Kad fizika apraksta ķermeņu kustību, viņi izmanto tādus lielumus kā spēks, ātrums, kustības ceļš, griešanās leņķi utt. Šajā rakstā galvenā uzmanība tiks pievērsta vienam no svarīgajiem lielumiem, kas apvieno kinemātikas un kustības dinamikas vienādojumus. Sīkāk apsvērsim, kas ir pilnais paātrinājums.
Paātrinājuma jēdziens
Katrs moderno ātrgaitas automašīnu zīmolu cienītājs zina, ka viens no svarīgiem parametriem viņam ir paātrinājums līdz noteiktam ātrumam (parasti līdz 100 km/h) noteiktā laikā. Šo paātrinājumu fizikā sauc par "paātrinājumu". Stingrāka definīcija izklausās šādi: paātrinājums ir fizisks lielums, kas raksturo paša ātruma ātrumu vai izmaiņu ātrumu laika gaitā. Matemātiski tas jāraksta šādi:
ā=dv¯/dt
Aprēķinot ātruma pirmreizējo atvasinājumu, mēs atradīsim momentānā pilna paātrinājuma vērtību ā.
Ja kustība ir vienmērīgi paātrināta, tad ā nav atkarīgs no laika. Šis fakts ļauj mums rakstītkopējā vidējā paātrinājuma vērtība ācp:
ācp=(v2¯-v1¯)/(t 2-t1).
Šī izteiksme ir līdzīga iepriekšējai, tikai ķermeņa ātrumi tiek ņemti daudz ilgākā laika periodā nekā dt.
Rakstītās formulas ātruma un paātrinājuma attiecībai ļauj izdarīt secinājumu par šo lielumu vektoriem. Ja ātrums vienmēr ir vērsts tangenciāli kustības trajektorijai, tad paātrinājums ir vērsts ātruma maiņas virzienā.
Kustības trajektorija un pilna paātrinājuma vektors
Pētot ķermeņu kustību, īpaša uzmanība jāpievērš trajektorijai, tas ir, iedomātai līnijai, pa kuru notiek kustība. Kopumā trajektorija ir izliekta. Pārvietojoties pa to, ķermeņa ātrums mainās ne tikai lielumā, bet arī virzienā. Tā kā paātrinājums apraksta abas ātruma izmaiņu sastāvdaļas, to var attēlot kā divu komponentu summu. Lai iegūtu formulu kopējā paātrinājumam atsevišķu komponentu izteiksmē, mēs attēlojam ķermeņa ātrumu trajektorijas punktā šādā formā:
v¯=vu¯
Šeit u¯ ir trajektorijas pieskares vienības vektors, v ir ātruma modelis. Ņemot v¯ laika atvasinājumu un vienkāršojot iegūtos terminus, mēs iegūstam šādu vienādību:
ā=dv¯/dt=dv/dtu¯ + v2/rre¯.
Pirmais termins ir tangenciālā paātrinājuma komponentsā, otrais termins ir parastais paātrinājums. Šeit r ir izliekuma rādiuss, re¯ ir vienības garuma rādiusa vektors.
Tādējādi kopējais paātrinājuma vektors ir tangenciālā un normālā paātrinājuma savstarpēji perpendikulāru vektoru summa, tāpēc tā virziens atšķiras no aplūkojamo komponentu virzieniem un no ātruma vektora.
Vēl viens veids, kā noteikt vektora ā virzienu, ir pētīt iedarbojošos spēkus uz ķermeni tā kustības procesā. ā vērtība vienmēr ir vērsta pa kopējā spēka vektoru.
Pētīto komponentu savstarpējā perpendikularitāte at(tangenciāla) un a (normāla) ļauj uzrakstīt izteiksmi kopējā paātrinājuma noteikšanai modulis:
a=√(at2+ a2)
Taisnvirziena ātra kustība
Ja trajektorija ir taisna līnija, tad ķermeņa kustības laikā ātruma vektors nemainās. Tas nozīmē, ka, aprakstot kopējo paātrinājumu, jāzina tikai tā tangenciālā sastāvdaļa at. Parastā sastāvdaļa būs nulle. Tādējādi paātrinātas kustības apraksts taisnā līnijā tiek samazināts līdz formulai:
a=at=dv/dt.
No šī izteiksmes izriet visas taisnlīnijas vienmērīgi paātrinātas vai vienmērīgi lēnas kustības kinemātiskās formulas. Pierakstīsim tos:
v=v0± at;
S=v0t ± at2/2.
Šeit plusa zīme atbilst paātrinātai kustībai, bet mīnusa zīme - lēnai kustībai (bremzēšanai).
Vienota apļveida kustība
Tagad apskatīsim, kā ātrums un paātrinājums ir saistīti ķermeņa rotācijas ap asi gadījumā. Pieņemsim, ka šī rotācija notiek ar nemainīgu leņķisko ātrumu ω, tas ir, ķermenis vienādos laika intervālos griežas vienādos leņķos. Aprakstītajos apstākļos lineārais ātrums v nemaina savu absolūto vērtību, bet tā vektors pastāvīgi mainās. Pēdējais fakts raksturo normālu paātrinājumu.
Formula normālam paātrinājumam a jau ir dota iepriekš. Pierakstīsim vēlreiz:
a=v2/r
Šī vienādība parāda, ka atšķirībā no komponenta at, vērtība a nav vienāda ar nulli pat pie nemainīga ātruma moduļa v. Jo lielāks šis modulis un jo mazāks ir izliekuma rādiuss r, jo lielāka ir a vērtība. Parastā paātrinājuma parādīšanās ir saistīta ar centripetālā spēka darbību, kas tiecas noturēt rotējošo ķermeni uz apļa līnijas.
