Rotācijas kustības dinamikas un kinemātikas kvantitatīvā izpēte prasa zināšanas par materiāla punkta un stingra ķermeņa inerces momentu attiecībā pret rotācijas asi. Rakstā apsvērsim, par kādu parametru mēs runājam, kā arī sniegsim formulu tā noteikšanai.
Vispārīga informācija par fizisko daudzumu
Vispirms definēsim materiāla punkta un stingra ķermeņa inerces momentu un pēc tam parādīsim, kā tas jāizmanto praktisku problēmu risināšanā.
Zem norādītā fiziskā raksturlieluma punktam ar masu m, kas griežas ap asi attālumā r, ir domāta šāda vērtība:
I=mr².
Kur izriet, ka pētāmā parametra mērvienība ir kilogrami uz kvadrātmetru (kgm²).
Ja punkta vietā ap asi griežas sarežģītas formas ķermenis, kuram pašam ir patvaļīgs masas sadalījums, tad tiek noteikts tā inerces momentstātad:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kur ρ ir ķermeņa blīvums. Izmantojot integrālo formulu, jūs varat noteikt I vērtību absolūti jebkurai rotācijas sistēmai.
Inerces momentam rotācijai ir tieši tāda pati nozīme kā masai translācijas kustībai. Piemēram, visi zina, ka grīdas mopu visvieglāk ir pagriezt ap asi, kas iet caur tās rokturi, nevis caur perpendikulāru. Tas ir saistīts ar faktu, ka inerces moments pirmajā gadījumā ir daudz mazāks nekā otrajā.
Es vērtēju dažādu formu ķermeņus
Risinot uzdevumus fizikā rotācijai, bieži vien ir jāzina inerces moments konkrētas ģeometriskas formas ķermenim, piemēram, cilindram, lodei vai stienim. Ja pielietojam iepriekš uzrakstīto formulu I, tad ir viegli iegūt atbilstošo izteiksmi visiem atzīmētajiem ķermeņiem. Tālāk ir norādītas formulas dažiem no tiem:
stienis: I=1/12ML²;
cilindrs: I=1/2MR²;
sfēra: I=2/5MR².
Šeit man ir dota rotācijas asi, kas iet caur ķermeņa masas centru. Cilindra gadījumā ass ir paralēla figūras ģeneratoram. Citu ģeometrisko ķermeņu inerces moments un griešanās asu izvietojuma iespējas ir atrodamas attiecīgajās tabulās. Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu I dažādas figūras, pietiek zināt tikai vienu ģeometrisko parametru un ķermeņa masu.
Šteinera teorēma un formula
Inerces momentu var noteikt, ja griešanās ass atrodas kādā attālumā no ķermeņa. Lai to izdarītu, jums jāzina šī segmenta garums un ķermeņa vērtība IO attiecībā pret asi, kas iet caur tā masas centru un kurai jābūt paralēlai tai, kas atrodas zem ķermeņa. izskatīšanai. Saiknes izveidošana starp parametru IO un nezināmo vērtību I ir fiksēta Šteinera teorēmā. Materiāla punkta un stingra ķermeņa inerces moments ir matemātiski uzrakstīts šādi:
I=IO+ Mh2.
Šeit M ir ķermeņa masa, h ir attālums no masas centra līdz rotācijas asij, attiecībā pret kuru ir jāaprēķina I. Šo izteiksmi ir viegli iegūt patstāvīgi, ja izmantojiet I integrāļa formulu un ņemiet vērā, ka visi ķermeņa punkti atrodas attālumos r=r0 + h.
Šteinera teorēma ievērojami vienkāršo I definīciju daudzām praktiskām situācijām. Piemēram, ja jums ir jāatrod I stienim ar garumu L un masu M attiecībā pret asi, kas iet caur tā galu, tad, piemērojot Šteinera teorēmu, varat rakstīt:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Varat atsaukties uz atbilstošo tabulu un redzēt, ka tajā ir tieši šī formula tievam stieņam ar rotācijas asi galā.
Momenta vienādojums
Rotācijas fizikā ir formula, ko sauc par momentu vienādojumu. Tas izskatās šādi:
M=Iα.
Šeit M ir spēka moments, α ir leņķiskais paātrinājums. Kā redzat, materiāla punkta un stingra ķermeņa inerces moments un spēka moments ir lineāri saistīti viens ar otru. Vērtība M nosaka kāda spēka F iespēju sistēmā radīt rotācijas kustību ar paātrinājumu α. Lai aprēķinātu M, izmantojiet šādu vienkāršo izteiksmi:
M=Fd.
Kur d ir momenta plecs, kas ir vienāds ar attālumu no spēka vektora F līdz rotācijas asij. Jo mazāka ir roka d, jo mazāka ir spēka spēja radīt sistēmas rotāciju.
Momentu vienādojums savā nozīmē pilnībā atbilst Ņūtona otrajam likumam. Šajā gadījumā es spēlēju inerciālās masas lomu.
Problēmu risināšanas piemērs
Iedomāsimies sistēmu, kas ir cilindrs, kas piestiprināts uz vertikālas ass ar bezsvara horizontālu stieni. Ir zināms, ka cilindra rotācijas ass un galvenā ass ir paralēlas viena otrai, un attālums starp tām ir 30 cm. Cilindra masa ir 1 kg, un tā rādiuss ir 5 cm. Spēks 10 Rotācijas trajektorijas pieskares N iedarbojas uz figūru, kuras vektors iet caur cilindra galveno asi. Jānosaka figūras leņķiskais paātrinājums, ko šis spēks radīs.
Vispirms aprēķināsim I cilindra inerces momentu. Lai to izdarītu, izmantojiet Šteinera teorēmu, mums ir:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Pirms lietojat momenta vienādojumu, tas ir jādaranoteikt spēka momentu M. Šajā gadījumā mums ir:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Tagad varat noteikt paātrinājumu:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Aprēķinātais leņķiskais paātrinājums norāda, ka katru sekundi cilindra ātrums palielināsies par 5,2 apgriezieniem sekundē.
