Furjē transformācija ir transformācija, kas salīdzina kāda reāla mainīgā funkcijas. Šī darbība tiek veikta katru reizi, kad uztveram dažādas skaņas. Auss veic automātisku "aprēķinu", ko mūsu apziņa spēj veikt tikai pēc atbilstošās augstākās matemātikas sadaļas apguves. Cilvēka dzirdes orgāns būvē transformāciju, kā rezultātā skaņa (nosacītu daļiņu svārstību kustība elastīgā vidē, kas izplatās viļņa veidā cietā, šķidrā vai gāzveida vidē) tiek nodrošināta secīgu vērtību spektra veidā. no dažāda augstuma toņu skaļuma līmeņa. Pēc tam smadzenes šo informāciju pārvērš visiem zināmā skaņā.
Matemātiskā Furjē transformācija
Skaņas viļņu vai citu svārstību procesu transformāciju (no gaismas starojuma un okeāna paisuma līdz zvaigžņu vai saules aktivitātes cikliem) var veikt arī, izmantojot matemātiskas metodes. Tātad, izmantojot šīs metodes, ir iespējams sadalīt funkcijas, attēlojot oscilācijas procesus kā sinusoidālu komponentu kopu, tas ir, viļņotas līknes, kasiet no zema uz augstu, tad atpakaļ uz zemu, piemēram, jūras vilnis. Furjē transformācija - transformācija, kuras funkcija apraksta katra sinusoīda fāzi vai amplitūdu, kas atbilst noteiktai frekvencei. Fāze ir līknes sākuma punkts, un amplitūda ir tās augstums.
Furjē transformācija (piemēri ir parādīti fotoattēlā) ir ļoti spēcīgs rīks, ko izmanto dažādās zinātnes jomās. Dažos gadījumos to izmanto kā līdzekli diezgan sarežģītu vienādojumu risināšanai, kas apraksta dinamiskus procesus, kas notiek gaismas, siltuma vai elektriskās enerģijas ietekmē. Citos gadījumos tas ļauj noteikt regulāros komponentus sarežģītos svārstīgos signālos, pateicoties kuriem var pareizi interpretēt dažādus eksperimentālos novērojumus ķīmijā, medicīnā un astronomijā.
Vēstures fons
Pirmais, kurš izmantoja šo metodi, bija franču matemātiķis Žans Batists Furjē. Transformācija, kas vēlāk tika nosaukta viņa vārdā, sākotnēji tika izmantota, lai aprakstītu siltuma vadīšanas mehānismu. Furjē visu savu pieaugušo mūžu pavadīja, pētot siltuma īpašības. Viņš sniedza milzīgu ieguldījumu matemātiskajā teorijā, nosakot algebrisko vienādojumu saknes. Furjē bija Politehniskās skolas analīzes profesors, Ēģiptoloģijas institūta sekretārs, bija imperatora dienestā, kur viņš izcēlās, būvējot ceļu uz Turīnu (viņa vadībā malārijas slimība vairāk nekā 80 tūkstošu kvadrātkilometru platībāpurvi). Tomēr visa šī enerģiskā darbība netraucēja zinātniekam veikt matemātisko analīzi. 1802. gadā viņš atvasināja vienādojumu, kas apraksta siltuma izplatīšanos cietās vielās. 1807. gadā zinātnieks atklāja šī vienādojuma risināšanas metodi, ko sauca par "Furjē transformāciju".
Siltumvadītspējas analīze
Zinātnieks izmantoja matemātisko metodi, lai aprakstītu siltuma vadīšanas mehānismu. Ērts piemērs, kurā nav aprēķinu grūtību, ir siltumenerģijas izplatīšanās caur dzelzs gredzenu, kas iegremdēts vienā daļā ugunī. Lai veiktu eksperimentus, Furjē daļu šī gredzena uzkarsēja un apraka smalkās smiltīs. Pēc tam viņš veica temperatūras mērījumus tās pretējā pusē. Sākotnēji siltuma sadalījums ir neregulārs: daļa gredzena ir auksta, bet otra ir karsta, starp šīm zonām var novērot strauju temperatūras gradientu. Tomēr siltuma izplatīšanās procesā pa visu metāla virsmu tas kļūst vienmērīgāks. Tātad drīz šis process izpaužas sinusoīda formā. Sākumā grafiks vienmērīgi palielinās un arī samazinās, precīzi saskaņā ar kosinusa vai sinusa funkcijas maiņas likumiem. Vilnis pakāpeniski izlīdzinās, un rezultātā temperatūra kļūst vienāda visā gredzena virsmā.
