Furjē ir franču matemātiķis. Šī transformācija vēlāk tika nosaukta viņa vārdā. Sākotnēji zinātnieks izmantoja savu metodi, lai pētītu un izskaidrotu siltuma vadīšanas mehānismus - siltuma izplatīšanos cietās vielās. Furjē ierosināja, ka sākotnējo neregulāro karstuma viļņa sadalījumu var sadalīt vienkāršākajos sinusoīdos, no kuriem katram būs savs temperatūras minimums un maksimums, kā arī sava fāze. Šajā gadījumā katrs šāds komponents tiks mērīts no minimuma līdz maksimālajam un otrādi. Matemātiskā funkcija, kas apraksta līknes augšējo un apakšējo virsotni, kā arī katras harmonikas fāzi, tiek saukta par temperatūras sadalījuma izteiksmes Furjē transformāciju. Teorijas autors vispārējo sadalījuma funkciju, ko ir grūti aprakstīt matemātiski, reducēja uz ļoti viegli apstrādājamu periodisku kosinusu un sinusa funkciju sēriju, kas kopā veido sākotnējo sadalījumu.
Pārvērtības princips un laikabiedru uzskati
Zinātnieka laikabiedri - deviņpadsmitā gadsimta sākuma vadošie matemātiķi - nepieņēma šo teoriju. Galvenais iebildums bija Furjē apgalvojums, ka pārtrauktu funkciju, kas apraksta taisnu līniju vai pārtrauktu līkni, var attēlot kā nepārtrauktu sinusoidālu izteiksmju summu. Kā piemēru apsveriet Heaviside "soli": tā vērtība ir nulle pa kreisi no spraugas un viens pa labi. Šī funkcija apraksta elektriskās strāvas atkarību no laika mainīgā, kad ķēde ir aizvērta. Toreizējie teorijas laikabiedri ar tādu nebija saskārušiessituācija, kad pārtrauktā izteiksme tiek aprakstīta ar nepārtrauktu, parastu funkciju, piemēram, eksponenciālu, sinusoidālu, lineāru vai kvadrātisku, kombināciju.
Kas mulsināja franču matemātiķus Furjē teorijā?
Galu galā, ja matemātiķim bija taisnība savos apgalvojumos, tad, summējot bezgalīgās trigonometriskās Furjē rindas, jūs varat iegūt precīzu soļa izteiksmes attēlojumu pat tad, ja tai ir daudz līdzīgu soļu. Deviņpadsmitā gadsimta sākumā šāds apgalvojums šķita absurds. Bet, neskatoties uz visām šaubām, daudzi matemātiķi ir paplašinājuši šīs parādības izpētes jomu, pārsniedzot siltumvadītspējas pētījumu jomu. Tomēr lielākā daļa zinātnieku turpināja mocīties par jautājumu: "Vai sinusoidālās rindas summa var saplūst ar precīzu pārtrauktas funkcijas vērtību?"
Furjē rindas konverģence: piemērs
Jautājums par konverģenci tiek izvirzīts ikreiz, kad ir nepieciešams summēt bezgalīgas skaitļu rindas. Lai saprastu šo fenomenu, apsveriet klasisku piemēru. Vai jūs kādreiz varat sasniegt sienu, ja katrs nākamais solis ir uz pusi mazāks nekā iepriekšējais? Pieņemsim, ka esat divus metrus no mērķa, pirmais solis tuvina jūs pusceļa punktam, nākamais - trīs ceturtdaļas atzīmei, un pēc piektā jūs veiksiet gandrīz 97 procentus no ceļa. Tomēr neatkarīgi no tā, cik soļu jūs veicat, jūs nesasniegsiet paredzēto mērķi stingrā matemātiskā nozīmē. Izmantojot skaitliskus aprēķinus, var pierādīt, ka galu galā var pietuvoties, cik vien tīk.neliels norādītais attālums. Šis pierādījums ir līdzvērtīgs tam, lai pierādītu, ka vienas puses, vienas ceturtdaļas utt. summas vērtība būs viena.
Konverģences jautājums: Otrā atnākšana jeb Lorda Kelvina iekārta
Šis jautājums vairākkārt tika izvirzīts deviņpadsmitā gadsimta beigās, kad Furjē rindas mēģināja izmantot, lai prognozētu bēguma un bēguma intensitāti. Šajā laikā lords Kelvins izgudroja ierīci, kas ir analoga skaitļošanas ierīce, kas ļāva militāro un tirdzniecības flotes jūrniekiem izsekot šai dabas parādībai. Šis mehānisms noteica fāžu un amplitūdu kopas no plūdmaiņu augstuma tabulas un tiem atbilstošajiem laika momentiem, kas rūpīgi izmērīti noteiktā ostā gada laikā. Katrs parametrs bija plūdmaiņas augstuma izteiksmes sinusoidāls komponents un viens no parastajiem komponentiem. Mērījumu rezultāti tika ievadīti lorda Kelvina kalkulatorā, kas sintezēja līkni, kas paredzēja ūdens augstumu kā laika funkciju nākamajam gadam. Ļoti drīz līdzīgas līknes tika izveidotas visām pasaules ostām.
Un ja procesu pārtrauc pārtraukta funkcija?
