Kas ir taisna prizma? Īpašības un formulas. Uzdevuma piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Stereometrija ir trīsdimensiju ģeometrisku formu īpašību izpēte. Viena no labi zināmajām tilpuma figūrām, kas parādās ģeometrijas uzdevumos, ir taisna prizma. Apskatīsim šajā rakstā, kas tas ir, kā arī detalizēti aprakstīsim prizmu ar trīsstūrveida pamatni.

Prizma un tās veidi

Prizma ir figūra, kas veidojas daudzstūra paralēlas translācijas rezultātā telpā. Šīs ģeometriskās darbības rezultātā veidojas figūra, kas sastāv no vairākiem paralelogramiem un diviem identiskiem daudzstūriem, kas ir paralēli viens otram. Paralēlogrammas ir prizmas malas, un daudzstūri ir tās pamatnes.

Jebkurai prizmai ir n+2 malas, 3n malas un 2n virsotnes, kur n ir daudzstūra pamatnes stūru vai malu skaits. Attēlā redzama piecstūra prizma, kurai ir 7 malas, 10 virsotnes un 15 malas.

Aplūkoto figūru klasi attēlo vairāku veidu prizmas. Mēs tos īsi uzskaitām:

• ieliekta un izliekta;
• slīpi un taisni;
• nepareizi un pareizi.

Katra figūra pieder vienam no uzskaitītajiem trīs klasifikācijas veidiem. Risinot ģeometriskos uzdevumus, visvieglāk ir veikt aprēķinus regulārām un taisnām prizmām. Par pēdējo sīkāk tiks runāts raksta turpmākajās rindkopās.

Kas ir taisna prizma?

Taisna prizma ir ieliekta vai izliekta, regulāra vai neregulāra prizma, kurā visas malas attēlo četrstūri ar 90° leņķiem. Ja vismaz viens no malu četrstūriem nav taisnstūris vai kvadrāts, tad prizmu sauc par slīpi. Var sniegt arī citu definīciju: taisna prizma ir tāda noteiktas klases figūra, kurā jebkura sānu mala ir vienāda ar augstumu. Zem prizmas augstuma h tiek pieņemts attālums starp tās pamatnēm.

Abas dotās definīcijas, ka tā ir tiešā prizma, ir līdzvērtīgas un pašpietiekamas. No tiem izriet, ka visi divskaldņu leņķi starp jebkuru no pamatiem un katru malu ir 90°.

Iepriekš tika teikts, ka, risinot uzdevumus, ir ērti strādāt ar taisnām figūrām. Tas ir saistīts ar faktu, ka augstums atbilst sānu ribas garumam. Pēdējais fakts atvieglo figūras tilpuma un tās sānu virsmas laukuma aprēķināšanas procesu.

Tiešās prizmas apjoms

Apjoms - jebkurai telpiskai figūrai raksturīga vērtība, kas skaitliski atspoguļo telpas daļu, kas atrodas starp aplūkojamās virsmas virsmām.objektu. Prizmas tilpumu var aprēķināt, izmantojot šādu vispārīgo formulu:

V=S_oh.

Tas ir, augstuma un pamatnes laukuma reizinājums dos vēlamo vērtību V. Tā kā taisnas prizmas pamatnes ir vienādas, tad, lai noteiktu laukumu S_o var paņemt jebkuru no tiem.

Iepriekš minētās formulas izmantošanas priekšrocība tieši taisnai prizmai salīdzinājumā ar citiem tās veidiem ir tāda, ka ir ļoti viegli atrast figūras augstumu, jo tas sakrīt ar sānu malas garumu.

Sānu zona

Ir ērti aprēķināt ne tikai attiecīgās klases taisnas figūras tilpumu, bet arī tās sānu virsmu. Patiešām, jebkura tā mala ir taisnstūris vai kvadrāts. Katrs skolēns zina, kā aprēķināt šo plakano figūru laukumu, šim nolūkam ir jāreizina blakus esošās malas viena ar otru.

Pieņemsim, ka prizmas pamatne ir patvaļīgs n-stūris, kura malas ir vienādas ar a_i. Indekss i ir no 1 līdz n. Viena taisnstūra laukums tiek aprēķināts šādi:

S_i=a_ih.

Sānu virsmas laukumu S_b ir viegli aprēķināt, ja saskaita visus laukumus S_i taisnstūri. Šajā gadījumā mēs iegūstam galīgo formulu S_btaisna prizma:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Tādējādi, lai noteiktu taisnas prizmas sānu virsmas laukumu, tās augstums jāreizina ar vienas pamatnes perimetru.

Problēma ar trīsstūrveida prizmu

Pieņemsim, ka ir dota taisna prizma. Pamatne ir taisnleņķa trīsstūris. Šī trijstūra kājas ir 12 cm un 8 cm. Jāaprēķina figūras tilpums un tās kopējais laukums, ja prizmas augstums ir 15 cm.

Vispirms aprēķināsim taisnas prizmas tilpumu. Trijstūra (taisnstūrveida), kas atrodas tā pamatnē, laukums:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

Kā jūs varētu nojaust, a₁ un a₂ ir šī vienādojuma kājas. Zinot bāzes laukumu un augstumu (skatiet problēmas nosacījumu), varat izmantot formulu V:

V=S_oh=4815=720 cm³.

Figūras kopējo laukumu veido divas daļas: pamatņu laukumi un sānu virsma. Abu bāzu laukumi ir:

S_2o=2S_o=482=96 cm².

Lai aprēķinātu sānu virsmas laukumu, jums jāzina taisnleņķa trijstūra perimetrs. Aprēķiniet ar Pitagora teorēmu tās hipotenūzu a₃, mums ir:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Tad labās prizmas pamatnes trīsstūra perimetrs būs:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Pielietojot formulu S_b, kas tika uzrakstīta iepriekšējā rindkopā,saņemt:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Saskaitot laukumus S_2o un S_b, iegūstam pētāmās ģeometriskās figūras kopējo virsmas laukumu:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3 cm^2.

Trīsstūrveida prizma, kas izgatavota no īpašiem stikla veidiem, tiek izmantota optikā, lai pētītu gaismu izstarojošo objektu spektrus. Šādas prizmas spēj sadalīt gaismu komponentu frekvencēs dispersijas fenomena dēļ.