Šīs metodes autors ierosināja, ka sākotnējo neregulāro sadalījumu var sadalīt vairākos elementārajos sinusoīdos. Katram no tiem būs sava fāze (sākotnējā pozīcija) un sava temperatūramaksimums. Turklāt katrs šāds komponents mainās no minimuma uz maksimumu un atpakaļ pilnā apgriezienā ap gredzenu veselu skaitu reižu. Komponentu ar vienu periodu sauca par pamata harmoniku, bet vērtību ar diviem vai vairākiem periodiem sauca par otro utt. Tātad matemātisko funkciju, kas apraksta temperatūras maksimumu, fāzi vai pozīciju, sauc par sadalījuma funkcijas Furjē transformāciju. Zinātnieks vienu komponentu, ko ir grūti aprakstīt matemātiski, samazināja līdz viegli lietojamam rīkam - kosinusa un sinusa sērijām, kuras summējot iegūst sākotnējo sadalījumu.
Analīzes būtība
Pielietojot šo analīzi siltuma izplatīšanās transformācijai caur cietu objektu, kam ir gredzenveida forma, matemātiķis uzskatīja, ka sinusoidālās komponentes periodu palielināšana novedīs pie tā straujas sabrukšanas. Tas ir skaidri redzams fundamentālajā un otrajā harmonikā. Pēdējā vienā piegājienā temperatūra sasniedz maksimālo un minimālo vērtību divas reizes, bet pirmajā - tikai vienu reizi. Izrādās, ka siltuma nobrauktais attālums otrajā harmonikā būs uz pusi mazāks nekā fundamentālajā. Turklāt arī otrajā slīpums būs divreiz stāvāks nekā pirmajā. Tāpēc, tā kā intensīvāka siltuma plūsma pārvietojas divreiz īsāku attālumu, šī harmonika samazināsies četras reizes ātrāk nekā pamata funkcija kā laika funkcija. Nākotnē šis process būs vēl ātrāks. Matemātiķis uzskatīja, ka šī metode ļauj aprēķināt sākotnējās temperatūras sadalījuma procesu laikā.
Izaicinājums laikabiedriem
Furjē transformācijas algoritms apstrīdēja tā laika matemātikas teorētiskos pamatus. Deviņpadsmitā gadsimta sākumā izcilākie zinātnieki, tostarp Lagranžs, Laplass, Puasons, Leģendrs un Biots, nepieņēma viņa apgalvojumu, ka sākotnējā temperatūras sadalījums ir sadalīts komponentos pamata harmonikas un augstāku frekvenču veidā. Taču Zinātņu akadēmija nevarēja ignorēt matemātiķa iegūtos rezultātus un piešķīra viņam balvu par siltuma vadīšanas likumu teoriju, kā arī tās salīdzināšanu ar fizikāliem eksperimentiem. Furjē pieejā galvenais iebildums bija fakts, ka pārtraukto funkciju attēlo vairāku nepārtrauktu sinusoidālu funkciju summa. Galu galā tie apraksta saplēstas taisnas un izliektas līnijas. Zinātnieka laikabiedri nekad nav saskārušies ar līdzīgu situāciju, kad pārtrauktās funkcijas tika aprakstītas ar nepārtrauktu funkciju kombināciju, piemēram, kvadrātveida, lineāras, sinusoidālas vai eksponenciālas. Gadījumā, ja matemātiķim bija taisnība savos apgalvojumos, tad trigonometriskās funkcijas bezgalīgas rindas summa jāsamazina līdz precīzai pakāpeniskai. Toreiz šāds apgalvojums šķita absurds. Tomēr, neraugoties uz šaubām, daži pētnieki (piemēram, Klods Navjē, Sofija Žermena) ir paplašinājuši pētījumu jomu un izveduši tos tālāk par siltumenerģijas sadalījuma analīzi. Tikmēr matemātiķi turpināja cīnīties ar jautājumu par to, vai vairāku sinusoidālo funkciju summu var reducēt līdz precīzai pārtrauktas funkcijas attēlojumam.