Toreiz šķita pašsaprotami, ka paisuma viļņu prognozētājs ar lielu skaitu skaitīšanas elementu var aprēķināt lielu skaitu fāžu un amplitūdu un tādējādi sniegt precīzākas prognozes. Tomēr izrādījās, ka šī likumsakarība nav novērota gadījumos, kad tiek novērota plūdmaiņu izteiksme, kas sekosintezēt, saturēja asu lēcienu, tas ir, tas bija pārtraukts. Gadījumā, ja ierīcē tiek ievadīti dati no laika momentu tabulas, tā aprēķina vairākus Furjē koeficientus. Sākotnējā funkcija tiek atjaunota, pateicoties sinusoidālajiem komponentiem (atbilstoši atrastajiem koeficientiem). Atšķirību starp sākotnējo un atjaunoto izteiksmi var izmērīt jebkurā punktā. Veicot atkārtotus aprēķinus un salīdzinājumus, redzams, ka lielākās kļūdas vērtība nesamazinās. Tomēr tie ir lokalizēti reģionā, kas atbilst pārtraukuma punktam, un jebkurā citā punktā ir tendence uz nulli. 1899. gadā šo rezultātu teorētiski apstiprināja Džošua Vilards Gibss no Jēlas universitātes.
Furjē rindu konverģence un matemātikas attīstība kopumā
Furjē analīze nav piemērojama izteiksmēm, kas satur bezgalīgu skaitu sēriju noteiktā intervālā. Kopumā Furjē sērijas, ja sākotnējā funkcija ir reāla fiziska mērījuma rezultāts, vienmēr saplūst. Jautājumi par šī procesa konverģenci konkrētām funkciju klasēm ir noveduši pie jaunu sadaļu rašanās matemātikā, piemēram, vispārināto funkciju teorija. Tas ir saistīts ar tādiem vārdiem kā L. Švarcs, J. Mikusinskis un J. Templs. Šīs teorijas ietvaros tika radīta skaidra un precīza teorētiskā bāze tādām izteiksmēm kā Diraka delta funkcija (tā apraksta viena laukuma apgabalu, kas koncentrēts bezgalīgi mazā punkta apkārtnē) un Heaviside. solis”. Pateicoties šim darbam, Furjē sērija kļuva piemērojamavienādojumu un problēmu risināšana, kas ietver intuitīvus jēdzienus: punktveida lādiņš, punktveida masa, magnētiskie dipoli, kā arī koncentrēta slodze uz staru.
Furjē metode
Furjē sērijas saskaņā ar traucējumu principiem sākas ar sarežģītu formu sadalīšanu vienkāršākos. Piemēram, siltuma plūsmas izmaiņas ir izskaidrojamas ar tās iziešanu cauri dažādiem šķēršļiem, kas izgatavoti no neregulāras formas siltumizolācijas materiāla vai zemes virsmas izmaiņām - zemestrīce, debess ķermeņa orbītas izmaiņas - ietekme planētas. Parasti katram atsevišķam vilnim elementāri tiek atrisināti līdzīgi vienādojumi, kas apraksta vienkāršas klasiskās sistēmas. Furjē parādīja, ka vienkāršus risinājumus var arī summēt, lai sniegtu risinājumus sarežģītākām problēmām. Matemātikas valodā Furjē sērija ir paņēmiens izteiksmes kā harmoniku - kosinusa un sinusoīdu - summas attēlošanai. Tāpēc šī analīze ir pazīstama arī kā "harmoniskā analīze".
Furjē sērija - ideāla tehnika pirms "datoru laikmeta"
Pirms datortehnoloģiju radīšanas Furjē tehnika bija labākais ierocis zinātnieku arsenālā, strādājot ar mūsu pasaules viļņu dabu. Furjē sērija sarežģītā formā ļauj atrisināt ne tikai vienkāršas problēmas, kuras var tieši attiecināt uz Ņūtona mehānikas likumiem, bet arī fundamentālos vienādojumus. Lielākā daļa Ņūtona zinātnes atklājumu deviņpadsmitajā gadsimtā bija iespējami tikai Furjē tehnikas dēļ.
Furjē sērija šodien
Attīstoties Furjē transformācijas datoriempacelts pilnīgi jaunā līmenī. Šī tehnika ir stingri iesakņojusies gandrīz visās zinātnes un tehnoloģiju jomās. Piemērs ir digitālais audio un video signāls. Tās realizācija kļuva iespējama tikai pateicoties teorijai, ko deviņpadsmitā gadsimta sākumā izstrādāja franču matemātiķis. Tādējādi Furjē sērija sarežģītā formā ļāva veikt izrāvienu kosmosa izpētē. Turklāt tas ietekmēja pusvadītāju materiālu un plazmas fizikas izpēti, mikroviļņu akustiku, okeanogrāfiju, radaru, seismoloģiju.
Trigonometriskā Furjē sērija
Matemātikā Furjē rinda ir veids, kā attēlot patvaļīgas sarežģītas funkcijas kā vienkāršāku funkciju summu. Vispārīgos gadījumos šādu izteiksmju skaits var būt bezgalīgs. Turklāt, jo vairāk to skaits tiek ņemts vērā aprēķinā, jo precīzāks ir gala rezultāts. Visbiežāk kā vienkāršākās tiek izmantotas kosinusa vai sinusa trigonometriskās funkcijas. Šajā gadījumā Furjē rindas sauc par trigonometriskām, un šādu izteiksmju risinājumu sauc par harmonikas izplešanos. Šai metodei ir liela nozīme matemātikā. Pirmkārt, trigonometriskā sērija nodrošina līdzekli attēlam, kā arī funkciju izpētei, tas ir galvenais teorijas aparāts. Turklāt tas ļauj atrisināt vairākas matemātiskās fizikas problēmas. Visbeidzot, šī teorija veicināja matemātiskās analīzes attīstību, radīja vairākas ļoti svarīgas matemātikas zinātnes sadaļas (integrāļu teorija, periodisko funkciju teorija). Turklāt tas kalpoja par sākumpunktu šādu teoriju attīstībai: kopas, funkcijasreāls mainīgais, funkcionālā analīze, kā arī lika pamatu harmoniskajai analīzei.
