Skolas cietās ģeometrijas kursā viena no vienkāršākajām figūrām, kuras izmēri nav nulle gar trim telpiskām asīm, ir četrstūra prizma. Apsveriet rakstā, kāda veida figūra tas ir, no kādiem elementiem tas sastāv, kā arī to, kā aprēķināt tā virsmu un tilpumu.
Prizmas jēdziens
Ģeometrijā prizma ir telpiska figūra, kuru veido divas identiskas pamatnes un sānu virsmas, kas savieno šo pamatu malas. Ņemiet vērā, ka abas bāzes tiek pārveidotas viena par otru, izmantojot paralēlās tulkošanas darbību ar kādu vektoru. Šī prizmas piešķiršana noved pie tā, ka visas tās malas vienmēr ir paralelogrami.
Pamatnes malu skaits var būt patvaļīgs, sākot no trim. Kad šim skaitlim ir tendence uz bezgalību, prizma vienmērīgi pārvēršas par cilindru, jo tās pamatne kļūst par apli, un sānu paralelogrami, kas savienojas, veido cilindrisku virsmu.
Tāpat kā jebkuram daudzskaldnim, prizmu raksturomalas (plaknes, kas ierobežo figūru), malas (segmenti, pa kuriem krustojas jebkuras divas malas) un virsotnes (trīs malu satikšanās punkti, prizmai divas no tām ir sāniski, bet trešā ir pamatne). Nosaukto trīs figūras elementu daudzumus savstarpēji savieno šāda izteiksme:
P=C + B - 2
Šeit P, C un B ir attiecīgi malu, malu un virsotņu skaits. Šī izteiksme ir Eilera teorēmas matemātiskais apzīmējums.
Augšējā attēlā redzamas divas prizmas. Viena no tām (A) pamatnē atrodas regulārs sešstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. B attēlā parādīta cita prizma. Tās malas vairs nav perpendikulāras pamatnēm, un pamatne ir regulārs piecstūris.
Kas ir četrstūra prizma?
Kā redzams no iepriekš minētā apraksta, prizmas veidu galvenokārt nosaka daudzstūra veids, kas veido pamatni (abas pamatnes ir vienādas, tāpēc varam runāt par vienu). Ja šis daudzstūris ir paralelograms, tad iegūstam četrstūra prizmu. Tādējādi visas šāda veida prizmas malas ir paralelogrami. Četrstūra prizmai ir savs nosaukums - paralēlskaldnis.
Paralelspīda malu skaits ir sešas, un katrai malai ir līdzīga paralēle. Tā kā kastes pamatnēm ir divas malas, atlikušās četras ir sānu malas.
Paralelskaldņa virsotņu skaits ir astoņas, kas ir viegli pamanāms, ja atceramies, ka prizmas virsotnes veidojas tikai pamata daudzstūru virsotnēs (4x2=8). Izmantojot Eilera teorēmu, iegūstam malu skaitu:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
No 12 ribām tikai 4 atsevišķi veido sāni. Atlikušie 8 atrodas figūras pamatu plaknēs.
Turpmāk rakstā runāsim tikai par četrstūra prizmām.
Paralelskaldņu veidi
Pirmais klasifikācijas veids ir pamatā esošā paralelograma pazīmes. Tas var izskatīties šādi:
- regulārs, kura leņķi nav vienādi ar 90o;
- taisnstūris;
- kvadrāts ir regulārs četrstūris.
Otrs klasifikācijas veids ir leņķis, kādā sānu mala šķērso pamatni. Šeit ir iespējami divi dažādi gadījumi:
- šis leņķis nav taisns, tad prizmu sauc par slīpo vai slīpo;
- leņķis ir 90o, tad šāda prizma ir taisnstūrveida vai vienkārši taisna.
Trešais klasifikācijas veids ir saistīts ar prizmas augstumu. Ja prizma ir taisnstūrveida un pamatne ir kvadrāts vai taisnstūris, tad to sauc par kuboīdu. Ja pie pamatnes ir kvadrāts, prizma ir taisnstūrveida un tās augstums ir vienāds ar kvadrāta malas garumu, tad iegūstam labi zināmo kuba figūru.
Prizmas virsma un laukums
Visu punktu kopa, kas atrodas uz diviem prizmas pamatiem(paralelogrammas) un tā malās (četri paralelogrami) veido figūras virsmu. Šīs virsmas laukumu var aprēķināt, aprēķinot pamatnes laukumu un šo vērtību sānu virsmai. Tad to summa dos vēlamo vērtību. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi:
S=2So+ Sb
Šeit So un Sb ir attiecīgi pamatnes un sānu virsmas laukums. Skaitlis 2 pirms So parādās, jo ir divas bāzes.
Ņemiet vērā, ka uzrakstītā formula ir derīga jebkurai prizmai, nevis tikai četrstūra prizmas laukumam.
Ir lietderīgi atcerēties, ka paralelograma laukums Sp tiek aprēķināts pēc formulas:
Sp=ah
Kur simboli a un h apzīmē attiecīgi vienas tās malas garumu un augstumu, kas novilkta uz šo pusi.
Taisnstūra prizmas laukums ar kvadrātveida pamatni
Parastā četrstūra prizmā bāze ir kvadrāts. Noteiktības labad mēs apzīmējam tā pusi ar burtu a. Lai aprēķinātu parastās četrstūra prizmas laukumu, jums jāzina tās augstums. Saskaņā ar šī daudzuma definīciju tas ir vienāds ar perpendikula garumu, kas nomests no vienas bāzes uz otru, tas ir, vienāds ar attālumu starp tiem. Apzīmēsim to ar burtu h. Tā kā visas sānu virsmas ir perpendikulāras aplūkojamās prizmas veida pamatnēm, regulāras četrstūra prizmas augstums būs vienāds ar tās sānu malas garumu.