200 gadus vecsvēsture
Šī teorija ir attīstījusies divu gadsimtu laikā, šodien tā beidzot ir izveidojusies. Ar tās palīdzību telpiskās vai laika funkcijas tiek sadalītas sinusoidālās komponentēs, kurām ir sava frekvence, fāze un amplitūda. Šo transformāciju iegūst ar divām dažādām matemātiskām metodēm. Pirmais no tiem tiek izmantots, ja sākotnējā funkcija ir nepārtraukta, bet otra - kad to attēlo diskrētu individuālu izmaiņu kopums. Ja izteiksme tiek iegūta no vērtībām, kuras definē diskrēti intervāli, tad to var iedalīt vairākās sinusoidālās izteiksmēs ar diskrētām frekvencēm - no zemākās un pēc tam divas, trīs reizes un tā tālāk augstākas par galveno. Šādu summu sauc par Furjē sēriju. Ja sākotnējai izteiksmei ir dota vērtība katram reālajam skaitlim, tad to var sadalīt vairākās sinusoidālās no visām iespējamām frekvencēm. To parasti sauc par Furjē integrāli, un risinājums ietver funkcijas integrālās transformācijas. Neatkarīgi no tā, kā tiek iegūta konversija, katrai frekvencei ir jānorāda divi skaitļi: amplitūda un frekvence. Šīs vērtības ir izteiktas kā viens komplekss skaitlis. Sarežģītu mainīgo izteiksmju teorija kopā ar Furjē transformāciju ļāva veikt aprēķinus dažādu elektrisko ķēžu projektēšanā, mehānisko vibrāciju analīzē, viļņu izplatīšanās mehānisma izpētē un daudz ko citu.
Furjē transformācija šodien
Šodien šī procesa izpēte galvenokārt ir samazināta līdz efektīvas atrašanaipārejas metodes no funkcijas uz tās pārveidoto formu un otrādi. Šo risinājumu sauc par tiešo un apgriezto Furjē transformāciju. Ko tas nozīmē? Lai noteiktu integrāli un izveidotu tiešu Furjē transformāciju, var izmantot matemātiskās metodes vai analītiskās metodes. Neskatoties uz to, ka, tos lietojot praksē, rodas zināmas grūtības, lielākā daļa integrāļu jau ir atrasti un iekļauti matemātikas uzziņu grāmatās. Skaitliskās metodes var izmantot, lai aprēķinātu izteiksmes, kuru forma ir balstīta uz eksperimentāliem datiem, vai funkcijas, kuru integrāļi nav pieejami tabulās un ir grūti attēloti analītiskā formā.
Pirms datoru parādīšanās šādu pārveidojumu aprēķini bija ļoti nogurdinoši, bija nepieciešams manuāli izpildīt lielu skaitu aritmētisko darbību, kas bija atkarīga no viļņu funkciju raksturojošo punktu skaita. Lai atvieglotu aprēķinus, šodien ir īpašas programmas, kas ir ļāvušas ieviest jaunas analītiskās metodes. Tātad 1965. gadā Džeimss Kūlijs un Džons Tukijs izveidoja programmatūru, kas kļuva pazīstama kā "Ātrā Furjē transformācija". Tas ļauj ietaupīt laiku aprēķiniem, samazinot reizinājumu skaitu līknes analīzē. Ātrās Furjē transformācijas metode ir balstīta uz līknes sadalīšanu lielā skaitā vienotu izlases vērtību. Attiecīgi reizinājumu skaits tiek samazināts uz pusi ar tādu pašu punktu skaita samazināšanos.
Furjē transformācijas pielietošana
Šisprocess tiek izmantots dažādās zinātnes jomās: skaitļu teorijā, fizikā, signālu apstrādē, kombinatorikā, varbūtību teorijā, kriptogrāfijā, statistikā, okeanoloģijā, optikā, akustikā, ģeometrijā un citās. Bagātīgās tās pielietošanas iespējas ir balstītas uz vairākām noderīgām funkcijām, kuras sauc par "Furjē transformācijas īpašībām". Apsveriet tos.
