Kas tas ir – konuss? Definīcija, īpašības, formulas un uzdevuma risināšanas piemērs

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Konuss ir viena no telpiskām rotācijas figūrām, kuras raksturlielumus un īpašības pēta stereometrija. Šajā rakstā mēs definēsim šo skaitli un apsvērsim pamatformulas, kas savieno konusa lineāros parametrus ar tā virsmas laukumu un tilpumu.

Kas ir konuss?

No ģeometrijas viedokļa runa ir par telpisku figūru, kuru veido taisnu segmentu kopa, kas savieno noteiktu telpas punktu ar visiem gludas plakanas līknes punktiem. Šī līkne var būt aplis vai elipse. Tālāk esošajā attēlā ir parādīts konuss.

Parādītajam attēlam nav tilpuma, jo tā virsmas sienām ir bezgalīgi mazs biezums. Taču, ja to piepilda ar vielu un no augšas ierobežo nevis līkne, bet plakana figūra, piemēram, aplis, tad iegūsim cietu tilpuma ķermeni, ko mēdz dēvēt arī par konusu.

Konusa formu bieži var atrast dzīvē. Tātad, tam ir saldējuma konuss vai svītraini melni un oranži satiksmes čiekuri, kas tiek novietoti uz brauktuves, lai piesaistītu satiksmes dalībnieku uzmanību.

Konusa elementi un tā veidi

Tā kā konuss nav daudzskaldnis, to veidojošo elementu skaits nav tik liels kā daudzskaldnim. Ģeometrijā vispārējs konuss sastāv no šādiem elementiem:

• bāze, kuras robežlīkni sauc par virzienu jeb ģenerātoru;
• sānu virsmas, kas ir visu taisnu līniju segmentu (ģenatricu) punktu kopums, kas savieno virsotni un virzošās līknes punktus;
• virsotne, kas ir ģenerāciju krustošanās punkts.

Ņemiet vērā, ka virsotne nedrīkst atrasties pamatnes plaknē, jo šajā gadījumā konuss deģenerējas plakanā figūrā.

Ja uzzīmēsim perpendikulāru segmentu no augšas uz pamatni, iegūsim figūras augstumu. Ja pēdējā bāze krustojas ģeometriskajā centrā, tad tas ir taisns konuss. Ja perpendikuls nesakrīt ar pamatnes ģeometrisko centru, tad figūra būs slīpa.

Attēlā parādīti taisni un slīpi konusi. Šeit konusa pamatnes augstums un rādiuss tiek apzīmēti attiecīgi ar h un r. Līnija, kas savieno figūras augšdaļu un pamatnes ģeometrisko centru, ir konusa ass. No attēla var redzēt, ka taisnai figūrai augstums atrodas uz šīs ass, bet slīpai figūrai augstums veido leņķi ar asi. Konusa asi apzīmē ar burtu a.

Taisns konuss ar apaļu pamatni

Iespējams, šis konuss ir visizplatītākais no aplūkotās figūru klases. Tas sastāv no apļa un sāniemvirsmas. To iegūt ar ģeometriskām metodēm nav grūti. Lai to izdarītu, paņemiet taisnleņķa trīsstūri un pagrieziet to ap asi, kas sakrīt ar vienu no kājām. Acīmredzot šī kāja kļūs par figūras augstumu, un trijstūra otrās kājas garums veido konusa pamatnes rādiusu. Zemāk redzamā diagramma parāda aprakstīto shēmu attiecīgā rotācijas skaitļa iegūšanai.

Attēloto trīsstūri var pagriezt ap citu kāju, kā rezultātā izveidosies konuss ar lielāku pamatnes rādiusu un zemāku augstumu nekā pirmajam.

Lai nepārprotami noteiktu visus apaļa taisna konusa parametrus, jāzina jebkuri divi tā lineārie raksturlielumi. Starp tiem izšķir rādiusu r, augstumu h vai ģenerātora g garumu. Visi šie lielumi ir aplūkotā taisnleņķa trijstūra malu garumi, tāpēc to savienojumam ir derīga Pitagora teorēma:

g²=r²+ h^2.

Virsmas laukums

Pētot jebkuras trīsdimensiju figūras virsmu, ir ērti izmantot tās attīstību plaknē. Konuss nav izņēmums. Apaļa konusa attīstība ir parādīta zemāk.

Mēs redzam, ka figūras izvēršana sastāv no divām daļām:

1. Aplis, kas veido konusa pamatni.
2. Apļa sektors, kas ir figūras koniskā virsma.

Apļa laukumu ir viegli atrast, un atbilstošo formulu zina katrs skolēns. Runājot par apļveida sektoru, mēs atzīmējam, ka tasir daļa no apļa ar rādiusu g (konusa ģenerātora garums). Šī sektora loka garums ir vienāds ar pamatnes apkārtmēru. Šie parametri ļauj nepārprotami noteikt tā platību. Atbilstošā formula ir:

S=pir2+ pirg.

Pirmais un otrais termins izteiksmē ir attiecīgi laukuma pamatnes un sānu virsmas konuss.

Ja nav zināms ģeneratora garums g, bet ir dots figūras augstums h, tad formulu var pārrakstīt šādi:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Figūras apjoms

Ja ņemam taisnu piramīdu un palielināsim tās pamatnes malu skaitu līdz bezgalībai, tad pamatnes forma tiecas uz apli, un piramīdas sānu virsma tuvosies koniskajai virsmai. Šie apsvērumi ļauj mums izmantot piramīdas tilpuma formulu, aprēķinot līdzīgu vērtību konusam. Konusa tilpumu var atrast, izmantojot formulu:

V=1/3hS_o.

Šī formula vienmēr ir patiesa, neatkarīgi no tā, kāda ir konusa pamatne ar laukumu S_{o. Turklāt formula attiecas arī uz slīpo konusu.}

Tā kā mēs pētām taisnas figūras ar apaļu pamatni īpašības, tās apjoma noteikšanai varam izmantot šādu izteiksmi:

V=1/3hpir2.

Formula ir acīmredzama.

Virsmas laukuma un tilpuma atrašanas problēma

Lai tiek dots konuss, kura rādiuss ir 10 cm un ģenerātora garums ir 20sadaļu Nepieciešams noteikt šīs formas tilpumu un virsmas laukumu.

Lai aprēķinātu laukumu S, varat nekavējoties izmantot iepriekš uzrakstīto formulu. Mums ir:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Lai noteiktu skaļumu, jums jāzina figūras augstums h. Mēs to aprēķinām, izmantojot sakarību starp konusa lineārajiem parametriem. Mēs iegūstam:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Tagad varat izmantot formulu V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Ņemiet vērā, ka apaļa konusa tilpums ir viena trešdaļa no cilindra, kurā tas ir ierakstīts.