BPrizmas virsmas laukuma vispārīgā formula ir divi termini. Pamatnes laukumu šajā gadījumā ir viegli aprēķināt, tas ir vienāds ar:
So=a2
Lai aprēķinātu sānu virsmas laukumu, mēs argumentējam šādi: šo virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Turklāt katra no tām malas ir vienādas ar a un h. Tas nozīmē, ka Sb laukums būs vienāds ar:
Sb=4ah
Ņemiet vērā, ka reizinājums 4a ir kvadrātveida pamatnes perimetrs. Ja mēs vispārinām šo izteiksmi patvaļīgas bāzes gadījumā, tad taisnstūra prizmai sānu virsmu var aprēķināt šādi:
Sb=Poh
Kur Po ir pamatnes perimetrs.
Atgriežoties pie regulāras četrstūra prizmas laukuma aprēķināšanas problēmas, mēs varam uzrakstīt galīgo formulu:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Slīpa paralēlskaldņa laukums
Aprēķināšana ir nedaudz grūtāka nekā taisnstūrveida. Šajā gadījumā četrstūra prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot to pašu formulu kā paralelogramam. Izmaiņas attiecas uz veidu, kā tiek noteikts sānu virsmas laukums.
Lai to izdarītu, izmantojiet to pašu formulu pa perimetru, kā norādīts iepriekšējā punktā. Tikai tagad tam būs nedaudz citi reizinātāji. Vispārīgā formula Sb slīpas prizmas gadījumā ir:
Sb=Psrc
Šeit c ir figūras sānu malas garums. Vērtība Psr ir taisnstūra šķēluma perimetrs. Šī vide ir veidota šādi: ir nepieciešams šķērsot visas sānu virsmas ar plakni, lai tā būtu perpendikulāra tām visām. Iegūtais taisnstūris būs vēlamais griezums.
Iepriekš redzamajā attēlā ir parādīts slīpas kastes piemērs. Tā šķērssvītrotā daļa veido taisnu leņķi ar sāniem. Posma perimetrs ir Psr. To veido četri sānu paralelogramu augstumi. Šai četrstūra prizmai sānu virsmas laukumu aprēķina, izmantojot iepriekš minēto formulu.
Kuboīdas diagonāles garums
Paralelskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno divas virsotnes, kurām nav kopīgu malu, kas tās veido. Jebkurā četrstūra prizmā ir tikai četras diagonāles. Kuboīdam, kura pamatnē ir taisnstūris, visu diagonāļu garumi ir vienādi.
Zemāk redzamajā attēlā ir parādīts atbilstošais skaitlis. Sarkanais segments ir tā diagonāle.
Tā garuma aprēķināšana ir ļoti vienkārša, ja atceraties Pitagora teorēmu. Katrs skolēns var iegūt vēlamo formulu. Tam ir šāda forma:
D=√(A2+ B2 + C2)
Šeit D ir diagonāles garums. Atlikušās rakstzīmes atbilst lodziņa malu garumam.
Daudzi cilvēki jauc paralēlskaldņa diagonāli ar tā malu diagonālēm. Zemāk ir attēls, kurā ir krāsainssegmenti attēlo figūras malu diagonāles.
Katra no tām garumu nosaka arī Pitagora teorēma un ir vienāds ar kvadrātsakni no atbilstošo malu garumu kvadrātu summas.
Prizmas skaļums
Papildus parastas četrstūra prizmas vai cita veida prizmu laukumam, lai atrisinātu dažas ģeometriskas problēmas, jums jāzina arī to apjoms. Šo vērtību absolūti jebkurai prizmai aprēķina pēc šādas formulas:
V=Soh
Ja prizma ir taisnstūrveida, tad pietiek aprēķināt tās pamatnes laukumu un reizināt to ar malas malas garumu, lai iegūtu figūras tilpumu.
Ja prizma ir regulāra četrstūra prizma, tad tās tilpums būs:
V=a2h.
Ir viegli redzēt, ka šī formula tiek pārveidota par kuba tilpuma izteiksmi, ja sānu malas garums h ir vienāds ar pamatnes a malu.
Problēma ar kvadrātveida formu
Lai konsolidētu pētīto materiālu, atrisināsim šādu uzdevumu: ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura malas ir 3 cm, 4 cm un 5 cm. Jāaprēķina tā virsmas laukums, diagonāles garums un tilpums.
Noteiktības labad pieņemsim, ka figūras pamats ir taisnstūris ar malām 3 cm un 4 cm. Tad tā laukums ir 12 cm2, un punkts ir 14 cm. Izmantojot prizmas virsmas laukuma formulu, mēs iegūstam:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Lai noteiktu figūras diagonāles garumu un apjomu, varat tieši izmantot iepriekš minētās izteiksmes:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problēma ar slīpu paralēlskaldni
Zemāk redzamajā attēlā redzama slīpa prizma. Tā malas ir vienādas: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Jums jāatrod šī attēla virsmas laukums.
Vispirms noteiksim pamatnes laukumu. Attēlā redzams, ka akūts leņķis ir 50o. Tad tā platība ir:
So=ha=sin(50o)ba
Lai noteiktu sānu virsmas laukumu, jāatrod iekrāsotā taisnstūra perimetrs. Šī taisnstūra malas ir asin(45o) un bsin(60o). Tad šī taisnstūra perimetrs ir:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Šīs kastes kopējā platība ir:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Aizvietojam figūras malu garumus ar uzdevuma nosacījuma datiem, iegūstam atbildi:
S=458, 5496 cm3
No šī uzdevuma risinājuma var redzēt, ka slīpo figūru laukumu noteikšanai tiek izmantotas trigonometriskās funkcijas.
