Katrs skolēns ir dzirdējis par apaļu konusu un iedomājas, kā izskatās šī trīsdimensiju figūra. Šajā rakstā ir definēta konusa attīstība, sniegtas formulas, kas apraksta tā raksturlielumus, un aprakstīts, kā to izveidot, izmantojot kompasu, transportieri un taisngriezi.
Apļveida konuss ģeometrijā
Sniegsim šīs figūras ģeometrisku definīciju. Apaļš konuss ir virsma, ko veido taisnu līniju segmenti, kas savieno visus noteikta apļa punktus ar vienu telpas punktu. Šis vienīgais punkts nedrīkst piederēt plaknei, kurā atrodas aplis. Ja apļa vietā ņemam apli, tad arī šī metode ved uz konusu.
Apli sauc par figūras pamatni, tā apkārtmērs ir virziens. Segmentus, kas savieno punktu ar virzienu, sauc par ģenerātoriem vai ģeneratoriem, un punkts, kur tie krustojas, ir konusa virsotne.
Apaļš konuss var būt taisns un slīps. Abi skaitļi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.
Atšķirība starp tām ir šāda: ja perpendikuls no konusa augšdaļas nokrīt tieši uz apļa centru, tad konuss būs taisns. Viņam perpendikuls, ko sauc par figūras augstumu, ir daļa no viņa ass. Slīpa konusa gadījumā augstums un ass veido asu leņķi.
Figūras vienkāršības un simetrijas dēļ mēs turpmāk apsvērsim tikai taisna konusa ar apaļu pamatni īpašības.
Formas iegūšana, izmantojot pagriešanu
Pirms aplūkot konusa virsmas attīstību, ir noderīgi zināt, kā šo telpisko figūru var iegūt, izmantojot rotāciju.
Pieņemsim, ka mums ir taisnleņķa trīsstūris ar malām a, b, c. Pirmās divas no tām ir kājas, c ir hipotenūza. Uzliksim trīsstūri uz kājas a un sāksim to griezt ap kāju b. Pēc tam hipotenūza c apraksta konisku virsmu. Šis vienkāršais konusa paņēmiens ir parādīts zemāk esošajā diagrammā.
Acīmredzot, kāja a būs figūras pamatnes rādiuss, kāja b būs tās augstums, un hipotenūza c atbilst apaļa labā konusa ģenerātoram.
Skats uz konusa attīstību
Kā jau varētu nojaust, konusu veido divu veidu virsmas. Viens no tiem ir plakana pamata aplis. Pieņemsim, ka tam ir rādiuss r. Otrā virsma ir sānu un tiek saukta par konisku. Ļaujiet tā ģeneratoram būt vienādam ar g.
Ja mums ir papīra konuss, tad varam paņemt šķēres un nogriezt no tā pamatni. Pēc tam ir jānogriež koniskā virsmapa jebkuru generatrix un izvietot to lidmašīnā. Tādā veidā mēs ieguvām konusa sānu virsmas attīstību. Abas virsmas kopā ar sākotnējo konusu ir parādītas zemāk esošajā diagrammā.
Pamat aplis ir attēlots apakšējā labajā stūrī. Centrā ir parādīta nesalocītā koniskā virsma. Izrādās, ka tas atbilst kādam riņķa sektoram, kura rādiuss ir vienāds ar ģenerātora garumu g.
Leņķa un laukuma slaucīšana
Tagad mēs iegūstam formulas, kas, izmantojot zināmos parametrus g un r, ļauj aprēķināt konusa laukumu un leņķi.
Acīmredzot, attēlā redzamā apļveida sektora loka garums ir vienāds ar pamatnes apkārtmēru, tas ir:
l=2pir.
Ja uzbūvētu visu apli ar rādiusu g, tad tā garums būtu:
L=2pig.
Tā kā garums L atbilst 2pi radiāniem, tad leņķi, uz kura balstās loka l, var noteikt pēc atbilstošās proporcijas:
L==>2pi;
l==> φ.
Tad nezināmais leņķis φ būs vienāds ar:
φ=2pil/L.
Aizvietojot izteiksmes garumiem l un L, nonākam pie konusa sānu virsmas attīstības leņķa formulas:
φ=2pir/g.
Leņķis φ šeit ir izteikts radiānos.
Lai noteiktu apļveida sektora laukumu Sb, mēs izmantosim atrasto φ vērtību. Mēs veidojam vēl vienu proporciju, tikai apgabaliem. Mums ir:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
No kurienes izteikt Sb, un pēc tam aizstājiet leņķa φ vērtību. Mēs iegūstam:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Koniskās virsmas laukumam esam ieguvuši diezgan kompaktu formulu. Sb vērtība ir vienāda ar trīs faktoru reizinājumu: pi, figūras rādiuss un tā ģenerātors.
Tad visas figūras virsmas laukums būs vienāds ar Sb un So (apļveida) bāzes laukums). Mēs iegūstam formulu:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Konusa izveidošana uz papīra
Lai veiktu šo uzdevumu, jums būs nepieciešams papīrs, zīmulis, transportieri, lineāls un kompass.
Vispirms uzzīmēsim taisnleņķa trijstūri ar malām 3 cm, 4 cm un 5 cm, tā griešanās ap kāju 3 cm sniegs vēlamo konusu. Skaitlim ir r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Slaucīšanas izveide sāksies, ar kompasu uzzīmējot apli ar rādiusu r. Tā garums būs vienāds ar 6pi cm Tagad blakus mēs uzzīmēsim vēl vienu apli, bet ar rādiusu g. Tās garums atbildīs 10pi cm. Tagad mums ir jānogriež apļveida sektors no liela apļa. Tās leņķis φ ir:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Tagad mēs noliekam malā šo leņķi ar transportieri uz apļa ar rādiusu g un uzzīmējam divus rādiusus, kas ierobežos apļa sektoru.
TātadTādējādi mēs esam izveidojuši konusa izstrādi ar norādītajiem rādiusa, augstuma un ģenerātora parametriem.
Ģeometriskas problēmas risināšanas piemērs
Dots apaļš taisns konuss. Ir zināms, ka tā sānu slīpuma leņķis ir 120o. Nepieciešams atrast šīs figūras rādiusu un ģenerātoru, ja zināms, ka konusa augstums h ir 10 cm.
Uzdevums nav grūts, ja atceramies, ka apaļš konuss ir taisnleņķa trijstūra rotācijas figūra. No šī trīsstūra izriet nepārprotama sakarība starp augstumu, rādiusu un ģenerātoru. Uzrakstīsim atbilstošo formulu:
g2=h2+ r2.
Otrā izteiksme, kas jāizmanto, risinot, ir leņķa formula φ:
φ=2pir/g.
Tādējādi mums ir divi vienādojumi, kas attiecas uz diviem nezināmiem lielumiem (r un g).
Izteikt g no otrās formulas un aizstāt rezultātu ar pirmo, mēs iegūstam:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Leņķis φ=120o radiānos ir 2pi/3. Mēs aizstājam šo vērtību, iegūstam galīgās formulas r un g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Atliek aizstāt augstuma vērtību un saņemt atbildi uz problēmas jautājumu: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
