Nocirsta konusa laukums. Formulas un problēmas piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Ģeometrijas revolūcijas figūrām tiek pievērsta īpaša uzmanība, pētot to raksturlielumus un īpašības. Viens no tiem ir nošķelts konuss. Šī raksta mērķis ir atbildēt uz jautājumu, kādu formulu var izmantot, lai aprēķinātu nošķelta konusa laukumu.

Par kuru figūru mēs runājam?

Pirms aprakstīt nošķelta konusa laukumu, ir jāsniedz precīza šī attēla ģeometriskā definīcija. Nocirsts ir tāds konuss, kas iegūts, nogriežot parastā konusa virsotni ar plakni. Šajā definīcijā ir jāuzsver vairākas nianses. Pirmkārt, griezuma plaknei jābūt paralēlai konusa pamatnes plaknei. Otrkārt, sākotnējai figūrai jābūt apļveida konusam. Protams, tā var būt eliptiska, hiperboliska un cita veida figūra, taču šajā rakstā mēs aprobežosimies, ņemot vērā tikai apļveida konusu. Pēdējais ir parādīts zemāk esošajā attēlā.

Viegli uzminēt, ka to var iegūt ne tikai ar posma palīdzību pa plakni, bet arī ar rotācijas operācijas palīdzību. PriekšLai to izdarītu, jums ir jāņem trapecveida forma, kurai ir divi taisnie leņķi, un jāpagriež ap malu, kas atrodas blakus šiem taisnajiem leņķiem. Rezultātā trapeces pamatnes kļūs par nošķelta konusa pamatu rādiusiem, bet trapeces sāniski slīpā mala aprakstīs konisko virsmu.

Formas attīstība

Ņemot vērā nošķelta konusa virsmas laukumu, ir lietderīgi izveidot tā attīstību, tas ir, trīsdimensiju figūras virsmas attēlu plaknē. Tālāk ir parādīts pētītā attēla skenējums ar patvaļīgiem parametriem.

Redzams, ka figūras laukumu veido trīs sastāvdaļas: divi apļi un viens nošķelts riņķveida segments. Acīmredzot, lai noteiktu nepieciešamo laukumu, ir jāsaskaita visu nosaukto figūru laukumi. Atrisināsim šo problēmu nākamajā rindkopā.

Nocirsta konusa laukums

Lai būtu vieglāk saprast šādu pamatojumu, mēs ieviešam šādu apzīmējumu:

• r1, r2 - attiecīgi lielās un mazās pamatnes rādiusi;
• h - figūras augstums;
• g - konusa ģenerātors (trapeces slīpās malas garums).

Nocirsta konusa pamatņu laukumu ir viegli aprēķināt. Rakstīsim atbilstošās izteiksmes:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Apļveida segmenta daļas laukumu ir nedaudz grūtāk noteikt. Ja iedomājamies, ka šī apļveida sektora centrs nav izgriezts, tad tā rādiuss būs vienāds ar vērtību G. To nav grūti aprēķināt, ja ņemam vērā atbilstošolīdzīgi taisnleņķa konusa trijstūri. Tas ir vienāds ar:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Tad visa apļveida sektora laukums, kas veidots uz rādiusa G un balstās uz loka garumu 2pir₁, būs vienāds uz:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Tagad noteiksim mazā apļveida sektora laukumu S₂, kas būs jāatņem no S₁. Tas ir vienāds ar:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Koniskās nošķeltas virsmas laukums S_b ir vienāds ar starpību starp S₁ un S ₂. Mēs iegūstam:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Neskatoties uz dažiem apgrūtinošiem aprēķiniem, mēs saņēmām diezgan vienkāršu izteiksmi attēla sānu virsmas laukumam.

Pieskaitot pamatņu laukumus un S_b, mēs nonākam pie nošķelta konusa laukuma formulas:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Tādējādi, lai aprēķinātu pētāmās figūras S vērtību, ir jāzina trīs tā lineārie parametri.

Problēmas piemērs

Apļveida taisns konussar rādiusu 10 cm un augstumu 15 cm tika nogriezts ar plakni, lai iegūtu regulāru nošķeltu konusu. Zinot, ka attālums starp nošķeltas figūras pamatiem ir 10 cm, ir jāatrod tās virsmas laukums.

Lai izmantotu formulu nošķelta konusa laukumam, jāatrod trīs tā parametri. Viens, ko mēs zinām:

r₁=10 cm.

Pārējos divus ir viegli aprēķināt, ja ņemam vērā līdzīgus taisnleņķa trīsstūrus, kas iegūti konusa aksiālā griezuma rezultātā. Ņemot vērā problēmas stāvokli, mēs iegūstam:

r₂=105/15=3,33 cm.

Visbeidzot, nošķeltā konusa g vadotne būs:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Tagad jūs varat aizstāt vērtības r₁, r₂ un g S:

formulā.

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Vēlamā figūras virsmas laukums ir aptuveni 852 cm².