1. Funkcijas transformācija ir lineārs operators un ar atbilstošu normalizāciju ir unitāra. Šī īpašība ir pazīstama kā Parsevala teorēma vai vispārīgi Plančerela teorēma, vai Pontrjagina duālisms.
2. Transformācija ir atgriezeniska. Turklāt apgrieztajam rezultātam ir gandrīz tāda pati forma kā tiešajā risinājumā.
3. Sinusoidālās bāzes izteiksmes ir savas diferencētas funkcijas. Tas nozīmē, ka šāds attēlojums maina lineāros vienādojumus ar nemainīgu koeficientu parastajos algebriskajos vienādojumos.
4. Saskaņā ar "konvolūcijas" teorēmu šis process sarežģītu darbību pārvērš elementārā reizinājumā.
5. Diskrēto Furjē transformāciju var ātri aprēķināt datorā, izmantojot "ātro" metodi.
Furjē transformācijas varianti
1. Visbiežāk šis termins tiek lietots, lai apzīmētu nepārtrauktu transformāciju, kas nodrošina jebkuru kvadrātā integrējamu izteiksmi kā sarežģītu eksponenciālu izteiksmju summu ar noteiktām leņķiskām frekvencēm un amplitūdām. Šai sugai ir vairākas dažādas formas, kuras varatšķiras ar nemainīgiem koeficientiem. Nepārtrauktā metode ietver konversijas tabulu, ko var atrast matemātikas uzziņu grāmatās. Vispārināts gadījums ir daļveida transformācija, ar kuras palīdzību doto procesu var paaugstināt līdz vajadzīgajai reālajai jaudai.
2. Nepārtrauktais režīms ir Furjē sērijas agrīnās tehnikas vispārinājums, kas definēts dažādām periodiskām funkcijām vai izteiksmēm, kas pastāv ierobežotā apgabalā un attēlo tās kā sinusoīdu sērijas.
3. Diskrētā Furjē transformācija. Šo metodi datortehnoloģijā izmanto zinātniskiem aprēķiniem un ciparu signālu apstrādei. Lai veiktu šāda veida aprēķinus, ir nepieciešamas funkcijas, kas definē atsevišķus punktus, periodiskus vai ierobežotus apgabalus diskrētā kopā, nevis nepārtrauktus Furjē integrāļus. Signāla transformācija šajā gadījumā tiek attēlota kā sinusoīdu summa. Tajā pašā laikā “ātrās” metodes izmantošana ļauj piemērot diskrētus risinājumus jebkurām praktiskām problēmām.
4. Logu Furjē transformācija ir klasiskās metodes vispārināta forma. Atšķirībā no standarta risinājuma, kad tiek izmantots signāla spektrs, kas tiek ņemts pilnā noteiktā mainīgā pastāvēšanas diapazonā, šeit īpaši interesē tikai lokālais frekvences sadalījums, ja tiek saglabāts sākotnējais mainīgais (laiks)..
5. Divdimensiju Furjē transformācija. Šo metodi izmanto darbam ar divdimensiju datu masīviem. Šajā gadījumā vispirms transformācija tiek veikta vienā virzienā un pēc tam iekšācits.
Secinājums
Mūsdienās Furjē metode ir stingri iesakņojusies dažādās zinātnes jomās. Piemēram, 1962. gadā DNS dubultspirāles forma tika atklāta, izmantojot Furjē analīzi apvienojumā ar rentgenstaru difrakciju. Pēdējie tika fokusēti uz DNS šķiedru kristāliem, kā rezultātā attēls, kas iegūts ar starojuma difrakciju, tika ierakstīts filmā. Šis attēls sniedza informāciju par amplitūdas vērtību, izmantojot Furjē transformāciju uz doto kristāla struktūru. Fāzes dati tika iegūti, salīdzinot DNS difrakcijas karti ar kartēm, kas iegūtas, analizējot līdzīgas ķīmiskās struktūras. Rezultātā biologi ir atjaunojuši kristāla struktūru – sākotnējo funkciju.
Furjē transformācijām ir milzīga nozīme kosmosa, pusvadītāju un plazmas fizikas, mikroviļņu akustikas, okeanogrāfijas, radara, seismoloģijas un medicīnas izpētē.
